조합: 두 판 사이의 차이

2017년 5월 1일 (월) 05:41 판

Combination

개요

“ 서로 다른 [math]\displaystyle{ n }[/math]개의 원소에서 중복을 허락하지 않고, 또 순서에 상관없이 [math]\displaystyle{ r }[/math]개를 뽑을 때, 이를 [math]\displaystyle{ n }[/math]개에서 [math]\displaystyle{ r }[/math]개를 택하는 조합이라고 한다. “

기호로는 [math]\displaystyle{ _nC_r, C\left(n,r\right), \binom{n}{r} }[/math]등이 있다. 이 중 한국에서는 [math]\displaystyle{ _nC_r }[/math]이, 세계적으로는 [math]\displaystyle{ \binom{n}{r} }[/math]이 많이 쓰인다. 한국에서 [math]\displaystyle{ \binom{n}{r} }[/math]이 안 쓰이는 이유는 행렬이랑 헷갈리는 것을 방지하기 위함으로 보인다.^[1]

순열과 마찬가지로 뭔가 거창한 정의가 붙었지만 실상은 초등학교에서부터 풀어온 경우의 수를 좀 더 수학적으로 나타낸 것 뿐이다. 다만 계산하는 것은 조금 더 까다로워 졌다. 계산하는 공식을 예시를 통해 유도해보자:

3명중 대표 2명을 뽑는 가짓 수를 생각하자. 실제 가짓 수는 3가지 이지만 순열을 쓴다면 [math]\displaystyle{ _3P_2=3\times2=6 }[/math]이므로 순열과는 다른 공식이 필요함을 알 수 있다. 실제 구하는 방법은 순열과 비슷하게, 2명의 대표가 같으므로 2!으로 나눠주면 된다. 곧, [math]\displaystyle{ _3C_2=\frac{_3P_2}{2!} }[/math]임을 알 수 있다. 일반적인 경우는 다음과 같다.

[math]\displaystyle{ _nC_r=\frac{_nP_r}{r!}=\frac{n!}{\left(n-r\right)!r!} }[/math]

다만 위 정의에서 한가지 문제가 생기는데, 바로 [math]\displaystyle{ _nC_0 }[/math]. 상식적으로 생각해 봤을 때, n개중 0개를 뽑는 가짓수는 1가지 밖에 없다. 하지만 조합을 계산하는 가정에 순열이 들어가는데, n부터 시작해서 1씩 줄여나가며 0개를 곱하는 것이 상상이 되는가?^[2]

중복 조합

이와 관련한 내용은 구성에서 볼 수 있습니다.

조합과 마찬가지로 n개의 원소에서 r개를 순서에 상관없이 뽑는데, 중복을 허락할 때의 가짓 수. 기호로는 [math]\displaystyle{ \left(\!\binom{n}{r}\!\right) }[/math]을 쓰며, 한국에서는 [math]\displaystyle{ _nH_r }[/math]도 통한다. 그런데 [math]\displaystyle{ _nH_r }[/math]의 경우, 중복순열과 마찬가지로, 출처를 알 수 없는 정체불명의 기호이다. 조합의 일종인 것은 맞지만, 정식 명칭은 구성 (Composition)이며, 별과 막대기(Stars and bars)라는 별명도 있다. 더 자세한 것은 해당 문서 참조.

조합의 기본 성질

[math]\displaystyle{ _nC_r=_nC_{n-r} }[/math]: n개중 r개를 뽑는 것은 n개중 n-r개의 뽑지 않을 것을 뽑는 것과 가짓수가 같다. 직접 전개하여 증명할 수도 있다.
[math]\displaystyle{ _{n-1}C_{r-1}+_{n-1}C_r=_nC_r }[/math]: n개중 한 개를 고정한다. 이제 n개중 r개를 뽑는 가짓수는 그 한 개가 있는 경우와 없는 경우 2가지로 나눠지고, 각각의 가짓 수는 [math]\displaystyle{ _{n-1}C_{r-1}, \, _{n-1}C_r }[/math]이다. 역시 직접 전개하여 증명할 수도 있다.
이항정리

