조합 편집하기

{{+1|Combination}}

== 개요 ==
{{인용문|서로 다른 <math>n</math>개의 원소에서 '''중복을 허락하지 않고''', 또 '''순서에 상관없이''' <math>r</math>개를 뽑을 때, 이를 <math>n</math>개에서 <math>r</math>개를 택하는 '''조합'''이라고 한다.}}
기호로는 <math>_nC_r, C\left(n,r\right), \binom{n}{r}</math>등이 있다. 이 중 한국에서는 <math>_nC_r</math>이, 세계적으로는 <math>\binom{n}{r}</math>이 많이 쓰인다. 한국에서 <math>\binom{n}{r}</math>이 안 쓰이는 이유는 행렬이랑 헷갈리는 것을 방지하기 위함으로 보인다.<ref>다만 문맥에 따라 행렬인지 조합인지 보통 쉽게 구분된다. 헷갈린다는 것은 어디까지나 핑계.</ref>

[[순열]]과 마찬가지로 뭔가 거창한 정의가 붙었지만 실상은 초등학교에서부터 풀어온 [[경우의 수]]를 좀 더 수학적으로 나타낸 것 뿐이다. 다만 계산하는 것은 조금 더 까다로워 졌다. 계산하는 공식을 예시를 통해 유도해보자:

3명중 대표 2명을 뽑는 가짓 수를 생각하자. 실제 가짓 수는 세 가지지만 순열을 쓴다면 <math>_3P_2=3\times2=6</math>이므로 순열과는 다른 공식이 필요함을 알 수 있다. 실제 구하는 방법은 [[순열#같은 것이 있는 경우의 순열|순열]]과 비슷하게, 2명의 대표가 같으므로 2!으로 나눠주면 된다. 곧, <math>_3C_2=\frac{_3P_2}{2!}</math>임을 알 수 있다. 일반적인 경우는 다음과 같다.
:<math>_nC_r=\frac{_nP_r}{r!}=\frac{n!}{\left(n-r\right)!r!}</math>
다만 위 정의에서 한가지 문제가 생기는데, 바로 <math>_nC_0</math>. 상식적으로 생각해 봤을 때, n개중 0개를 뽑는 가짓수는 1가지 밖에 없다. 하지만 조합을 계산하는 가정에 순열이 들어가는데, n부터 시작해서 1씩 줄여나가며 '''0'''개를 곱하는 것이 상상이 되는가?<ref>하지만 <math>_nP_0</math>이 이미 정의 되어 있기 때문에 실제로 큰 문제는 아니다.</ref>

== 중복 조합 ==
{{참고|구성}}
조합과 마찬가지로 n개의 원소에서 r개를 순서에 상관없이 뽑는데, '''중복을 허락할 때'''의 가짓 수. 기호로는 <math>\left(\!\binom{n}{r}\!\right)</math>을 쓰며, 한국에서는 <math>_nH_r</math>도 통한다. 그런데 <math>_nH_r</math>의 경우, 중복순열과 마찬가지로, 출처를 알 수 없는 정체불명의 기호이다. 조합의 일종인 것은 맞지만, 정식 명칭은 '''구성 (Composition)'''이며, 별과 막대기(Stars and bars)라는 별명도 있다. 더 자세한 것은 해당 문서 참조.

== 조합의 기본 성질 ==
#<math>_nC_r=_nC_{n-r}</math>: n개중 r개를 뽑는 것은 n개중 n-r개의 뽑지 않을 것을 뽑는 것과 가짓수가 같다. 직접 전개하여 증명할 수도 있다.
#[[파스칼의 삼각형|<math>_{n-1}C_{r-1}+_{n-1}C_r=_nC_r</math>]]: n개중 한 개를 고정한다. 이제 n개중 r개를 뽑는 가짓수는 그 한 개가 있는 경우와 없는 경우 두 가지로 나뉘고, 각각의 가짓수는 <math>_{n-1}C_{r-1}, \, _{n-1}C_r</math>이다. 역시 직접 전개하여 증명할 수도 있다.
#[[이항정리]]

== 예시 ==
#남녀 각각 5명 중에서 남자 3명, 여자 2명을 뽑아 원탁에 앉히는 가짓 수
#:남자 3명을 뽑는 수는 <math>_5C_3=10</math>, 여자 2명을 뽑는 수는 <math>_5C_2=10</math>. 곱의 법칙에 의해 전체 가짓 수는 <math>10\times10=100</math>. 이 5명을 원탁에 앉히므로, [[순열#원순열|원순열]]에 의해 <math>100\times\left(5-1\right)!=2400</math>
#10명 중 5명을 뽑아 팀을 하나 만드는데, 철수와 영희는 사이가 안 좋아 같은 팀에 들어가지 않는다. 이 때 팀을 만드는 가짓수
#:10명 중 5명을 뽑는 수는 <math>_10C_5=252</math>. 여기서 철수와 영희가 같은 팀에 들어간 가짓 수를 따로 빼주면 된다. 철수와 영희가 같은 팀에 있다면 나머지 8명 중에 3명을 뽑는 것과 마찬가지이므로, <math>_8C_3=56</math>. 따라서 전체 가지수는 <math>252-56=196</math>

== 관련 문서 ==
*[[경우의 수]]
*[[순열]]
*[[파스칼의 삼각형]]
*[[이항정리]]

[[분류:조합론]]
{{각주}}