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{{인용문|서로 다른 <math>n</math>개의 원소에서 '''중복을 허락하지 않고''', 또 '''순서에 상관없이''' <math>r</math>개를 뽑을 때, 이를 <math>n</math>개에서 <math>r</math>개를 택하는 '''조합'''이라고 한다.}} | {{인용문|서로 다른 <math>n</math>개의 원소에서 '''중복을 허락하지 않고''', 또 '''순서에 상관없이''' <math>r</math>개를 뽑을 때, 이를 <math>n</math>개에서 <math>r</math>개를 택하는 '''조합'''이라고 한다.}} | ||
기호로는 <math>_nC_r, C\left(n,r\right), \binom{n}{r}</math>등이 있다. 이 중 한국에서는 <math>_nC_r</math>이, 세계적으로는 <math>\binom{n}{r}</math>이 많이 쓰인다. 한국에서 <math>\binom{n}{r}</math>이 안 쓰이는 이유는 행렬이랑 헷갈리는 것을 방지하기 위함으로 보인다<ref>다만 문맥에 따라 행렬인지 조합인지 보통 쉽게 구분된다. 헷갈린다는 것은 어디까지나 핑계.</ref> | 기호로는 <math>_nC_r, C\left(n,r\right), \binom{n}{r}</math>등이 있다. 이 중 한국에서는 <math>_nC_r</math>이, 세계적으로는 <math>\binom{n}{r}</math>이 많이 쓰인다. 한국에서 <math>\binom{n}{r}</math>이 안 쓰이는 이유는 행렬이랑 헷갈리는 것을 방지하기 위함으로 보인다.<ref>다만 문맥에 따라 행렬인지 조합인지 보통 쉽게 구분된다. 헷갈린다는 것은 어디까지나 핑계.</ref> | ||
[[순열]]과 마찬가지로 뭔가 거창한 정의가 붙었지만 실상은 초등학교에서부터 풀어온 [[경우의 수]]를 좀 더 수학적으로 나타낸 것 뿐이다. 다만 계산하는 것은 조금 더 까다로워 졌다. 계산하는 공식을 예시를 통해 유도해보자 | [[순열]]과 마찬가지로 뭔가 거창한 정의가 붙었지만 실상은 초등학교에서부터 풀어온 [[경우의 수]]를 좀 더 수학적으로 나타낸 것 뿐이다. 다만 계산하는 것은 조금 더 까다로워 졌다. 계산하는 공식을 예시를 통해 유도해보자: | ||
다만 위 정의에서 | 3명중 대표 2명을 뽑는 가짓 수를 생각하자. 실제 가짓 수는 세 가지지만 순열을 쓴다면 <math>_3P_2=3\times2=6</math>이므로 순열과는 다른 공식이 필요함을 알 수 있다. 실제 구하는 방법은 [[순열#같은 것이 있는 경우의 순열|순열]]과 비슷하게, 2명의 대표가 같으므로 2!으로 나눠주면 된다. 곧, <math>_3C_2=\frac{_3P_2}{2!}</math>임을 알 수 있다. 일반적인 경우는 다음과 같다. | ||
:<math>_nC_r=\frac{_nP_r}{r!}=\frac{n!}{\left(n-r\right)!r!}</math> | |||
다만 위 정의에서 한 가지 문제가 생기는데, 바로 <math>_nC_0</math>. 상식적으로 생각해 봤을 때, n개중 0개를 뽑는 가짓수는 하나밖에 없다. 하지만 조합을 계산하는 가정에 순열이 들어가는데, n부터 시작해서 1씩 줄여나가며 '''0'''개를 곱하는 것이 상상이 되는가?<ref>하지만 <math>_nP_0</math>이 이미 정의 되어 있기 때문에 실제로 큰 문제는 아니다.</ref> | |||
== 중복 조합 == | == 중복 조합 == | ||
조합과 마찬가지로 n개의 원소에서 r개를 순서에 상관없이 뽑는데, '''중복을 허락할 때'''의 가짓 수. 기호로는 <math>\left(\binom{n}{r}\right)</math>을 쓰며, 한국에서는 <math>_nH_r</math>도 통한다.< | {{참조|구성}} | ||
조합과 마찬가지로 n개의 원소에서 r개를 순서에 상관없이 뽑는데, '''중복을 허락할 때'''의 가짓 수. 기호로는 <math>\left(\!\binom{n}{r}\!\right)</math>을 쓰며, 한국에서는 <math>_nH_r</math>도 통한다. 그런데 <math>_nH_r</math>의 경우, 중복순열과 마찬가지로, 출처를 알 수 없는 정체불명의 기호이다. 조합의 일종인 것은 맞지만, 정식 명칭은 '''구성 (Composition)'''이며, 별과 막대기(Stars and bars)라는 별명도 있다. 더 자세한 것은 해당 문서 참조. | |||