예시

남녀 각각 5명 중에서 남자 3명, 여자 2명을 뽑아 원탁에 앉히는 가짓 수
남자 3명을 뽑는 수는 [math]\displaystyle{ _5C_3=10 }[/math], 여자 2명을 뽑는 수는 [math]\displaystyle{ _5C_2=10 }[/math]. 곱의 법칙에 의해 전체 가짓 수는 [math]\displaystyle{ 10\times10=100 }[/math]. 이 5명을 원탁에 앉히므로, 원순열에 의해 [math]\displaystyle{ 100\times\left(5-1\right)!=2400 }[/math]
10명 중 5명을 뽑아 팀을 하나 만드는데, 철수와 영희는 사이가 안 좋아 같은 팀에 들어가지 않는다. 이 때 팀을 만드는 가짓수
10명 중 5명을 뽑는 수는 [math]\displaystyle{ _10C_5=252 }[/math]. 여기서 철수와 영희가 같은 팀에 들어간 가짓 수를 따로 빼주면 된다. 철수와 영희가 같은 팀에 있다면 나머지 8명 중에 3명을 뽑는 것과 마찬가지이므로, [math]\displaystyle{ _8C_3=56 }[/math]. 따라서 전체 가지수는 [math]\displaystyle{ 252-56=196 }[/math]

각주

↑ 다만 문맥에 따라 행렬인지 조합인지 보통 쉽게 구분된다. 헷갈린다는 것은 어디까지나 핑계.
↑ 하지만 [math]\displaystyle{ _nP_0 }[/math]이 이미 정의 되어 있기 때문에 실제로 큰 문제는 아니다.

[1] 다만 문맥에 따라 행렬인지 조합인지 보통 쉽게 구분된다. 헷갈린다는 것은 어디까지나 핑계.

[2] 하지만 [math]\displaystyle{ _nP_0 }[/math]이 이미 정의 되어 있기 때문에 실제로 큰 문제는 아니다.

[1]

[2]

