정십이면체(Dodecahedron, 正十二面體)는 정오각형 열두 개로 둘러쌓인 입체도형이다. 면의 크기, 모서리의 길이, 꼭짓점의 연결상태 모두 같은 다섯 종류의 정다면체 중 하나이다.
특징[편집 | 원본 편집]
- 한 면이 정오각형이며, 한 꼭짓점에 세 개의 모서리가 만난다.
- 꼭짓점, 모서리, 면의 갯수는 각각 20개, 30개, 12개이다.
- 정이십면체와 쌍대관계이다. 즉 정십이면체의 면의 중심을 꼭짓점으로 하고 인접한 면에 대해 면의 중심을 모서리로 이으면 정이십면체가 생성된다.
- 회전대칭군은 [math]\displaystyle{ I \simeq A_5 }[/math], 거울대칭군은 [math]\displaystyle{ I_h \simeq A_5 \times \mathbb{Z}_2 }[/math]이다.
- 슐래플리 기호(Schläfli symbol)로는 {5,3}으로 나타난다.
- 이면각은 [math]\displaystyle{ arccos(-1/\sqrt{5}) \approx 116.565^\circ }[/math]이다.
공식[편집 | 원본 편집]
하나의 모서리의 길이가 a일 때 공식은 다음과 같다.
- 부피 : [math]\displaystyle{ \frac{15+7\sqrt{5}}{4} a^3 }[/math]
- 겉넓이 : [math]\displaystyle{ 3\sqrt{25+10\sqrt{5}}a^2 }[/math]
- 외접/내접하는 구의 반지름 : [math]\displaystyle{ \frac{\sqrt{15}+\sqrt{3}}{4} a }[/math], [math]\displaystyle{ \frac{\sqrt{25+11\sqrt{5}}}{\sqrt{40}} a }[/math]
정다면체의 순환[편집 | 원본 편집]
- 정십이면체의 면의 대각선을 연결해서 정육면체를 생성할 수 있다.
전개도[편집 | 원본 편집]
정십이면체의 전개도는 모두 43,380종류가 있다. 정이십면체의 전개도의 갯수와 동일하다.