== 조합의 기본 성질 == | |||
#<math>_nC_r=_nC_{n-r}</math>: n개중 r개를 뽑는 것은 n개중 n-r개의 뽑지 않을 것을 뽑는 것과 가짓수가 같다. 직접 전개하여 증명할 수도 있다. | |||
#[[파스칼의 삼각형|<math>_{n-1}C_{r-1}+_{n-1}C_r=_nC_r</math>]]: n개중 한 개를 고정한다. 이제 n개중 r개를 뽑는 가짓수는 그 한 개가 있는 경우와 없는 경우 두 가지로 나뉘고, 각각의 가짓수는 <math>_{n-1}C_{r-1}, \, _{n-1}C_r</math>이다. 역시 직접 전개하여 증명할 수도 있다. | |||
== 조합의 성질 == | #[[이항정리]] | ||
== 예시 == | == 예시 == | ||
#남녀 각각 5명 중에서 남자 3명, 여자 2명을 뽑아 원탁에 앉히는 가짓 수 | |||
#:남자 3명을 뽑는 수는 <math>_5C_3=10</math>, 여자 2명을 뽑는 수는 <math>_5C_2=10</math>. 곱의 법칙에 의해 전체 가짓 수는 <math>10\times10=100</math>. 이 5명을 원탁에 앉히므로, [[순열#원순열|원순열]]에 의해 <math>100\times\left(5-1\right)!=2400</math> | |||
#10명 중 5명을 뽑아 팀을 하나 만드는데, 철수와 영희는 사이가 안 좋아 같은 팀에 들어가지 않는다. 이 때 팀을 만드는 가짓수 | |||
#:10명 중 5명을 뽑는 수는 <math>_10C_5=252</math>. 여기서 철수와 영희가 같은 팀에 들어간 가짓 수를 따로 빼주면 된다. 철수와 영희가 같은 팀에 있다면 나머지 8명 중에 3명을 뽑는 것과 마찬가지이므로, <math>_8C_3=56</math>. 따라서 전체 가지수는 <math>252-56=196</math> | |||
== 관련 | == 관련 문서 == | ||
* [[경우의 수]] | *[[경우의 수]] | ||
* [[순열]] | *[[순열]] | ||
* [[파스칼의 삼각형]] | *[[파스칼의 삼각형]] | ||
* [[이항정리]] | *[[이항정리]] | ||
[[분류:조합론]] | [[분류:조합론]] | ||
{{각주}} | {{각주}} |
2018년 2월 18일 (일) 00:09 판
Combination
개요
“ 서로 다른 [math]\displaystyle{ n }[/math]개의 원소에서 중복을 허락하지 않고, 또 순서에 상관없이 [math]\displaystyle{ r }[/math]개를 뽑을 때, 이를 [math]\displaystyle{ n }[/math]개에서 [math]\displaystyle{ r }[/math]개를 택하는 조합이라고 한다. “
기호로는 [math]\displaystyle{ _nC_r, C\left(n,r\right), \binom{n}{r} }[/math]등이 있다. 이 중 한국에서는 [math]\displaystyle{ _nC_r }[/math]이, 세계적으로는 [math]\displaystyle{ \binom{n}{r} }[/math]이 많이 쓰인다. 한국에서 [math]\displaystyle{ \binom{n}{r} }[/math]이 안 쓰이는 이유는 행렬이랑 헷갈리는 것을 방지하기 위함으로 보인다.[1]
순열과 마찬가지로 뭔가 거창한 정의가 붙었지만 실상은 초등학교에서부터 풀어온 경우의 수를 좀 더 수학적으로 나타낸 것 뿐이다. 다만 계산하는 것은 조금 더 까다로워 졌다. 계산하는 공식을 예시를 통해 유도해보자:
3명중 대표 2명을 뽑는 가짓 수를 생각하자. 실제 가짓 수는 세 가지지만 순열을 쓴다면 [math]\displaystyle{ _3P_2=3\times2=6 }[/math]이므로 순열과는 다른 공식이 필요함을 알 수 있다. 실제 구하는 방법은 순열과 비슷하게, 2명의 대표가 같으므로 2!으로 나눠주면 된다. 곧, [math]\displaystyle{ _3C_2=\frac{_3P_2}{2!} }[/math]임을 알 수 있다. 일반적인 경우는 다음과 같다.