@@ 1번째 줄: / 1번째 줄: @@
+{{+1|Combination}}
-Combination
 == 개요 ==
 {{인용문|서로 다른 <math>n</math>개의 원소에서 '''중복을 허락하지 않고''', 또 '''순서에 상관없이''' <math>r</math>개를 뽑을 때, 이를 <math>n</math>개에서 <math>r</math>개를 택하는 '''조합'''이라고 한다.}}
-기호로는 <math>_nC_r, C\left(n,r\right), \binom{n}{r}</math>등이 있다. 이 중 한국에서는 <math>_nC_r</math>이, 세계적으로는 <math>\binom{n}{r}</math>이 많이 쓰인다. 한국에서 <math>\binom{n}{r}</math>이 안 쓰이는 이유는 행렬이랑 헷갈리는 것을 방지하기 위함으로 보인다<ref>다만 문맥에 따라 행렬인지 조합인지 보통 쉽게 구분된다. 헷갈린다는 것은 어디까지나 핑계.</ref>
+기호로는 <math>_nC_r, C\left(n,r\right), \binom{n}{r}</math>등이 있다. 이 중 한국에서는 <math>_nC_r</math>이, 세계적으로는 <math>\binom{n}{r}</math>이 많이 쓰인다. 한국에서 <math>\binom{n}{r}</math>이 안 쓰이는 이유는 행렬이랑 헷갈리는 것을 방지하기 위함으로 보인다.<ref>다만 문맥에 따라 행렬인지 조합인지 보통 쉽게 구분된다. 헷갈린다는 것은 어디까지나 핑계.</ref>
-[[순열]]과 마찬가지로 뭔가 거창한 정의가 붙었지만 실상은 초등학교에서부터 풀어온 [[경우의 수]]를 좀 더 수학적으로 나타낸 것 뿐이다. 다만 계산하는 것은 조금 더 까다로워 졌다. 계산하는 공식을 예시를 통해 유도해보자 - 3명중 대표 2명을 뽑는 가짓 수를 생각하자. 실제 가짓 수는 3가지 이지만 순열을 쓴다면 <math>_3P_2=3\times2=6</math>이므로 순열과는 다른 공식이 필요함을 알 수 있다. 실제 구하는 방법은 [[순열#s-3|같은 것이 있는 경우의 수열]]과 비슷하게, 2명의 대표가 같으므로 2!으로 나눠주면 된다. 곧, <math>_3C_2=\frac{_3P_2}{2!}</math>임을 알 수 있다. 일반적인 경우는 다음과 같다.
+[[순열]]과 마찬가지로 뭔가 거창한 정의가 붙었지만 실상은 초등학교에서부터 풀어온 [[경우의 수]]를 좀 더 수학적으로 나타낸 것 뿐이다. 다만 계산하는 것은 조금 더 까다로워 졌다. 계산하는 공식을 예시를 통해 유도해보자:
-{{인용문2|<math>_nC_r=\frac{_nP_r}{r!}=\frac{n!}{\left(n-r\right)!r!}</math>}}
+명중 대표 2명을 뽑는 가짓 수를 생각하자. 실제 가짓 수는 3가지 이지만 순열을 쓴다면 <math>_3P_2=3\times2=6</math>이므로 순열과는 다른 공식이 필요함을 알 수 있다. 실제 구하는 방법은 [[순열#같은 것이 있는 경우의 순열|순열]]과 비슷하게, 2명의 대표가 같으므로 2!으로 나눠주면 된다. 곧, <math>_3C_2=\frac{_3P_2}{2!}</math>임을 알 수 있다. 일반적인 경우는 다음과 같다.
+:<math>_nC_r=\frac{_nP_r}{r!}=\frac{n!}{\left(n-r\right)!r!}</math>
 다만 위 정의에서 한가지 문제가 생기는데, 바로 <math>_nC_0</math>. 상식적으로 생각해 봤을 때, n개중 0개를 뽑는 가짓수는 1가지 밖에 없다. 하지만 조합을 계산하는 가정에 순열이 들어가는데, n부터 시작해서 1씩 줄여나가며 '''0'''개를 곱하는 것이 상상이 되는가?<ref>하지만 <math>_nP_0</math>이 이미 정의 되어 있기 때문에 실제로 큰 문제는 아니다.</ref>
 == 중복 조합 ==
-조합과 마찬가지로 n개의 원소에서 r개를 순서에 상관없이 뽑는데, '''중복을 허락할 때'''의 가짓 수. 기호로는 <math>\left(\binom{n}{r}\right)</math>을 쓰며, 한국에서는 <math>_nH_r</math>도 통한다.<ref>중복순열과 마찬가지로, 출처불명의 정체불명의 기호이다.</ref>
+{{참조|구성}}
+조합과 마찬가지로 n개의 원소에서 r개를 순서에 상관없이 뽑는데, '''중복을 허락할 때'''의 가짓 수. 기호로는 <math>\left(\!\binom{n}{r}\!\right)</math>을 쓰며, 한국에서는 <math>_nH_r</math>도 통한다. 그런데 <math>_nH_r</math>의 경우, 중복순열과 마찬가지로, 출처를 알 수 없는 정체불명의 기호이다. 조합의 일종인 것은 맞지만, 정식 명칭은 '''구성 (Composition)'''이며, 별과 막대기(Stars and bars)라는 별명도 있다. 더 자세한 것은 해당 문서 참조.
