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==개요== | ==개요== | ||
우리가 일상적으로 세는 숫자 1,2,3, .... 들의 성질을 연구하는 [[수학]]의 학문. 세상에서 제일 멋있는데 제일 쓸데없이 보이는 분야. | 우리가 일상적으로 세는 숫자 1,2,3, .... 들의 성질을 연구하는 [[수학]]의 학문. 세상에서 제일 멋있는데 제일 쓸데없이 보이는 분야.<ref> 쓸데가 아주 없는 것은 아니다! [[컴퓨터]]가 발달하면서 암호체계 (RSA, 타원곡선암호 등)를 만드는 데에 쓰이기도 한다. 하지만 대부분의 현대정수론은 여전히 쓸데가 없다.</ref> 보통 다항식의 정수해를 찾거나 소수의 다양한 성질들을 연구하며, 혹은 이것을 위해 개발된 수많은 추상도구들의 연구 그 자체를 정수론이라고 하기도 한다. | ||
==중심적 문제들== | ==중심적 문제들== | ||
다른 분야처럼 정수론도 몇 가지 문제들을 중심으로 발전해왔다. 보통은 ''다항식의 정수해를 찾는 것''과 ''소수의 성질을 탐구하는 것''을 중심으로 주류 정수론이 발전해왔으며, 위에서 설명했듯이 그에 의해서 생겨난 (혹은 견해에 따라서, "발견된") 추상적 오브젝트들 ([[타원곡선]], [[ | 다른 분야처럼 정수론도 몇 가지 문제들을 중심으로 발전해왔다. 보통은 ''다항식의 정수해를 찾는 것''과 ''소수의 성질을 탐구하는 것''을 중심으로 주류 정수론이 발전해왔으며, 위에서 설명했듯이 그에 의해서 생겨난 (혹은 견해에 따라서, "발견된") 추상적 오브젝트들 ([[타원곡선]], [[모듈러 형식]], [[보형형식]], [[l진 코호몰로지]], [[제타 함수]], [[갈루아 표현]] 등등도 학계에선 정수론의 연구로 고려된다. 단순히 숫자 1,2,3,...에 대해 새로운 결과를 알고 싶다 하더라도 대부분의 경우, 추상적 오브젝트들을 통하지 않고는 알기 힘든 경우가 많다. 그 대표적인 예가 바로 [[페르마의 마지막 정리]]. | ||
이상에서 표현한 몇 가지 문제들을 잡고 씨름하는 것만 "정수에 대한 탐구"로 볼 필요는 없지만, 학계의 주류 흐름은 그 몇 가지 문제를 중심으로 움직여왔다. 다른 다양한 문제들에 대한 접근이 부족한 것은 역시 안타깝다. 하지만 주류분야를 자세히 들여다보면 들여다볼수록 그 추상적인 깊이와 아름다움에 매료될 수밖에 없다! (<s>진정으로 그맛을 알려면 도닦듯이 대학원 입학부터 수년간 다양한 분야들에 대한 머리깨지는 공부가 진행되어야 한다는 것은 어쩔 수 없는 사실이다.</s>) | 이상에서 표현한 몇 가지 문제들을 잡고 씨름하는 것만 "정수에 대한 탐구"로 볼 필요는 없지만, 학계의 주류 흐름은 그 몇 가지 문제를 중심으로 움직여왔다. 다른 다양한 문제들에 대한 접근이 부족한 것은 역시 안타깝다. 하지만 주류분야를 자세히 들여다보면 들여다볼수록 그 추상적인 깊이와 아름다움에 매료될 수밖에 없다! (<s>진정으로 그맛을 알려면 도닦듯이 대학원 입학부터 수년간 다양한 분야들에 대한 머리깨지는 공부가 진행되어야 한다는 것은 어쩔 수 없는 사실이다.</s>) | ||
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<math>x^n+y^n=z^n</math>의 정수해는 존재하는가? <math>p=x^2+y^2</math>의 정수해는 존재하는가? <math>y^2=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)</math>의 정수해는 존재하는가? | <math>x^n+y^n=z^n</math>의 정수해는 존재하는가? <math>p=x^2+y^2</math>의 정수해는 존재하는가? <math>y^2=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)</math>의 정수해는 존재하는가? | ||
