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[[수학적 귀납법]]을 이용한다. * 증명 목표: 임의의 <math>j</math>에 대해 <math>F_j < N < F_{j+1}</math>인 자연수는 언제나 제켄도르프 분해가 존재한다. (★) * <math>j=4</math>일 때 (★) 명제는 참이다. * <math>j < k (k \geq 5)</math>일 때 (★) 명제가 참이면 <math>j=k</math>일 때도 마찬가지로 참이다. 먼저 <math>j=4</math>인 경우, <math>F_4=3, F_5=5</math>이므로 이 사이에 들어가는 자연수는 4 뿐이다. <math>4=1+3=F_2+F_4</math>이므로 제켄도르프 분해가 존재하며, 첫째 조건은 참이다. 다음으로 둘째 조건의 가정은 <math>N<F_k</math>일 때 (★) 명제가 참이라고 표현할 수 있다. <math>j=k</math>이면 <math>F_k < N < F_{k+1}</math>이다. 이때 <math>M=N-F_k</math>라 하면 [[피보나치 수열]]의 정의에 의해 <math>F_{k+1}-F_k=F_{k-1}</math>이므로 <math>M<F_{k-1}<F_k</math>이다. 즉 <math>M</math>은 둘째 조건의 가정에 따라 제켄도르프 분해가 존재하고, <math>M=\sum_{i=1}^{m}F_{\sigma(i)}</math>에서 가장 나중 항은 <math>F_{k-2}</math> 또는 그 이하이다. 즉 <math>\sigma(m) \leq k-2</math>. 이제 <math>k=\sigma(m+1)</math>이라 하면 <math>\sigma(m+1) \geq \sigma(m)+2</math>이며 <math>N=M+F_k=\sum_{i=1}^{m}F_{\sigma(i)}+F_{\sigma(m+1)}=\sum_{i=1}^{m+1}F_{\sigma(i)}</math>이다. 가장 나중의 두 항이 서로 이웃 항이 아니므로, <math>N</math> 역시 제켄도르프 분해가 존재한다. 따라서 둘째 조건도 참이 되어 모든 자연수에 대해 존재성이 증명된다. === 유일성 === 유일성의 증명에 앞서 보조정리를 먼저 살펴본다. * 보조정리: <math>N</math>을 제켄도르프 분해로 나타낼 때, 가장 큰 항이 <math>F_j</math>이면 <math>F_j \leq N < F_{j+1}</math>이다. 보조정리 역시 수학적 귀납법으로 증명할 수 있다. 먼저 주어진 수가 피보나치 수인 경우, 즉 <math>N=F_j</math>인 경우는 자명하다. 피보나치 수가 아닌 경우, <math>j=4, F_4=3</math>에서 출발한다. 그러면 제켄도르프 분해의 가장 큰 항은 3인데, 3보다 작은 이웃이 아닌 피보나치 수는 1뿐이다. <math>N=3+1=4<F_5</math>이므로 보조정리의 조건을 만족한다. 다음으로 <math>j<k</math>일 때 보조정리가 참이라 가정하면 <math>j=k</math>일 때도 참임을 보인다. <math>N</math>의 제켄도르프 분해의 가장 큰 항이 <math>F_k</math>이면, 그 다음으로 작은 항은 <math>F_{k'}, k' \leq k-2</math>이다. <math>M=N-F_k</math>라 하면 <math>M</math> 내에서는 <math>F_{k'}</math>이 가장 큰 항이므로 가정에 의해 <math>M<F_{k'+1} \leq F_{k-1}</math>이다. 따라서 <math>M+F_k < F_{k-1}+F_k</math>이고 <math>N<F_{k+1}</math>이 된다. 이상 보조정리의 증명은 끝나고, 이제 유일성을 증명할 차례다. <math>S, T</math>를 어떤 자연수의 제켄도르프 분해를 담은 집합이라 하자. 즉 각 집합 내 원소들은 연속하지 않는 피보나치 수이고, 원소들을 모두 합하면 원래 자연수가 된다. 수식으로 표현하면 <math>N=\sum_{x_s \in S}x_s = \sum_{x_t \in T}x_t</math>(☆) 제켄도르프 분해가 유일하다면 반드시 <math>S=T</math>가 성립해야 한다. <math>S'=S \setminus T \neq \emptyset, T'=T \setminus S \neq \emptyset</math>이라 가정한다.<ref><math>S \neq T</math>이면서 집합 내 원소(자연수)의 합이 같다면 두 집합은 서로 부분집합 관계일 수 없다.</ref> 각 차집합 내의 가장 큰 원소인 <math>F_s \in S', F_t \in T'</math>를 불러오면 <math>S' \cap T' = \emptyset</math>이므로 <math>F_s \neq F_t</math>이다. 일반성을 잃지 않고 <math>F_s < F_t</math>라 하면, 보조정리에 의해 <math>S'</math>내의 모든 원소의 합은 <math>F_t</math>보다 작다. 즉 <math>\sum_{x_s \in S'} x_s < F_t \leq \sum_{x_t \in T'} x_t</math> 그러므로 <math>\sum_{x_s \in S'} x_s + \sum_{x_s \in S \cap T} x_s < \sum_{x_t \in T'} x_t + \sum_{x_t \in S \cap T} x_t </math>이며, 양 변을 간단히 하면 <math>\sum_{x_s \in S} x_s < \sum_{x_t \in T} x_t</math>이다. 하지만 이는 (☆) 식과 모순이다. 그러므로 <math>S'=T'=\emptyset, S=T</math>가 되어 유일성은 참이다. == 피보나치 곱 == 제켄도르프 분해를 바탕으로 한 특수한 연산을 정의할 수 있다. 어떤 두 수가 <math>a=\sum_{i=1}^{m}F_{\rho(i)}, b=\sum_{j=1}^{n}F_{\sigma(j)}</math>와 같이 표현될 때, 피보나치 곱은 아래와 같이 정의한다. 단, 제켄도르프 분해에서 1이 들어가 있다면 이는 <math>F_2</math>로 간주한다. * <math>a \circ b = \sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}F_{\rho(i)+\sigma(j)}</math> 예를 들면 :<math>\begin{align} 6 \circ 7 &= (5+1) \circ (5+2) = (F_5+F_2) \circ (F_5+F_3) =F_{5+5}+F_{5+3}+F_{2+5}+F_{2+3} =F_{10}+F_8+F_7+F_5 \\ &=F_{10}+F_9+F_5 =F_{11}+F_5 =89+5 =94 \end{align}</math> 와 같이 셈할 수 있다. 피보나치 곱을 시행하면 보통 제켄도르프 분해 형태로 나오지 않지만 항을 적절히 재조합하면 모양을 만들 수 있다. 이 연산은 정의에 따라 교환법칙과 분배법칙이 성립한다. 또, <math>c=\sum_{k=1}^{p}F_{\tau(k)}</math>를 불러오면 아래와 같이 결합법칙도 성립한다. * <math>(a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c) = \sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}\sum_{k=1}^{p}F_{\rho(i)+\sigma(j)+\tau(k)}</math> == 기타 == 이 정리는 [[이진법]]과 성격이 유사하다. 이진법의 경우 합의 분해를 피보나치 수 대신 (1을 포함한) 2의 거듭제곱으로 나타낸다. 즉 "모든 자연수는 2의 거듭제곱의 합으로 나타낼 수 있고, 그 표현은 유일하다"는 것이 이진법의 기본 배경이다. 다만 이쪽은 '''연속하지 않은 원소'''라는 조건이 붙어있지 않다. {{각주}} [[분류:수학 정리]] 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] 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