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Acta Mathematica 30 (1): 175–193. </ref> [[수학 경시대회]]에서 볼록함수나 오목함수가 나온다면 제일 먼저 시도해 봐야할 정도로 활용도가 높은 [[부등식]]. 여기서 볼록함수와 오목함수는 모두 아래로 볼록/오목인 함수를 나타내는 것으로 생각하자. 정확한 정의는 [[볼록함수와 오목함수]]를 참조. == 명제 == [[함수]] <math>f:I\to\mathbb{R}</math>이 [[볼록함수]]라고 가정하자. 그럼, 임의의 <math>x_1,x_2,\ldots,x_n\in I</math>와 <math>\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_n=1</math>을 만족하는 임의의 음이 아닌 [[실수]] <math>\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n</math>에 대해, <math>\lambda_1f\left(x_1\right)+\lambda_2f\left(x_2\right)+\cdots+\lambda_nf\left(x_n\right)\geq f\left(\lambda_1x_1+\lambda_2x_2+\cdots+\lambda_nx_n\right)</math>이 성립한다. 만약 <math>f</math>가 [[오목함수]]라면, 부등호의 방향이 반대이다. 한 줄로 표현하면, <math>\sum_{i=1}^n\lambda_if\left(x_i\right)\geq f\left(\sum_{i=1}^n\lambda_ix_i\right)</math>이다. 가장 잘 알려진 증명은 [[수학적 귀납법]]을 사용한 증명이며, 다음과 같다. ;증명 <math>n=2</math>이면, [[볼록함수]]의 정의에 의해 쉽게 유도된다. 이제, 적당한 [[자연수]] <math>n</math>에 대해 명제가 성립한다고 가정하자. 이제, <math>\lambda_1</math>부터 <math>\lambda_{n+1}</math> 중에 적어도 하나는 양수여야 한다. 일반성을 잃지 않고 <math>\lambda_1>0</math>이라 가정하자. 그럼, 다시 한번 [[볼록함수]]의 정의에 의해, :<math>f\left(\sum_{i=1}^{n+1}\lambda_ix_i\right)=f\left(\lambda_1x_1+\left(1-\lambda_1\right)\sum_{i=2}^{n+1}\frac{\lambda_i}{1-\lambda_1}x_i\right)\leq\lambda_1f\left(x_1\right)+\left(1-\lambda_1\right)f\left(\sum_{i=2}^{n+1}\frac{\lambda_i}{1-\lambda_1}x_i\right)</math> 한편, <math>\sum_{i=2}^{n+1}\frac{\lambda_i}{1-\lambda_1}=1</math>이므로, 귀납 가정을 사용하면, :<math>f\left(\sum_{i=2}^{n+1}\frac{\lambda_i}{1-\lambda_1}x_i\right)\leq\sum_{i=2}^{n+1}\frac{\lambda_i}{1-\lambda_1}f\left(x_i\right)</math> 따라서, :<math>f\left(\sum_{i=1}^{n+1}\lambda_ix_i\right)\leq\lambda_1f\left(x_1\right)+\left(1-\lambda_1\right)f\left(\sum_{i=2}^{n+1}\frac{\lambda_i}{1-\lambda_1}x_i\right)\leq\lambda_1f\left(x_1\right)+\left(1-\lambda_1\right)\sum_{i=2}^{n+1}\frac{\lambda_i}{1-\lambda_1}f\left(x_i\right)=\sum_{i=1}^{n+1}\lambda_if\left(x_i\right)</math> 명제가 <math>n+1</math>일 때도 성립하므로, [[수학적 귀납법]]에 의해 증명하고자 하는 바가 증명되었다. <math>f</math>가 [[오목함수]]일 때는 부등호 방향이 전부 반대일 뿐, 증명은 동일하다. ;일반화 [[함수]] <math>f:I\to\mathbb{R}</math>이 [[볼록함수]]라고 가정하자. 그럼, 임의의 <math>x_1,x_2,\ldots,x_n\in I</math>와 임의의 음이 아닌 [[실수]] <math>\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n</math>에 대해, <math>\lambda_1f\left(x_1\right)+\lambda_2f\left(x_2\right)+\cdots+\lambda_nf\left(x_n\right)\geq \left(\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_n\right)f\left(\frac{\lambda_1x_1+\lambda_2x_2+\cdots+\lambda_nx_n}{\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_n}\right)</math>이 성립한다. 만약 <math>f</math>가 [[오목함수]]라면, 부등호의 방향이 반대이다. ;증명 <math>\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_n=\alpha</math>라 하자. 그럼, <math>\sum_{i=1}^n\frac{\lambda_i}{\alpha}=1</math>이므로, 위 젠센 부등식을 사용할 수 있다. 즉, :<math>\sum_{i=1}^n\frac{\lambda_i}{\alpha}f\left(x_i\right)\geq f\left(\sum_{i=1}^n\frac{\lambda_ix_i}{\alpha}\right)</math> 양변에 <math>\alpha</math>를 곱하면, 원하는 부등식이 증명된다. 참고로 등호는 <math>x_1=x_2=\cdots=x_n</math>이거나 <math>f</math>가 선형 함수일 때 성립한다. == 다른 버전 == == 활용 == [[산술-기하평균 부등식]]을 간단히 증명할 수 있다. <math>f\left(x\right)=\ln x</math>는 [[오목함수]]이므로, <math>\lambda_i=\frac{1}{n}</math>에 대해, 젠센 부등식을 사용하면, :<math>\sum_{i=1}^n\frac{1}{n}\ln\left(x_i\right)\leq\ln\left(\sum_{i=1}^n\frac{1}{n}x_i\right)</math> 이고, 로그의 성질을 이용해 잘 정리하면, :<math>\ln\left(\left(x_1x_2\cdots x_n\right)^{\frac{1}{n}}\right)\leq\ln\left(\sum_{i=1}^n\frac{1}{n}x_i\right)</math> 이다. 그런데 자연로그 함수는 증가함수이므로, <math>\left(x_1x_2\cdots x_n\right)^{\frac{1}{n}}\leq\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}</math>. 따라서 GM≤AM. {{각주}} [[분류:부등식]] 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · 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Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț 이 문서에서 사용한 틀: 틀:각주 (원본 보기) (준보호됨)