개요
우리가 일상적으로 세는 숫자들의 성질을 연구하는 수학의 학문. 세상에서 제일 멋있는데 제일 쓸데없는 분야.
중심적 문제들
다항식의 정수해를 찾자!
x^n+y^n=z^n의 정수해는 존재하는가? p=x^2+y^2의 정수해는 존재하는가? y^2=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)의 정수해는 존재하는가?
일반적으로 다항식의 정수해를 찾진 못한다. 하지만 특수경우에 대해서라도 풀고자 수학자들이 안간힘을 다 써서 노력했는데, 그중 일부가 페르마의 마지막 정리 (x^n+y^n=z^n), 타원곡선 (y^2=x^3+ax+b), quadratic form (x1^2 + ... + xn^2 = 0) 등이다. 이를 위해서 무지막지하게 어렵고 신묘한 이론들이 개발되었다. 비교적 쉬운 것들도 많다. 하지만 어려운건 무지막지하게 정말 매우 어렵다.
선형방정식
추가 바람
펠의 방정식
추가 바람
페르마의 마지막 추측: 컴머와 데데킨트의 이론
에드워드 컴머라는 수학자는 Prime ideal들을 처음으로 정의하고, 이것을 활용하여 특수경우 ("regular prime")에 대해서 페르마의 마지막 추측을 풀었다. 특수한 집합에서는 소인수분해가 유일하게 결정되지 않기 때문에 특정 조건들을 만족하는 집합들을 "이상적인 수" (ideal number / ideal)으로 정의하고, ideal number들의 곱을 정의하고 이것을 철저하게 분석함으로써 가능해진 결과였다.
베유 가설
"어떤 다항식에 정수를 넣어서 이것이 소수 p로 나눠지게 하는 정수들의 수는 몇개일까?"
(더 정확히는, 유한체 (finite field)위의 algebraic curve의 rational point의 개수는 대충 얼마인가?) 이 질문에 대해 답할 수 있는 가설들을 한꺼번에 묶어서 수학자 앙드레 베유는 후에 "베유 가설"로 알려진 위대한 가설을 만들게 된다. 결국 핵심은 정수론인 이 가설을 풀기 위해 수많은 수학자들이 도전하다 실패했다는 것이다. 하지만 위대한 알렉산더 그로텐디크가 나타나 4000페이지에 육박하는 대수기하이론을 새로 만들어서 베유 가설의 2번 명제를 풀었으며, 그의 제자 피에르 들뢰뉴가 3번 명제 역시 품으로써 위의 질문에 대한 답을 내놓게 된다. 그로텐디크의 대수기하학은 현대 대수기하학의 초석으로써 받아들여지게 된다.
페르마의 마지막 추측
"x^n+y^n=z^n의 정수해가 존재할까? 단, 셋중 아무것도 0은 아니어야 하고 n>2이다."
보형형식과 그로텐디크의 대수기하 이론 등을 통해 앤드류 와일즈 (+Taylor)는 페르마의 마지막 추측을 풀게 된다. 엄청 어렵다.
Mordell의 정리와 Faltings의 정리, 그리고 BSD 가설
모델의 정리에 의하면 타원곡선 위의 유리점은 무한히 많고 이것들은 유한생성 아벨군을 이룬다. 이 아벨군의 rank를 구하고자 하는 것이 Birch & Swinnerton-Dyer의 가설인데, 풀면 10억을 받는다. 귀여운 수학자 don Zagier에 의하면 BSD 가설을 품으로써 알 수 있는 (기초)정수론적인 정보는 매우 많다. 예를 들면, 어떤 수가 세제곱수 두개의 합으로 표현되는 방법이 유일한지를 알 수 있다. BSD가설은 현재 프린스턴의 멋진 수학자 바르가바에 의해 "66%"</ref> 사실 66퍼라는 것은 정확한 표현은 아니다.</ref> 풀렸다.
반면 genus가 1보다 큰 곡선들의 경우 (타원곡선이나 원뿔곡선이 아닌 것들) 해가 유한개밖에 없다는 결과가 알려져 있다. Faltings의 위대한 발견이다.
소수의 성질들
100만보다 작은 소수는 대충 몇개일까?
소수는 참으로 정의하기 쉽지만 참으로 기묘한 성질들을 많이 가지고 있는 대상이다. 어떤 수가 소수인지 판별하는건 쉽지 않으며, 수를 소인수분해하는것도 정말 어렵다! (RSA 암호체계의 원리가 소인수분해의 어려움이다) 하지만 예를 들어서, 100만보다 작은 소수의 개수는 대충 몇개인가? 라는 질문에 대해서는 대충 78626개이다! 라고 수학자들은 자신있게 답할 수 있다. 왜 이것이 가능할까? 유명한 소수 정리라는 결과 덕분이다. 이 결과는 x보다 작은 소수는 약 x/log x개, 그리고 더 정확히는 \int_2^\infty 1/log x dx 라는 것을 말해준다. (정확한 주장은 이 근사치와 실제 개수의 비율이 1로 수렴한다는 것이다.)
그렇다면 오차는 얼마나 될까? 대충 x의 제곱근 곱하기 log x쯤 된다는 것이 유명한 리만 가설과 동치이다. 이것을 풀기 위해 수많은 수학자들이 쓰러져 갔다. 리만 가설은 리만 제타 함수를 사용하여 나타낼 수도 있으며, 리만 제타 함수는 덕택에 수많은 변종을 낳게 된다. (데데킨트 제타함수, 아틴 제타함수, 하세-베유 제타함수, L-function associated with automorphic forms, etc.)
소수간의 간격은 얼마나 좁아질 수 있을까?
2와 3은 모두 소수이며, 차이는 1이다. 하지만 나중에 차이가 1인 소수가 두개 나올 수는 없다. 왜냐하면 둘중 하나는 짝수여야 하는데 2보다 큰 짝수는 모두 2로 나눠져 소수가 아니기 때문.
그렇다면 (2,3)을 제외하고는 소수의 간격은 작아봤자 2라는 것이다. 그렇다면, (p, p+2)가 모두 소수인 "쌍둥이 소수"의 순서쌍이 무한히 많이 존재할까? 애석하게도 이건 아무도 모른다. 재미있는 결과는, 1/p의 무한합을 소수 p에 대해 구하면 무한이 되기에 소수가 무한히 많은 것은 모두가 알 수 있지만 (p,p+2)가 둘다 소수인 p에 대해서만 1/p를 더해주면 이 값은 유한이 되어버려 쉽게 쌍둥이 소수들이 무한히 많은지는 쉽게 알수 없게 되었다.
하지만 놀랍게도 최근에 무명대학의 무명교수 Zhang Yitang 씨가 복권맞은듯이 놀라운 결과를 발표했다는 것인데... 어떤 적절한 n을 잘 잡으면, (p, p+n)이 모두 소수가 되는 순서쌍이 무한히 많다는 것을 발견했다는 것이다. 그리고 티모시 가워스와 테렌스 타오 등 유명 수학자들의 협업에 의해 n이 252보다 작다는 것 역시 알게 되었다는 것이다. 위의 베유 가설이나 페르마의 마지막 정리나 마찬가지로 이것은 증명하기가 매우 어렵다.