정수론 편집하기

우리가 일상적으로 세는 숫자 1,2,3, .... 들의 성질을 연구하는 [[수학]]의 학문. 세상에서 제일 멋있는데 제일 쓸데없이 보이는 분야.<ref> 쓸데가 아주 없는 것은 아니다! [[컴퓨터]]가 발달하면서 암호체계 (RSA, 타원곡선암호 등)를 만드는 데에 쓰이기도 한다. 하지만 대부분의 현대정수론은 여전히 쓸데가 없다.</ref> 보통 다항식의 정수해를 찾거나 소수의 다양한 성질들을 연구하며, 혹은 이것을 위해 개발된 수많은 추상도구들의 연구 그 자체를 정수론이라고 하기도 한다.

==중심적 문제들==

다른 분야처럼 정수론도 몇 가지 문제들을 중심으로 발전해왔다. 보통은 ''다항식의 정수해를 찾는 것''과 ''소수의 성질을 탐구하는 것''을 중심으로 주류 정수론이 발전해왔으며, 위에서 설명했듯이 그에 의해서 생겨난 (혹은 견해에 따라서, "발견된") 추상적 오브젝트들 ([[타원곡선]], [[모듈러 형식]], [[보형형식]], [[l진 코호몰로지]], [[리만 제타함수]], [[갈루아 표현]] 등등도 학계에선 정수론의 연구로 고려된다. 단순히 숫자 1,2,3,...에 대해 새로운 결과를 알고 싶다 하더라도 대부분의 경우, 추상적 오브젝트들을 통하지 않고는 알기 힘든 경우가 많다. 그 대표적인 예가 바로 [[페르마의 마지막 정리]].

이상에서 표현한 몇 가지 문제들을 잡고 씨름하는 것만 "정수에 대한 탐구"로 볼 필요는 없지만, 학계의 주류 흐름은 그 몇 가지 문제를 중심으로 움직여왔다. 다른 다양한 문제들에 대한 접근이 부족한 것은 역시 안타깝다. 하지만 주류분야를 자세히 들여다보면 들여다볼수록 그 추상적인 깊이와 아름다움에 매료될 수밖에 없다! (<s>진정으로 그맛을 알려면 도닦듯이 대학원 입학부터 수년간 다양한 분야들에 대한 머리깨지는 공부가 진행되어야 한다는 것은 어쩔 수 없는 사실이다.</s>)

===다항식의 정수해를 찾자!===

다음과 같은 문제는 초등학생에게도 이해시킬 수 있을 만큼 간단한 것이다.

<math>x^n+y^n=z^n</math>의 정수해는 존재하는가? <math>p=x^2+y^2</math>의 정수해는 존재하는가? <math>y^2=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)</math>의 정수해는 존재하는가?

[https://en.wikipedia.org/wiki/Diophantine_set#Matiyasevich.27s_theorem 일반적으로 다항식의 정수해를 찾진 못한다.] 하지만 특수경우에 대해서라도 풀고자 수학자들이 안간힘을 다 써서 노력했는데, 그중 일부가 페르마의 마지막 정리 (<math>x^n+y^n=z^n</math>), 타원곡선 (<math>y^2=x^3+ax+b</math>), quadratic form (<math>x_1^2 + ... + x_n^2 = 0</math>) 등이다. 이를 위해서 무지막지하게 어렵고 신묘한 이론들이 개발되었다. 비교적 쉬운 것들도 많다. 하지만 어려운 건 무지막지하게 정말 매우 어렵다.

====선형방정식====
추가 바람

====펠의 방정식====
추가 바람

====페르마의 마지막 추측: 컴머와 데데킨트의 이론====

수학자 에드워드 컴머는 [[소아이디얼]](Prime ideal)을 처음으로 정의하고, 이것을 활용하여 특수경우 ("regular prime")에 대해서 페르마의 마지막 추측을 풀었다. 특수한 집합에서는 소인수분해가 유일하게 결정되지 않기 때문에 특정 조건들을 만족하는 집합들을 "이상적인 수" (ideal number / ideal)으로 정의하고, ideal number들의 곱을 정의하고 이것을 철저하게 분석함으로써 가능해진 결과였다.

====[[베유 가설]]====

"어떤 다항식에 정수를 넣어서 이것이 소수 p로 나눠지게 하는 정수들의 수는 몇 개일까?"

