Combination
개요
“ 서로 다른 [math]\displaystyle{ n }[/math]개의 원소에서 중복을 허락하지 않고, 또 순서에 상관없이 [math]\displaystyle{ r }[/math]개를 뽑을 때, 이를 [math]\displaystyle{ n }[/math]개에서 [math]\displaystyle{ r }[/math]개를 택하는 조합이라고 한다. “
기호로는 [math]\displaystyle{ _nC_r, C\left(n,r\right), \binom{n}{r} }[/math]등이 있다. 이 중 한국에서는 [math]\displaystyle{ _nC_r }[/math]이, 세계적으로는 [math]\displaystyle{ \binom{n}{r} }[/math]이 많이 쓰인다. 한국에서 [math]\displaystyle{ \binom{n}{r} }[/math]이 안 쓰이는 이유는 행렬이랑 헷갈리는 것을 방지하기 위함으로 보인다.[1]
순열과 마찬가지로 뭔가 거창한 정의가 붙었지만 실상은 초등학교에서부터 풀어온 경우의 수를 좀 더 수학적으로 나타낸 것 뿐이다. 다만 계산하는 것은 조금 더 까다로워 졌다. 계산하는 공식을 예시를 통해 유도해보자:
3명중 대표 2명을 뽑는 가짓 수를 생각하자. 실제 가짓 수는 세 가지지만 순열을 쓴다면 [math]\displaystyle{ _3P_2=3\times2=6 }[/math]이므로 순열과는 다른 공식이 필요함을 알 수 있다. 실제 구하는 방법은 순열과 비슷하게, 2명의 대표가 같으므로 2!으로 나눠주면 된다. 곧, [math]\displaystyle{ _3C_2=\frac{_3P_2}{2!} }[/math]임을 알 수 있다. 일반적인 경우는 다음과 같다.
- [math]\displaystyle{ _nC_r=\frac{_nP_r}{r!}=\frac{n!}{\left(n-r\right)!r!} }[/math]
다만 위 정의에서 한 가지 문제가 생기는데, 바로 [math]\displaystyle{ _nC_0 }[/math]. 상식적으로 생각해 봤을 때, n개중 0개를 뽑는 가짓수는 하나밖에 없다. 하지만 조합을 계산하는 가정에 순열이 들어가는데, n부터 시작해서 1씩 줄여나가며 0개를 곱하는 것이 상상이 되는가?[2]
중복 조합
이와 관련한 내용은 구성에서 볼 수 있습니다.조합과 마찬가지로 n개의 원소에서 r개를 순서에 상관없이 뽑는데, 중복을 허락할 때의 가짓 수. 기호로는 [math]\displaystyle{ \left(\!\binom{n}{r}\!\right) }[/math]을 쓰며, 한국에서는 [math]\displaystyle{ _nH_r }[/math]도 통한다. 그런데 [math]\displaystyle{ _nH_r }[/math]의 경우, 중복순열과 마찬가지로, 출처를 알 수 없는 정체불명의 기호이다. 조합의 일종인 것은 맞지만, 정식 명칭은 구성 (Composition)이며, 별과 막대기(Stars and bars)라는 별명도 있다. 더 자세한 것은 해당 문서 참조.
조합의 기본 성질
- [math]\displaystyle{ _nC_r=_nC_{n-r} }[/math]: n개중 r개를 뽑는 것은 n개중 n-r개의 뽑지 않을 것을 뽑는 것과 가짓수가 같다. 직접 전개하여 증명할 수도 있다.
- [math]\displaystyle{ _{n-1}C_{r-1}+_{n-1}C_r=_nC_r }[/math]: n개중 한 개를 고정한다. 이제 n개중 r개를 뽑는 가짓수는 그 한 개가 있는 경우와 없는 경우 두 가지로 나뉘고, 각각의 가짓수는 [math]\displaystyle{ _{n-1}C_{r-1}, \, _{n-1}C_r }[/math]이다. 역시 직접 전개하여 증명할 수도 있다.
- 이항정리
예시
- 남녀 각각 5명 중에서 남자 3명, 여자 2명을 뽑아 원탁에 앉히는 가짓 수
- 남자 3명을 뽑는 수는 [math]\displaystyle{ _5C_3=10 }[/math], 여자 2명을 뽑는 수는 [math]\displaystyle{ _5C_2=10 }[/math]. 곱의 법칙에 의해 전체 가짓 수는 [math]\displaystyle{ 10\times10=100 }[/math]. 이 5명을 원탁에 앉히므로, 원순열에 의해 [math]\displaystyle{ 100\times\left(5-1\right)!=2400 }[/math]
- 10명 중 5명을 뽑아 팀을 하나 만드는데, 철수와 영희는 사이가 안 좋아 같은 팀에 들어가지 않는다. 이 때 팀을 만드는 가짓수
- 10명 중 5명을 뽑는 수는 [math]\displaystyle{ _10C_5=252 }[/math]. 여기서 철수와 영희가 같은 팀에 들어간 가짓 수를 따로 빼주면 된다. 철수와 영희가 같은 팀에 있다면 나머지 8명 중에 3명을 뽑는 것과 마찬가지이므로, [math]\displaystyle{ _8C_3=56 }[/math]. 따라서 전체 가지수는 [math]\displaystyle{ 252-56=196 }[/math]