[https://en.wikipedia.org/wiki/Diophantine_set#Matiyasevich.27s_theorem 일반적으로 다항식의 정수해를 찾진 못한다.] 하지만 특수경우에 대해서라도 풀고자 수학자들이 안간힘을 다 써서 노력했는데, 그중 일부가 페르마의 마지막 정리 (<math>x^n+y^n=z^n</math>), 타원곡선 (<math>y^2=x^3+ax+b</math>), quadratic form (<math>x_1^2 + ... + x_n^2 = 0</math>) 등이다. 이를 위해서 무지막지하게 어렵고 신묘한 이론들이 개발되었다. 비교적 쉬운 것들도 많다. 하지만 | [https://en.wikipedia.org/wiki/Diophantine_set#Matiyasevich.27s_theorem 일반적으로 다항식의 정수해를 찾진 못한다.] 하지만 특수경우에 대해서라도 풀고자 수학자들이 안간힘을 다 써서 노력했는데, 그중 일부가 페르마의 마지막 정리 (<math>x^n+y^n=z^n</math>), 타원곡선 (<math>y^2=x^3+ax+b</math>), quadratic form (<math>x_1^2 + ... + x_n^2 = 0</math>) 등이다. 이를 위해서 무지막지하게 어렵고 신묘한 이론들이 개발되었다. 비교적 쉬운 것들도 많다. 하지만 어려운 건 무지막지하게 정말 매우 어렵다. | ||
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"<math>x^n+y^n=z^n</math>의 정수해가 존재할까? 단, 셋중 아무것도 0은 아니어야 하고 <math>n>2</math>이다." | "<math>x^n+y^n=z^n</math>의 정수해가 존재할까? 단, 셋중 아무것도 0은 아니어야 하고 <math>n>2</math>이다." | ||
[[ | [[모듈러 형식]]과 [[그로텐디크]]의 대수기하 이론 등을 통해 앤드류 와일즈 (+Taylor)는 페르마의 마지막 추측을 풀게 된다. 증명의 기초적인 아이디어는 | ||
''[[페르마의 마지막 정리]]가 거짓이라면 [[ | ''[[페르마의 마지막 정리]]가 거짓이라면 [[모듈러성 정리|타니야마-시무라 추론]]이 거짓이다'' | ||
라는 것을 보이는 것인데, 이걸 다르게 얘기하면 모듈러리티 가설이 참이면 페르마의 마지막 정리도 참이라는 것이다. 따라서 지금까지 알려진 유일한 페르마의 마지막 정리의 증명은 두 가지 단계로 나눠지게 된다. | 라는 것을 보이는 것인데, 이걸 다르게 얘기하면 모듈러리티 가설이 참이면 페르마의 마지막 정리도 참이라는 것이다. 따라서 지금까지 알려진 유일한 페르마의 마지막 정리의 증명은 두 가지 단계로 나눠지게 된다. | ||
1. | 1. 타니야마-시무라 추론이 참이라면 페르마의 마지막 정리도 참이다. | ||
2. | 2. 타니야마-시무라 추론은 참이다. | ||
1번은 | 1번은 [[게르하르트 프레이|프레이]]에 의해 제안되었다. 1번을 더 정확히 말하면 다음과 같다. ''n''을 홀수인 소수라고 가정하고 <math>x^n+y^n=z^n </math>이라는 방정식을 어떤 타원곡선으로 표현함으로써 프레이는 아이디어를 얻었고, 이를 통해서 <math> a^n+b^n = c^n</math>인 <math>(a,b,c)</math>가 존재한다면, 즉 페르마의 마지막 정리가 거짓이라면, Frey는 위의 타원곡선에 대응되는 [[모듈러 형식]]이 없을 것이라는 추측을 낸 것이다. Frey가 이 가설을 낸 뒤 얼마 후, 1번의 추측은 "엡실론 가설" 외에는 모든 부분이 증명이 된다. "엡실론 가설"은 [[켄 리벳]]이라는 수학자가 풀게 되어서 1번의 풀이가 완성된다. | ||
2번의 풀이는 많은 수학자들이 한참 후에야 가능할 것이라고 믿었던 것인데, 앤드류 | 2번의 풀이는 많은 수학자들이 한참 후에야 가능할 것이라고 믿었던 것인데, [[앤드류 와일즈]]가 2번을 증명했다. 와일즈는 반안정 타원곡선에 대해서만 증명을 했는데 이것은 페르마의 마지막 정리를 참이라고 증명하는 데에 충분했다. | ||
====Mordell의 정리와 Faltings의 정리, 그리고 BSD 가설==== | ====Mordell의 정리와 Faltings의 정리, 그리고 BSD 가설==== | ||
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====100만보다 작은 소수는 대충 몇 개일까?==== | ====100만보다 작은 소수는 대충 몇 개일까?==== | ||
소수는 참으로 정의하기 쉽지만 참으로 기묘한 성질들을 많이 가지고 있는 대상이다. 어떤 수가 소수인지 판별하는 건 쉽지 않으며, 수를 소인수분해하는 것도 정말 어렵다! ([[RSA 암호체계]]의 원리가 소인수분해의 어려움이다) 하지만 예를 들어서, 100만보다 작은 소수의 개수는 대충 몇 개인가? 라는 질문에 대해서는 대충 78626개이다!라고 수학자들은 자신있게 답할 수 있다. 왜 이것이 가능할까? 유명한 [[소수 정리]]라는 결과 덕분이다. 이 결과는 <math>x</math>보다 작은 소수는 약 <math>\frac{x}{\log x}</math>개, 그리고 | 소수는 참으로 정의하기 쉽지만 참으로 기묘한 성질들을 많이 가지고 있는 대상이다. 어떤 수가 소수인지 판별하는 건 쉽지 않으며, 수를 소인수분해하는 것도 정말 어렵다! ([[RSA 암호체계]]의 원리가 소인수분해의 어려움이다) 하지만 예를 들어서, 100만보다 작은 소수의 개수는 대충 몇 개인가? 라는 질문에 대해서는 대충 78626개이다!라고 수학자들은 자신있게 답할 수 있다. 왜 이것이 가능할까? 유명한 [[소수 정리]]라는 결과 덕분이다. 이 결과는 <math>x</math>보다 작은 소수는 약 <math>\frac{x}{\log x}</math>개, 그리고 보다 비슷하게 <math>Li(x)=\int_2^\infty \frac{1}{\log x} dx</math> 라는 것을 말해준다. (정확한 주장은 이 근사치와 실제 개수의 비율이 1로 수렴한다는 것이다.) | ||
그렇다면 오차는 얼마나 될까? 대충 <math>x</math>의 제곱근 곱하기 <math>\log x</math>쯤 된다는 것이 유명한 [[리만 가설]]과 동치이다. 이것을 풀기 위해 수많은 수학자들이 쓰러져 갔다. 리만 가설은 리만 제타 함수를 사용하여 나타낼 수도 있으며, 리만 제타 함수는 덕택에 수많은 변종을 낳게 된다. (데데킨트 제타함수, 아틴 제타함수, 하세-베유 제타함수, L-function associated with automorphic forms, etc.) | 그렇다면 오차는 얼마나 될까? 대충 <math>x</math>의 제곱근 곱하기 <math>\log x</math>쯤 된다는 것이 유명한 [[리만 가설]]과 동치이다. 이것을 풀기 위해 수많은 수학자들이 쓰러져 갔다. 리만 가설은 리만 제타 함수를 사용하여 나타낼 수도 있으며, 리만 제타 함수는 덕택에 수많은 변종을 낳게 된다. (데데킨트 제타함수, 아틴 제타함수, 하세-베유 제타함수, L-function associated with automorphic forms, etc.) | ||
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====모든 짝수를 소수 두 개의 합으로 쓸 수 있을까?==== | ====모든 짝수를 소수 두 개의 합으로 쓸 수 있을까?==== | ||
아무도 모른다. 이게 바로 유명한 골드바흐의 추측. 더 쉬운 문제는 2013년 즈음 풀렸다. 이름하여 [https://en.wikipedia.org/wiki/Goldbach%27s_weak_conjecture "약한 골드바흐 추측"]. 물론 원조 골드바흐 추측을 풀면 약한 추측도 같이 풀린다. (홀수 = 짝수+3 이므로) | 아무도 모른다. 이게 바로 유명한 [[골드바흐의 추측]]. 더 쉬운 문제는 [[2013년]] 즈음 풀렸다. 이름하여 [https://en.wikipedia.org/wiki/Goldbach%27s_weak_conjecture "약한 골드바흐 추측"]. 물론 원조 골드바흐 추측을 풀면 약한 추측도 같이 풀린다. (홀수 = 짝수+3 이므로) | ||
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2019년 12월 15일 (일) 00:11 판
개요
우리가 일상적으로 세는 숫자 1,2,3, .... 들의 성질을 연구하는 수학의 학문. 세상에서 제일 멋있는데 제일 쓸데없이 보이는 분야.[1] 보통 다항식의 정수해를 찾거나 소수의 다양한 성질들을 연구하며, 혹은 이것을 위해 개발된 수많은 추상도구들의 연구 그 자체를 정수론이라고 하기도 한다.
