조건부확률 편집하기


== 정의 ==
[[사건]] <math>A,B</math>가 주어졌다고 하자. <math>P(B)>0</math>일 때, ''B''가 발생했을 때 ''A''가 발생할 '''조건부확률(conditional probability)'''을 다음과 같이 [[정의]]한다.
: <math>P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}</math>

== 조건부확률은 확률인가 ==
조건부확률은 [[확률]]이다.
* 임의의 사건 <math>A,B</math>에 대해 <math>0\le P(A|B)\le 1</math>이다.
: <math>P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}</math>
이고 임의의 사건 ''X''에 대해 <math>P(X)\ge 0</math>이므로,
: <math>\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\ge 0</math>
임은 자명하다. 한편 <math>A\cap B\subseteq B</math>이므로
: <math>P(A\cap B)\le P(B)</math>
이고, 그러므로
: <math>\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\le 1</math>
이다. 따라서 원하는 결론을 얻는다.
* [[표본공간]]을 ''S''라 하면, <math>P(S|B)=1</math>이다.
<math>S\cap B=B</math>이므로
: <math>P(S|B)=\frac{P(S\cap B)}{P(B)}=\frac{P(B)}{P(B)}=1</math>
이다.
* <math>A_1,A_2,\cdots,A_n</math>이 서로소일 때, <math>P\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} A_i | B \right)=\sum_{n=1}^{\infty}P(A_i|B)</math>이다.
: <math>\begin{align}
P\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} A_i | B \right)&=\frac{P((\bigcup_{n=1}^{\infty}A_i) \cap B )}{P(B)}\\
&=\frac{P(\bigcup_{n=1}^{\infty}(A_i \cap B)) }{P(B)}\\
&=\frac{\sum_{n=1}^{\infty}(A_i\cap B)}{P(B)}\\
&=\sum_{n=1}^{\infty}P(A_i|B)
\end{align}</math>
이므로 원하는 결론을 얻는다.

== 관련 공식 ==
=== 곱의 법칙 ===
사건 <math>A_1,A_2,\cdots,A_n</math>에 대해 다음 식이 성립한다.
: <math>P(A_1\cap A_2\cap\cdots\cap A_n)=P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_1\cap A_2)\cdots P(A_n|A_1\cap A_2\cap \cdots A_{n-1})</math>
증명은 [[수학적 귀납법]]으로 쉽게 할 수 있다. 먼저
: <math>P(A_1)=P(A_1)</math>
: <math>P(A_1\cap A_2)=P(A_1)P(A_2|A_1)</math>
임은 조건부확률의 정의에 의해 자명하다. 이제
: <math>P(A_1\cap A_2\cap\cdots\cap A_n)=P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_1\cap A_2)\cdots P(A_n|A_1\cap A_2\cap \cdots A_{n-1})</math>
이 참이라고 하자. 그러면
: <math>\begin{align}
P(A_1\cap A_2\cap\cdots\cap A_{n+1})&=P(A_1\cap A_2\cap\cdots\cap A_n)P(A_{n+1}|A_1\cap A_2 \cap\cdots\cap A_n)\\
&=P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_1\cap A_2)\cdots P(A_n|A_1\cap A_2\cap \cdots A_{n-1})P(A_{n+1}|A_1\cap A_2 \cap\cdots\cap A_n)
\end{align}</math>
이므로 원하는 결과를 얻는다.

=== 전확률의 법칙 ===
사건 <math>B_1,B_2,\cdots,B_n</math>이 서로소이고 이들 중 하나만 반드시 발생한다고 하자. 그러면
: <math>A=\bigcup_{i=1}^n (A\cap B_i)</math>
이고 <math>A\cap B_1, A\cap B_2,\cdots, A\cap B_n</math>은 서로소이므로 다음 식이 성립한다.
: <math>\begin{align}
P(A)&=\sum_{i=1}^n P(A\cap B_i)\\
&=\sum_{i=1}^n P(A|B_i)P(B_i)
\end{align}</math>

=== 베이즈 정리 ===
{{참고|베이즈 정리}}
사건 <math>A,B</math>에 대해 다음 식이 성립한다.
: <math>P(A|B)=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}</math>
일반적으로, 사건 <math>A_1,A_2,\cdots,A_n</math>가 서로소이고 이들 중 단 하나만 반드시 발생한다면, 전확률의 법칙에 의해
: <math>P(A_j|B)=\frac{P(B|A_j)P(A_j)}{\sum_{i=1}^n P(B|A_i)P(A_i)}</math>
이다.

