정팔면체(Octahedron, 正八面體)는 정삼각형 여덟 개로 둘러쌓인 입체도형이다. 면의 크기, 모서리의 길이, 꼭짓점의 연결상태 모두 같은 다섯 종류의 정다면체 중 하나이다.
특징[편집 | 원본 편집]
- 한 면이 정삼각형이며, 한 꼭짓점에 네 개의 모서리가 만난다.
- 꼭짓점, 모서리, 면의 갯수는 각각 6개, 12개, 8개이다.
- 정육면체와 쌍대관계이다. 즉 정팔면체의 면의 중심을 꼭짓점으로 하고 인접한 면에 대해 면의 중심을 모서리로 이으면 정육면체가 생성된다.
- 회전대칭군은 [math]\displaystyle{ O \simeq S_4 }[/math], 거울대칭군은 [math]\displaystyle{ O_h \simeq S_4 \times \mathbb{Z}_2 }[/math]이다.
- 슐래플리 기호(Schläfli symbol)로는 {3,4}으로 나타난다.
- 정사면체와 함께 배열하면 3차원 공간을 채울 수 있는 도형이다.
- 겹사각뿔(dipyramid)의 특수한 경우이다.
- 이면각은 [math]\displaystyle{ arccos(-1/3) \approx 109.48^\circ }[/math]이다.
공식[편집 | 원본 편집]
하나의 모서리의 길이가 a일 때 공식은 다음과 같다.
- 부피 : [math]\displaystyle{ \frac{\sqrt{2}}{3} a^3 }[/math]
- 겉넓이 : [math]\displaystyle{ 2\sqrt{3}a^2 }[/math]
- 외접/내접하는 구의 반지름 : [math]\displaystyle{ \frac{\sqrt{2}}{2} a }[/math], [math]\displaystyle{ \frac{\sqrt{6}}{6} a }[/math]
정다면체의 순환[편집 | 원본 편집]
- 정사면체의 모서리의 중점을 잡고, 꼭짓점을 공유한 모서리의 중점을 모두 연결하면 정팔면체를 생성할 수 있다.
- 정팔면체의 모서리에서 1:φ(황금비)인 점을 잡는다. 이 때 정팔면체 면 위의 꼭짓점을 이은 뒤 나머지 가까운 꼭짓점을 연결하면 정이십면체를 생성할 수 있다.
전개도[편집 | 원본 편집]
정팔면체의 전개도는 모두 11종류가 있다. 정육면체의 전개도의 갯수와 동일하다.