중심적 문제들
다른 분야처럼 정수론도 몇 가지 문제들을 중심으로 발전해왔다. 보통은 다항식의 정수해를 찾는 것과 소수의 성질을 탐구하는 것을 중심으로 주류 정수론이 발전해왔으며, 위에서 설명했듯이 그에 의해서 생겨난 (혹은 견해에 따라서, "발견된") 추상적 오브젝트들 (타원곡선, 모듈러 형식, 보형형식, l진 코호몰로지, 제타 함수, 갈루아 표현 등등도 학계에선 정수론의 연구로 고려된다. 단순히 숫자 1,2,3,...에 대해 새로운 결과를 알고 싶다 하더라도 대부분의 경우, 추상적 오브젝트들을 통하지 않고는 알기 힘든 경우가 많다. 그 대표적인 예가 바로 페르마의 마지막 정리.
이상에서 표현한 몇 가지 문제들을 잡고 씨름하는 것만 "정수에 대한 탐구"로 볼 필요는 없지만, 학계의 주류 흐름은 그 몇 가지 문제를 중심으로 움직여왔다. 다른 다양한 문제들에 대한 접근이 부족한 것은 역시 안타깝다. 하지만 주류분야를 자세히 들여다보면 들여다볼수록 그 추상적인 깊이와 아름다움에 매료될 수밖에 없다! (진정으로 그맛을 알려면 도닦듯이 대학원 입학부터 수년간 다양한 분야들에 대한 머리깨지는 공부가 진행되어야 한다는 것은 어쩔 수 없는 사실이다.)
다항식의 정수해를 찾자!
다음과 같은 문제는 초등학생에게도 이해시킬 수 있을 만큼 간단한 것이다.
[math]\displaystyle{ x^n+y^n=z^n }[/math]의 정수해는 존재하는가? [math]\displaystyle{ p=x^2+y^2 }[/math]의 정수해는 존재하는가? [math]\displaystyle{ y^2=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) }[/math]의 정수해는 존재하는가?
일반적으로 다항식의 정수해를 찾진 못한다. 하지만 특수경우에 대해서라도 풀고자 수학자들이 안간힘을 다 써서 노력했는데, 그중 일부가 페르마의 마지막 정리 ([math]\displaystyle{ x^n+y^n=z^n }[/math]), 타원곡선 ([math]\displaystyle{ y^2=x^3+ax+b }[/math]), quadratic form ([math]\displaystyle{ x_1^2 + ... + x_n^2 = 0 }[/math]) 등이다. 이를 위해서 무지막지하게 어렵고 신묘한 이론들이 개발되었다. 비교적 쉬운 것들도 많다. 하지만 어려운 건 무지막지하게 정말 매우 어렵다.
선형방정식
추가 바람
펠의 방정식
추가 바람
페르마의 마지막 추측: 컴머와 데데킨트의 이론
에드워드 컴머라는 수학자는 Prime ideal들을 처음으로 정의하고, 이것을 활용하여 특수경우 ("regular prime")에 대해서 페르마의 마지막 추측을 풀었다. 특수한 집합에서는 소인수분해가 유일하게 결정되지 않기 때문에 특정 조건들을 만족하는 집합들을 "이상적인 수" (ideal number / ideal)으로 정의하고, ideal number들의 곱을 정의하고 이것을 철저하게 분석함으로써 가능해진 결과였다.