- [math]\displaystyle{ _nC_r=\frac{_nP_r}{r!}=\frac{n!}{\left(n-r\right)!r!} }[/math]
다만 위 정의에서 한 가지 문제가 생기는데, 바로 [math]\displaystyle{ _nC_0 }[/math]. 상식적으로 생각해 봤을 때, n개중 0개를 뽑는 가짓수는 하나밖에 없다. 하지만 조합을 계산하는 가정에 순열이 들어가는데, n부터 시작해서 1씩 줄여나가며 0개를 곱하는 것이 상상이 되는가?[2]
중복 조합
조합과 마찬가지로 n개의 원소에서 r개를 순서에 상관없이 뽑는데, 중복을 허락할 때의 가짓 수. 기호로는 [math]\displaystyle{ \left(\!\binom{n}{r}\!\right) }[/math]을 쓰며, 한국에서는 [math]\displaystyle{ _nH_r }[/math]도 통한다. 그런데 [math]\displaystyle{ _nH_r }[/math]의 경우, 중복순열과 마찬가지로, 출처를 알 수 없는 정체불명의 기호이다. 조합의 일종인 것은 맞지만, 정식 명칭은 구성 (Composition)이며, 별과 막대기(Stars and bars)라는 별명도 있다. 더 자세한 것은 해당 문서 참조.
조합의 기본 성질
- [math]\displaystyle{ _nC_r=_nC_{n-r} }[/math]: n개중 r개를 뽑는 것은 n개중 n-r개의 뽑지 않을 것을 뽑는 것과 가짓수가 같다. 직접 전개하여 증명할 수도 있다.
- [math]\displaystyle{ _{n-1}C_{r-1}+_{n-1}C_r=_nC_r }[/math]: n개중 한 개를 고정한다. 이제 n개중 r개를 뽑는 가짓수는 그 한 개가 있는 경우와 없는 경우 두 가지로 나뉘고, 각각의 가짓수는 [math]\displaystyle{ _{n-1}C_{r-1}, \, _{n-1}C_r }[/math]이다. 역시 직접 전개하여 증명할 수도 있다.
- 이항정리
예시
- 남녀 각각 5명 중에서 남자 3명, 여자 2명을 뽑아 원탁에 앉히는 가짓 수
- 남자 3명을 뽑는 수는 [math]\displaystyle{ _5C_3=10 }[/math], 여자 2명을 뽑는 수는 [math]\displaystyle{ _5C_2=10 }[/math]. 곱의 법칙에 의해 전체 가짓 수는 [math]\displaystyle{ 10\times10=100 }[/math]. 이 5명을 원탁에 앉히므로, 원순열에 의해 [math]\displaystyle{ 100\times\left(5-1\right)!=2400 }[/math]
- 10명 중 5명을 뽑아 팀을 하나 만드는데, 철수와 영희는 사이가 안 좋아 같은 팀에 들어가지 않는다. 이 때 팀을 만드는 가짓수
- 10명 중 5명을 뽑는 수는 [math]\displaystyle{ _10C_5=252 }[/math]. 여기서 철수와 영희가 같은 팀에 들어간 가짓 수를 따로 빼주면 된다. 철수와 영희가 같은 팀에 있다면 나머지 8명 중에 3명을 뽑는 것과 마찬가지이므로, [math]\displaystyle{ _8C_3=56 }[/math]. 따라서 전체 가지수는 [math]\displaystyle{ 252-56=196 }[/math]