== 예시 ==
* 4명이 순서대로 제비를 뽑아 그 중 두 명이 당첨된다고 하자. 그러면 어느 순서에 있는 것이 가장 유리할까?
이 문제를 조건부확률을 이용해 풀어보자. ''i''번째 사람이 당첨되는 사건을 <math>W_i</math>라고 하자. 그러면
: <math>P(W_1)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}</math>
: <math>P(W_2)=P(W_2|W_1)P(W_1)+P(W_2|W_1^c)P(W_1^c)=\frac{1}{3}\frac{1}{2}+\frac{2}{3}\frac{1}{2}=\frac{1}{2}</math>
: <math>\begin{align}
P(W_3)&=P(W_3\cap W_2)+P(W_3\cap W_2^c)\\
&=P(W_3\cap W_2|W_1)P(W_1)+P(W_3\cap W_2|W_1^c)P(W_1^c)+P(W_3\cap W_2^c|W_1)P(W_1)+P(W_3\cap W_2^c|W_1^c)P(W_1^c)\\
&=0+\frac{2}{3}\frac{1}{2}\frac{1}{2}+\frac{2}{3}\frac{1}{2}\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\frac{1}{1}\frac{1}{2}\\
&=\frac{1}{2}
\end{align}</math>
: <math>\begin{align}
P(W_4)&=P(W_4\cap W_3)+P(W_4\cap W_3^c)\\
&=P(W_4\cap W_3\cap W_2)+P(W_4\cap W_3\cap W_2^c)+P(W_4\cap W_3^c\cap W_2)+P(W_4\cap W_3\cap W_2^c)\\
&=0+P(W_4\cap W_3\cap W_2^c|W_1)P(W_1)+P(W_4\cap W_3\cap W_2^c|W_1^c)P(W_1^c)+P(W_4\cap W_3^c\cap W_2|W_1)P(W_1)\\
&\quad+P(W_4\cap W_3^c\cap W_2|W_1^c)P(W_1^c)+P(W_4\cap W_3\cap W_2^c|W_1)P(W_1)+P(W_4\cap W_3\cap W_2^c|W_1^c)P(W_1^c)\\
&=0+\frac{1}{3}\frac{1}{1}\frac{1}{1}\frac{1}{2}+0+\frac{2}{3}\frac{1}{2}\frac{1}{1}\frac{1}{2}+0+\frac{1}{3}\frac{1}{1}\frac{1}{1}\frac{1}{2}\\
&=\frac{1}{2}
\end{align}</math>
이므로 어느 순서에 있든 당첨될 확률은 같다. 일반적으로 ''n''명이 순서대로 제비를 뽑아 그 중 ''m''명이 당첨된다면, 어느 순서에 있더라도 당첨될 확률은
: <math>P(W_i)=\frac{m}{n}</math>
으로 동일하다.
== 독립사건 ==
{{참고|독립사건}}
사건 <math>A,B</math>에 대해 다음 식
: <math>P(A\cap B)=P(A)P(B)</math>
이 성립하면 ''A''와 ''B''는 서로 독립(independent)이라고 한다. 만약 ''A''와 ''B''가 독립이 아니면 종속(dependent)이라고 한다. 조건부확률의 정의에 의해 <math>A,B</math>가 독립일 필요충분조건은 다음과 같다.
: <math>P(A|B)=P(A)</math>
: <math>P(B|A)=P(B)</math>

== 조건확률분포 ==
=== 이산확률분포 ===
[[확률변수]] <math>X,Y</math>의 결합확률질량함수(joint probability mass function)가 <math>p(x,y)</math>이고 ''Y''의 주변확률질량함수(marginal probability mass function)를 <math>p_Y(y)</math>로 두면,
: <math>\begin{align}
p_{X|Y}(x|y)&=P(X=x|Y=y)\\
&=\frac{P(X=x,Y=y)}{P(Y=y)}\\
&=\frac{p(x,y)}{p_Y(y)}
\end{align}</math>
이다.

=== 연속확률분포 ===
확률변수 <math>X,Y</math>의 결합확률밀도함수(joint probability density function)가 <math>f(x,y)</math>이고 ''Y''의 주변확률밀도함수(marginal probability density function)를 <math>f_Y(y)</math>로 두면,
: <math>f_{X|Y}(x|y)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}</math>
이다.

== 같이 보기 ==
* [[몬티 홀 문제]]
* [[도박사의 파산]]
* [[O. J. 심슨]]

[[분류:확률론]]