-중복조합의 가짓 수를 실제로 구하려고 해보면 [[순열]]이나 위의 조합과는 다르게 훨씬 복잡함을 알 수 있다. 계산공식을 유도하는 과정은 보통 "원"과 "막대기"를<ref>혹은 비슷한 다른 무언가</ref> 사용해서 설명한다. 예로, 숫자 1, 2, 3중 중복을 허락하여 5개를 뽑는 경우의 수를 생각해보자. 일단 5개를 뽑으므로 원 5개를 나란히 그린다. 이제 이 5개의 원 사이에 막대기를 집어넣어 3그룹으로 나눈다. 3그룹으로 나누기 위해 필요한 막대기의 수는 (3-1) = 2개이고, 나눠진 각 그룹에 있는 원의 수를 각각 숫자 1, 2, 3을 뽑는 개수라고하면 구하고자 하는 값이 나온다. 즉 총 가짓 수는 5개의 원과 2개의 막대기를 나열하는 가짓 수와 같고, 이는 7개의 칸중 원을 그릴 5개의 칸을 정하는 것과 동일하다. 즉, <math>_{5+3-1}C_5=_7C_5</math>가 답. 일반적인 경우는 다음과 같다.
-{{인용문2|<math>_nH_r=_{n+r-1}C_r</math>}}
-== 조합의 성질 ==
-. <math>_nC_r=_nC_{n-r}</math>: n개중 r개를 뽑는 것은 n개중 n-r개의 뽑지 않을 것을 뽑는 것과 가짓수가 같다. 직접 전개하여 증명할 수도 있다.
-. [[파스칼의 삼각형|<math>_{n-1}C_{r-1}+_{n-1}C_r=_nC_r</math>]]: n개중 한 개를 고정한다. 이제 n개중 r개를 뽑는 가짓수는 그 한 개가 있는 경우와 없는 경우 2가지로 나눠지고, 각각의 가짓 수는 <math>_{n-1}C_{r-1}, \, _{n-1}C_r</math>이다. 역시 직접 전개하여 증명할 수도 있다.
+== 조합의 기본 성질 ==
+#<math>_nC_r=_nC_{n-r}</math>: n개중 r개를 뽑는 것은 n개중 n-r개의 뽑지 않을 것을 뽑는 것과 가짓수가 같다. 직접 전개하여 증명할 수도 있다.
-. [[이항정리]] 참조.
+#[[파스칼의 삼각형|<math>_{n-1}C_{r-1}+_{n-1}C_r=_nC_r</math>]]: n개중 한 개를 고정한다. 이제 n개중 r개를 뽑는 가짓수는 그 한 개가 있는 경우와 없는 경우 2가지로 나눠지고, 각각의 가짓 수는 <math>_{n-1}C_{r-1}, \, _{n-1}C_r</math>이다. 역시 직접 전개하여 증명할 수도 있다.
+#[[이항정리]]
 == 예시 ==
-조합
+#남녀 각각 5명 중에서 남자 3명, 여자 2명을 뽑아 원탁에 앉히는 가짓 수
-{{인용문2|남녀 각각 5명 중에서 남자 3명, 여자 2명을 뽑아 원탁에 앉히는 가짓 수: 남자 3명을 뽑는 수는 <math>_5C_3=10</math>, 여자 2명을 뽑는 수는 <math>_5C_2=10</math>. 곱의 법칙에 의해 전체 가짓 수는 <math>10\times10=100</math>. 이 5명을 원탁에 앉히므로, [[순열(수학)#s-4|원순열]]에 의해 <math>100\times\left(5-1\right)!=2400</math>}}
+#:남자 3명을 뽑는 수는 <math>_5C_3=10</math>, 여자 2명을 뽑는 수는 <math>_5C_2=10</math>. 곱의 법칙에 의해 전체 가짓 수는 <math>10\times10=100</math>. 이 5명을 원탁에 앉히므로, [[순열#원순열|원순열]]에 의해 <math>100\times\left(5-1\right)!=2400</math>
+#10명 중 5명을 뽑아 팀을 하나 만드는데, 철수와 영희는 사이가 안 좋아 같은 팀에 들어가지 않는다. 이 때 팀을 만드는 가짓수
-중복조합
+#:10명 중 5명을 뽑는 수는 <math>_10C_5=252</math>. 여기서 철수와 영희가 같은 팀에 들어간 가짓 수를 따로 빼주면 된다. 철수와 영희가 같은 팀에 있다면 나머지 8명 중에 3명을 뽑는 것과 마찬가지이므로, <math>_8C_3=56</math>. 따라서 전체 가지수는 <math>252-56=196</math>
-{{인용문2|음이 아닌 정수 <math>x, y, z</math>에 대해, <math>x+y+z \leq 3</math>를 만족시키는 순서쌍 <math>\left(x, y, z\right)</math>의 수: <math>x+y+z=n</math>를 만족시키는 순서쌍 <math>\left(x,y,z\right)</math>의 수는 3개중 중복을 허락하여 n개를 뽑는 가짓 수와 동일하다. 즉, 구하고자 하는 답은 <math>_3H_0+_3H_1+_3H_2+_3H_3=_2C_0+_3C_1+_4C_2+_5C_3=1+3+6+10=20</math>.}}
-== 관련 항목 ==
+== 관련 문서 ==
-* [[경우의 수]]
+*[[경우의 수]]
-* [[순열]]
+*[[순열]]
-* [[파스칼의 삼각형]]
+*[[파스칼의 삼각형]]
-* [[이항정리]]
+*[[이항정리]]
 [[분류:조합론]]
 {{각주}}