베유 가설
"어떤 다항식에 정수를 넣어서 이것이 소수 p로 나눠지게 하는 정수들의 수는 몇 개일까?"
(더 정확히는, 유한체 (finite field)위의 algebraic curve의 rational point의 개수는 대충 얼마인가?) 이 질문에 대해 답할 수 있는 가설들을 한꺼번에 묶어서 수학자 앙드레 베유는 후에 "베유 가설"로 알려진 위대한 가설을 만들게 된다. 결국 핵심은 정수론인 이 가설을 풀기 위해 수많은 수학자들이 도전하다 실패했다는 것이다. 하지만 위대한 알렉산더 그로텐디크가 나타나 4000페이지에 육박하는 대수기하이론을 새로 만들어서 베유 가설의 2번 명제를 풀었으며, 그의 제자 피에르 들뢰뉴가 3번 명제 역시 품으로써 위의 질문에 대한 답을 내놓게 된다. 그로텐디크의 대수기하학은 현대 대수기하학의 초석으로써 받아들여지게 된다.
페르마의 마지막 추측
"[math]\displaystyle{ x^n+y^n=z^n }[/math]의 정수해가 존재할까? 단, 셋중 아무것도 0은 아니어야 하고 [math]\displaystyle{ n\gt 2 }[/math]이다."
모듈러 형식과 그로텐디크의 대수기하 이론 등을 통해 앤드류 와일즈 (+Taylor)는 페르마의 마지막 추측을 풀게 된다. 증명의 기초적인 아이디어는
페르마의 마지막 정리가 거짓이라면 타니야마-시무라 추론이 거짓이다
라는 것을 보이는 것인데, 이걸 다르게 얘기하면 모듈러리티 가설이 참이면 페르마의 마지막 정리도 참이라는 것이다. 따라서 지금까지 알려진 유일한 페르마의 마지막 정리의 증명은 두 가지 단계로 나눠지게 된다.
1. 타니야마-시무라 추론이 참이라면 페르마의 마지막 정리도 참이다.
2. 타니야마-시무라 추론은 참이다.
1번은 프레이에 의해 제안되었다. 1번을 더 정확히 말하면 다음과 같다. n을 홀수인 소수라고 가정하고 [math]\displaystyle{ x^n+y^n=z^n }[/math]이라는 방정식을 어떤 타원곡선으로 표현함으로써 프레이는 아이디어를 얻었고, 이를 통해서 [math]\displaystyle{ a^n+b^n = c^n }[/math]인 [math]\displaystyle{ (a,b,c) }[/math]가 존재한다면, 즉 페르마의 마지막 정리가 거짓이라면, Frey는 위의 타원곡선에 대응되는 모듈러 형식이 없을 것이라는 추측을 낸 것이다. Frey가 이 가설을 낸 뒤 얼마 후, 1번의 추측은 "엡실론 가설" 외에는 모든 부분이 증명이 된다. "엡실론 가설"은 켄 리벳이라는 수학자가 풀게 되어서 1번의 풀이가 완성된다.
2번의 풀이는 많은 수학자들이 한참 후에야 가능할 것이라고 믿었던 것인데, 앤드류 와일즈가 2번을 증명했다. 와일즈는 반안정 타원곡선에 대해서만 증명을 했는데 이것은 페르마의 마지막 정리를 참이라고 증명하는 데에 충분했다.
Mordell의 정리와 Faltings의 정리, 그리고 BSD 가설
모델의 정리에 의하면 타원곡선 위의 유리점은 무한히 많고 이것들은 유한생성 아벨군을 이룬다. 이 아벨군의 rank를 구하고자 하는 것이 Birch & Swinnerton-Dyer의 가설인데, 풀면 10억을 받는다. 귀여운 수학자 don Zagier에 의하면 BSD 가설을 품으로써 알 수 있는 (기초)정수론적인 정보는 매우 많다. 예를 들면, 어떤 수가 세제곱수 두 개의 합으로 표현되는 방법이 유일한지를 알 수 있다. BSD가설은 현재 프린스턴의 멋진 수학자 바르가바에 의해 "66%" (사실 66퍼센트라는 것은 정확한 표현은 아니다.) 풀렸다.
