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[[상한]] '''sup'''는 보편 성질로 정의될 수 있다. 먼저, 집합 {1, 2, 3}을 생각해 보자. 그리고 다음과 같이 화살표 그림을 그린다. : <math>a \le b</math>이면 <math>a</math>에서 <math>b</math>로 가는 화살표를 단 하나 그린다. 위의 예에서는 1→1, 1→2, 1→3, 2→2, 2→3, 3→3의 여섯 개의 화살표가 존재한다. 주어진 집합의 상한은 '''3'''임을 알고 있다. 이제 위의 보편 성질과 아래의 성질을 비교해 보자. * '''임의의''' 집합 {1, 2, 3}의 원소 <math>x</math>에 대하여, <math>x</math>에서 '''3'''으로 가는 화살표가 '''유일하게 존재한다'''. * <math>\forall x \in \{1, 2, \textbf{3}\}, \; \exists! \text{arrow }u: \; x \to \textbf{3}.</math> 앗, '''보편 성질'''이다! 이제 상한은 보편 성질을 만족하는 [[대상 (수학)|대상]]임을 알 수 있다. 여기서 상한을 일반화한 것이 [[끝 대상]]이다. 그나저나 이것이 유일성과 무슨 상관인가? 놀랍게도, 이런 대상은 존재하지는 않을 수 있어도, 존재한다면 '''유일(?)'''하다. 정확히는, : 유일한 [[동형 사상]]에 대하여 유일하다. (Unique up to a unique isomorphism.) 이게 대체 무슨 소리인가 하면, 동형 사상에 의한 [[동치류]]로 생각했을 때 유일하다는 것이다. 즉, '''동형이면 같은 것으로 생각했을 때 유일'''하다. 이는 다음 예시에서 더 뚜렷이 드러난다. 우리가 잘 알고 있는 [[카테시언 곱]] : <math>A\times B = \{ (a, b): \; a\in A, \; b \in B\}</math> 역시 보편 성질을 만족하는 대상이다. 자세히는 다음과 같다. 이때, <math>p: \;A\times B \to A</math>와 <math>q: \;A\times B \to B</math>는 좌표 하나를 없애 버리는 [[사영 사상]]이다. * '''임의의''' 집합 <math>X</math>와 두 함수 <math>f: \; X\to A</math>, <math>g: \; X\to B</math>에 대하여, 어떤 함수([[분해 (범주론)|분해]], '''factorization''') <math>u: X \to A\times B</math>가 '''유일하게 존재하여''' <math>f = u \circ p</math>이고 <math>g = u \circ q</math>이다. * <math>\forall X \in \textbf{Set} \; \forall f:\;X\to A \; \forall g: \; X \to B, \qquad \exists! u : \; X \to A\times B, \;(f =u \circ p) \land (g = u \circ q).</math> * 다르게 표현하면, 다음 그림이 [[가환 그림|가환]]하면 된다. 이는 아래 그림의 모든 삼각형(이나 사각형 등...)에 대하여, '''어떤 화살표를 따라가든 같은 결과를 얻는다'''는 뜻이다. <div align="center"> <math>\require{AMSmath} \require{AMSsymbols} \newcommand\mapright[2][]{\xrightarrow[#1]{ #2 }} \newcommand\mapleft[2][]{\xleftarrow[#1]{ #2 }} \newcommand\mapdown[2][]{\llap{\raise2pt{\scriptstyle{ #1 }}}\Big\downarrow\rlap{\raise2pt{\scriptstyle{ #2 }}}} \newcommand\mapup[2][]{\llap{{\scriptstyle{ #1 }}}\Big\uparrow\rlap{{\scriptstyle{ #2 }}}} \newcommand\mapdownright[2][]{\vcenter{\kern5pt\raise.5pt\rlap{\lower6pt{\scriptstyle#1}}\kern-2pt\diagdown\kern-.42em\lower.63em{\searrow}\raise-.5pt\kern-2pt\llap{\raise1.5pt{\scriptstyle#2 \kern.1pt}}}} \newcommand\mapdownleft[2][]{\vcenter{\kern9pt\rlap{\lower6pt{\scriptstyle#1}}\kern-14pt\kern1em\diagup\kern-1.6em\lower.63em{\swarrow}\llap{\raise2pt{\scriptstyle #2\kern2pt}}}} \newcommand\mapupleft[2][]{\vcenter{\kern3pt\raise.5pt\rlap{\lower6pt{\scriptstyle#1}}\kern-4pt\nwarrow\kern-.64em\lower.63em{\diagdown}\raise-.5pt\kern-2pt\llap{\raise1.5pt{\scriptstyle#2 \kern4pt}}}} \newcommand\mapupright[2][]{\vcenter{\kern6pt\rlap{\lower6pt{\scriptstyle#1}}\kern-18pt\kern1em\nearrow\kern-1.9em\lower.63em{\diagup}\llap{\raise2pt{\scriptstyle #2\kern2pt}}}} \begin{array}{ccc} &X&\\&\mapdownleft{f } \quad \quad\; \mapdown{\exists ! u} \;\quad \mapdownright{ g} & \\ A&\mapleft[\; p\;]{} \; A\times B \;\mapright[\;q\;]{} & B \\ \end{array} </math> </div> {{--|갑자기 어려워졌다}} 그런데, 잘 생각해 보면 <math>B \times A</math>도 같은 성질을 만족한다. * '''임의의''' 집합 <math>X</math>와 두 함수 <math>f: \; X\to A</math>, <math>g: \; X\to B</math>에 대하여, factorization <math>u: X \to B\times A</math>가 '''유일하게 존재하여''' <math>f = u \circ p</math>이고 <math>g = u \circ q</math>이다. * <math>\forall X \in \textbf{Set} \;\forall f:\;X\to A \; \forall g: \; X \to B, \qquad \exists! u : \; X \to B\times A, \;(f =u \circ p) \land (g = u \circ q).</math> * 다르게 표현하면, 다음 그림이 [[가환 그림|가환]]하면 된다. <div align="center"> <math>\require{AMSmath} \require{AMSsymbols} \newcommand\mapright[2][]{\xrightarrow[#1]{ #2 }} \newcommand\mapleft[2][]{\xleftarrow[#1]{ #2 }} \newcommand\mapdown[2][]{\llap{\raise2pt{\scriptstyle{ #1 }}}\Big\downarrow\rlap{\raise2pt{\scriptstyle{ #2 }}}} \newcommand\mapup[2][]{\llap{{\scriptstyle{ #1 }}}\Big\uparrow\rlap{{\scriptstyle{ #2 }}}} \newcommand\mapdownright[2][]{\vcenter{\kern5pt\raise.5pt\rlap{\lower6pt{\scriptstyle#1}}\kern-2pt\diagdown\kern-.42em\lower.63em{\searrow}\raise-.5pt\kern-2pt\llap{\raise1.5pt{\scriptstyle#2 \kern.1pt}}}} \newcommand\mapdownleft[2][]{\vcenter{\kern9pt\rlap{\lower6pt{\scriptstyle#1}}\kern-14pt\kern1em\diagup\kern-1.6em\lower.63em{\swarrow}\llap{\raise2pt{\scriptstyle #2\kern2pt}}}} \newcommand\mapupleft[2][]{\vcenter{\kern3pt\raise.5pt\rlap{\lower6pt{\scriptstyle#1}}\kern-4pt\nwarrow\kern-.64em\lower.63em{\diagdown}\raise-.5pt\kern-2pt\llap{\raise1.5pt{\scriptstyle#2 \kern4pt}}}} \newcommand\mapupright[2][]{\vcenter{\kern6pt\rlap{\lower6pt{\scriptstyle#1}}\kern-18pt\kern1em\nearrow\kern-1.9em\lower.63em{\diagup}\llap{\raise2pt{\scriptstyle #2\kern2pt}}}} \begin{array}{ccc} &X&\\&\mapdownleft{g } \quad \quad\; \mapdown{\exists ! u} \;\quad \mapdownright{f} & \\ B&\mapleft[\; q\;]{} \; B\times A \;\mapright[\;p\;]{} & A \\ \end{array} </math> </div> 즉, 유일성이 깨졌다! 하지만 잘 보면 둘 사이에 '''유일한 동형 사상'''이 존재함을 알 수 있다. :<math> \text{swap}: \; A\times B \xrightarrow{\quad\sim\quad} B \times A, \quad (a, b) \mapsto (b, a).</math> 물론 같은 것 사이에는 [[항등 사상]]이라는 유일한 동형 사상이 존재한다. :<math> 1_{A\times B}: \; A\times B \xrightarrow{\quad\sim\quad} A\times B.</math> 이렇게, 보편 성질을 만족하는 대상들은 유일한 [[동형 사상]]에 대하여 유일함이 알려져 있다. 더 많은 것을 알고 싶다면 [[보편 성질]] 참조. {{각주}} [[분류:수학]] 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț