Combination
개요
“ 서로 다른 [math]\displaystyle{ n }[/math]개의 원소에서 중복을 허락하지 않고, 또 순서에 상관없이 [math]\displaystyle{ r }[/math]개를 뽑을 때, 이를 [math]\displaystyle{ n }[/math]개에서 [math]\displaystyle{ r }[/math]개를 택하는 조합이라고 한다. “
기호로는 [math]\displaystyle{ _nC_r, C\left(n,r\right), \binom{n}{r} }[/math]등이 있다. 이 중 한국에서는 [math]\displaystyle{ _nC_r }[/math]이, 세계적으로는 [math]\displaystyle{ \binom{n}{r} }[/math]이 많이 쓰인다. 한국에서 [math]\displaystyle{ \binom{n}{r} }[/math]이 안 쓰이는 이유는 행렬이랑 헷갈리는 것을 방지하기 위함으로 보인다[1]
순열과 마찬가지로 뭔가 거창한 정의가 붙었지만 실상은 초등학교에서부터 풀어온 경우의 수를 좀 더 수학적으로 나타낸 것 뿐이다. 다만 계산하는 것은 조금 더 까다로워 졌다. 계산하는 공식을 예시를 통해 유도해보자 - 3명중 대표 2명을 뽑는 가짓 수를 생각하자. 실제 가짓 수는 3가지 이지만 순열을 쓴다면 [math]\displaystyle{ _3P_2=3\times2=6 }[/math]이므로 순열과는 다른 공식이 필요함을 알 수 있다. 실제 구하는 방법은 같은 것이 있는 경우의 수열과 비슷하게, 2명의 대표가 같으므로 2!으로 나눠주면 된다. 곧, [math]\displaystyle{ _3C_2=\frac{_3P_2}{2!} }[/math]임을 알 수 있다. 일반적인 경우는 다음과 같다.
[math]\displaystyle{ _nC_r=\frac{_nP_r}{r!}=\frac{n!}{\left(n-r\right)!r!} }[/math]
다만 위 정의에서 한가지 문제가 생기는데, 바로 [math]\displaystyle{ _nC_0 }[/math]. 상식적으로 생각해 봤을 때, n개중 0개를 뽑는 가짓수는 1가지 밖에 없다. 하지만 조합을 계산하는 가정에 순열이 들어가는데, n부터 시작해서 1씩 줄여나가며 0개를 곱하는 것이 상상이 되는가?[2]
중복 조합
조합과 마찬가지로 n개의 원소에서 r개를 순서에 상관없이 뽑는데, 중복을 허락할 때의 가짓 수. 기호로는 [math]\displaystyle{ \left(\binom{n}{r}\right) }[/math]을 쓰며, 한국에서는 [math]\displaystyle{ _nH_r }[/math]도 통한다.[3]
중복조합의 가짓 수를 실제로 구하려고 해보면 순열이나 위의 조합과는 다르게 훨씬 복잡함을 알 수 있다. 계산공식을 유도하는 과정은 보통 "원"과 "막대기"를[4] 사용해서 설명한다. 예로, 숫자 1, 2, 3중 중복을 허락하여 5개를 뽑는 경우의 수를 생각해보자. 일단 5개를 뽑으므로 원 5개를 나란히 그린다. 이제 이 5개의 원 사이에 막대기를 집어넣어 3그룹으로 나눈다. 3그룹으로 나누기 위해 필요한 막대기의 수는 (3-1) = 2개이고, 나눠진 각 그룹에 있는 원의 수를 각각 숫자 1, 2, 3을 뽑는 개수라고하면 구하고자 하는 값이 나온다. 즉 총 가짓 수는 5개의 원과 2개의 막대기를 나열하는 가짓 수와 같고, 이는 7개의 칸중 원을 그릴 5개의 칸을 정하는 것과 동일하다. 즉, [math]\displaystyle{ _{5+3-1}C_5=_7C_5 }[/math]가 답. 일반적인 경우는 다음과 같다.
[math]\displaystyle{ _nH_r=_{n+r-1}C_r }[/math]
조합의 성질
1. [math]\displaystyle{ _nC_r=_nC_{n-r} }[/math]: n개중 r개를 뽑는 것은 n개중 n-r개의 뽑지 않을 것을 뽑는 것과 가짓수가 같다. 직접 전개하여 증명할 수도 있다.
2. [math]\displaystyle{ _{n-1}C_{r-1}+_{n-1}C_r=_nC_r }[/math]: n개중 한 개를 고정한다. 이제 n개중 r개를 뽑는 가짓수는 그 한 개가 있는 경우와 없는 경우 2가지로 나눠지고, 각각의 가짓 수는 [math]\displaystyle{ _{n-1}C_{r-1}, \, _{n-1}C_r }[/math]이다. 역시 직접 전개하여 증명할 수도 있다.
3. 이항정리 참조.
예시
조합
남녀 각각 5명 중에서 남자 3명, 여자 2명을 뽑아 원탁에 앉히는 가짓 수: 남자 3명을 뽑는 수는 [math]\displaystyle{ _5C_3=10 }[/math], 여자 2명을 뽑는 수는 [math]\displaystyle{ _5C_2=10 }[/math]. 곱의 법칙에 의해 전체 가짓 수는 [math]\displaystyle{ 10\times10=100 }[/math]. 이 5명을 원탁에 앉히므로, 원순열에 의해 [math]\displaystyle{ 100\times\left(5-1\right)!=2400 }[/math]
중복조합
음이 아닌 정수 [math]\displaystyle{ x, y, z }[/math]에 대해, [math]\displaystyle{ x+y+z \leq 3 }[/math]를 만족시키는 순서쌍 [math]\displaystyle{ \left(x, y, z\right) }[/math]의 수: [math]\displaystyle{ x+y+z=n }[/math]를 만족시키는 순서쌍 [math]\displaystyle{ \left(x,y,z\right) }[/math]의 수는 3개중 중복을 허락하여 n개를 뽑는 가짓 수와 동일하다. 즉, 구하고자 하는 답은 [math]\displaystyle{ _3H_0+_3H_1+_3H_2+_3H_3=_2C_0+_3C_1+_4C_2+_5C_3=1+3+6+10=20 }[/math].