반면 genus가 1보다 큰 곡선들의 경우 (타원곡선이나 원뿔곡선이 아닌 것들) 해가 유한 개밖에 없다는 결과가 알려져 있다. Faltings의 위대한 발견이다.
소수의 성질들
100만보다 작은 소수는 대충 몇 개일까?
소수는 참으로 정의하기 쉽지만 참으로 기묘한 성질들을 많이 가지고 있는 대상이다. 어떤 수가 소수인지 판별하는 건 쉽지 않으며, 수를 소인수분해하는 것도 정말 어렵다! (RSA 암호체계의 원리가 소인수분해의 어려움이다) 하지만 예를 들어서, 100만보다 작은 소수의 개수는 대충 몇 개인가? 라는 질문에 대해서는 대충 78626개이다!라고 수학자들은 자신있게 답할 수 있다. 왜 이것이 가능할까? 유명한 소수 정리라는 결과 덕분이다. 이 결과는 [math]\displaystyle{ x }[/math]보다 작은 소수는 약 [math]\displaystyle{ \frac{x}{\log x} }[/math]개, 그리고 보다 비슷하게 [math]\displaystyle{ Li(x)=\int_2^\infty \frac{1}{\log x} dx }[/math] 라는 것을 말해준다. (정확한 주장은 이 근사치와 실제 개수의 비율이 1로 수렴한다는 것이다.)
그렇다면 오차는 얼마나 될까? 대충 [math]\displaystyle{ x }[/math]의 제곱근 곱하기 [math]\displaystyle{ \log x }[/math]쯤 된다는 것이 유명한 리만 가설과 동치이다. 이것을 풀기 위해 수많은 수학자들이 쓰러져 갔다. 리만 가설은 리만 제타 함수를 사용하여 나타낼 수도 있으며, 리만 제타 함수는 덕택에 수많은 변종을 낳게 된다. (데데킨트 제타함수, 아틴 제타함수, 하세-베유 제타함수, L-function associated with automorphic forms, etc.)
소수간의 간격은 얼마나 좁아질 수 있을까?
2와 3은 모두 소수이며, 차이는 1이다. 하지만 나중에 차이가 1인 소수가 두 개 나올 수는 없다. 왜냐하면 둘중 하나는 짝수여야 하는데 2보다 큰 짝수는 모두 2로 나눠져 소수가 아니기 때문.
그렇다면 (2,3)을 제외하고는 소수의 간격은 작아봤자 2라는 것이다. 그렇다면, (p, p+2)가 모두 소수인 "쌍둥이 소수"의 순서쌍이 무한히 많이 존재할까? 애석하게도 이건 아무도 모른다. 재미있는 결과는, 1/p의 무한합을 소수 p에 대해 구하면 무한이 되기에 소수가 무한히 많은 것은 모두가 알 수 있지만 (p,p+2)가 둘다 소수인 p에 대해서만 1/p를 더해주면 이 값은 유한이 되어버려 쉽게 쌍둥이 소수들이 무한히 많은지는 쉽게 알 수 없게 되었다.
하지만 놀랍게도 최근에 무명대학의 무명교수 Zhang Yitang 씨가 복권맞은 듯이 놀라운 결과를 발표했다는 것인데... 어떤 적절한 n을 잘 잡으면, (p, p+n)이 모두 소수가 되는 순서쌍이 무한히 많다는 것을 발견했다는 것이다. 그리고 티모시 가워스와 테렌스 타오 등 유명 수학자들의 협업에 의해 n이 252보다 작다는 것 역시 알게 되었다. 위의 베유 가설이나 페르마의 마지막 정리나 마찬가지로 이것은 증명하기가 매우 어렵다.
모든 짝수를 소수 두 개의 합으로 쓸 수 있을까?
아무도 모른다. 이게 바로 유명한 골드바흐의 추측. 더 쉬운 문제는 2013년 즈음 풀렸다. 이름하여 "약한 골드바흐 추측". 물론 원조 골드바흐 추측을 풀면 약한 추측도 같이 풀린다. (홀수 = 짝수+3 이므로)