(더 정확히는, 유한체 (finite field)위의 algebraic curve의 rational point의 개수는 대충 얼마인가?) 이 질문에 대해 답할 수 있는 가설들을 한꺼번에 묶어서 수학자 [[앙드레 베유]]는 후에 "베유 가설"로 알려진 위대한 가설을 만들게 된다. 결국 핵심은 정수론인 이 가설을 풀기 위해 수많은 수학자들이 도전하다 실패했다는 것이다. 하지만 위대한 [[알렉산더 그로텐디크]]가 나타나 4000페이지에 육박하는 [[대수기하]]이론을 새로 만들어서 베유 가설의 2번 명제를 풀었으며, 그의 제자 피에르 들뢰뉴가 3번 명제 역시 품으로써 위의 질문에 대한 답을 내놓게 된다. 그로텐디크의 대수기하학은 현대 대수기하학의 초석으로써 받아들여지게 된다.

====[[페르마의 마지막 추측]]====

"<math>x^n+y^n=z^n</math>의 정수해가 존재할까? 단, 셋중 아무것도 0은 아니어야 하고 <math>n>2</math>이다."

[[모듈러 형식]]과 [[그로텐디크]]의 대수기하 이론 등을 통해 앤드루 와일스 (+Taylor)는 페르마의 마지막 추측을 풀게 된다. 증명의 기초적인 아이디어는 

''[[페르마의 마지막 정리]]가 거짓이라면 [[모듈러성 정리|타니야마-시무라 추론]]이 거짓이다''

라는 것을 보이는 것인데, 이걸 다르게 얘기하면 모듈러리티 가설이 참이면 페르마의 마지막 정리도 참이라는 것이다. 따라서 지금까지 알려진 유일한 페르마의 마지막 정리의 증명은 두 가지 단계로 나눠지게 된다.

1. 타니야마-시무라 추론이 참이라면 페르마의 마지막 정리도 참이다.

2. 타니야마-시무라 추론은 참이다.

1번은 [[게르하르트 프레이|프레이]]에 의해 제안되었다. 1번을 더 정확히 말하면 다음과 같다. ''n''을 홀수인 소수라고 가정하고 <math>x^n+y^n=z^n </math>이라는 방정식을 어떤 타원곡선으로 표현함으로써 프레이는 아이디어를 얻었고, 이를 통해서 <math> a^n+b^n = c^n</math>인 <math>(a,b,c)</math>가 존재한다면, 즉 페르마의 마지막 정리가 거짓이라면, Frey는 위의 타원곡선에 대응되는 [[모듈러 형식]]이 없을 것이라는 추측을 낸 것이다. Frey가 이 가설을 낸 뒤 얼마 후, 1번의 추측은 "엡실론 가설" 외에는 모든 부분이 증명이 된다. "엡실론 가설"은 [[켄 리벳]]이라는 수학자가 풀게 되어서 1번의 풀이가 완성된다.

2번의 풀이는 많은 수학자들이 한참 후에야 가능할 것이라고 믿었던 것인데, [[앤드루 와일스]]가 2번을 증명했다. 와일즈는 반안정 타원곡선에 대해서만 증명을 했는데 이것은 페르마의 마지막 정리를 참이라고 증명하는 데에 충분했다.

====Mordell의 정리와 Faltings의 정리, 그리고 BSD 가설====

모델의 정리에 의하면 타원곡선 위의 유리점은 무한히 많고 이것들은 유한생성 아벨군을 이룬다. 이 아벨군의 rank를 구하고자 하는 것이 Birch & Swinnerton-Dyer의 가설인데, 풀면 10억을 받는다. 귀여운 수학자 don Zagier에 의하면 BSD 가설을 품으로써 알 수 있는 (기초)정수론적인 정보는 매우 많다. 예를 들면, 어떤 수가 세제곱수 두 개의 합으로 표현되는 방법이 유일한지를 알 수 있다. BSD가설은 현재 프린스턴의 멋진 수학자 바르가바에 의해 "66%" (사실 66퍼센트라는 것은 정확한 표현은 아니다.)  풀렸다.

반면 genus가 1보다 큰 곡선들의 경우 (타원곡선이나 원뿔곡선이 아닌 것들) 해가 유한 개밖에 없다는 결과가 알려져 있다.  Faltings의 위대한 발견이다.

===소수의 성질들===

====100만보다 작은 소수는 대충 몇 개일까?====
{{참고|소수 계량 함수}}
소수는 참으로 정의하기 쉽지만 참으로 기묘한 성질들을 많이 가지고 있는 대상이다. 어떤 수가 소수인지 판별하는 건 쉽지 않으며, 수를 소인수분해하는 것도 정말 어렵다! ([[RSA]] 암호체계의 원리가 소인수분해의 어려움이다) 하지만 예를 들어서, 100만보다 작은 소수의 개수는 대충 몇 개인가? 라는 질문에 대해서는 대충 78626개이다!라고 수학자들은 자신있게 답할 수 있다. 왜 이것이 가능할까? 유명한 [[소수 정리]]라는 결과 덕분이다. 이 결과는 <math>x</math>보다 작은 소수는 약 <math>\frac{x}{\log x}</math>개, 그리고 보다 비슷하게 <math>\operatorname{Li}(x)=\int_2^\infty \frac{1}{\log x} dx</math> 라는 것을 말해준다. (정확한 주장은 이 근사치와 실제 개수의 비율이 1로 수렴한다는 것이다.)

그렇다면 오차는 얼마나 될까? 대충 <math>x</math>의 제곱근 곱하기 <math>\log x</math>쯤 된다는 것이 유명한 [[리만 가설]]과 동치이다. 이것을 풀기 위해 수많은 수학자들이 쓰러져 갔다. 리만 가설은 리만 제타 함수를 사용하여 나타낼 수도 있으며, 리만 제타 함수는 덕택에 수많은 변종을 낳게 된다. (데데킨트 제타함수, 아틴 제타함수, 하세-베유 제타함수, L-function associated with automorphic forms, etc.)

====소수간의 간격은 얼마나 좁아질 수 있을까?====

2와 3은 모두 소수이며, 차이는 1이다. 하지만 나중에 차이가 1인 소수가 두 개 나올 수는 없다. 왜냐하면 둘중 하나는 짝수여야 하는데 2보다 큰 짝수는 모두 2로 나눠져 소수가 아니기 때문.

그렇다면 (2,3)을 제외하고는 소수의 간격은 작아봤자 2라는 것이다. 그렇다면, (p, p+2)가 모두 소수인 "쌍둥이 소수"의 순서쌍이 무한히 많이 존재할까? 애석하게도 이건 아무도 모른다. 재미있는 결과는, 1/p의 무한합을 소수 p에 대해 구하면 무한이 되기에 소수가 무한히 많은 것은 모두가 알 수 있지만 (p,p+2)가 둘다 소수인 p에 대해서만 1/p를 더해주면 이 값은 [https://en.wikipedia.org/wiki/Brun%27s_theorem 유한이 되어버려] 쉽게 쌍둥이 소수들이 무한히 많은지는 쉽게 알 수 없게 되었다.

하지만 놀랍게도 최근에 무명대학의 무명교수 Zhang Yitang 씨가 복권맞은듯이 놀라운 결과를 발표했다는 것인데... 어떤 적절한 n을 잘 잡으면, (p, p+n)이 모두 소수가 되는 순서쌍이 무한히 많다는 것을 발견했다는 것이다. 그리고 [[티모시 가워스]]와 [[테렌스 타오]] 등 유명 수학자들의 협업에 의해 n이 252보다 작다는 것 역시 알게 되었다. 위의 베유 가설이나 페르마의 마지막 정리나 마찬가지로 이것은 증명하기가 매우 어렵다.

====모든 짝수를 소수 두 개의 합으로 쓸 수 있을까?====
{{참고|골드바흐 추측}}
아무도 모른다. 이게 바로 유명한 [[골드바흐 추측]]. 더 쉬운 문제는 [[2013년]] 즈음 풀렸다. 이름하여 [https://en.wikipedia.org/wiki/Goldbach%27s_weak_conjecture "약한 골드바흐 추측"]. 물론 원조 골드바흐 추측을 풀면 약한 추측도 같이 풀린다. (홀수 = 짝수+3 이므로)

== 주요 정리들 ==
{{빈 문단}}
<!-- 나머지 정리

페르마의 소정리

[[작성중]] -->

{{각주}}
[[분류:정수론| ]]