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(리만의 정리)''' 유계함수 <math>f(x)</math>가 구간 <math>[a, b]</math>에서 리만 적분 가능하기 위한 필요충분조건은 임의의 <math>\epsilon, \delta>0</math>에 대해 적당한 분할 <math>P</math>가 존재하여 <math>P</math>를 구성하는 소구간(성분) 중 거기서의 <math>f(x)</math>의 진폭(최댓값과 최솟값의 차) <math>\omega(f:[x_{k-1},x_k])=M_k-m_k</math>이 <math>\epsilon</math>보다 크게 되는 구간의 길이의 총합이 <math>\delta</math>보다 작아지는 것이다. 즉 <div align=center><math>\displaystyle \sum_{\begin{matrix}[x_{k-1}, x_k] \in \mathcal P\\ k \in K\end{matrix} }( x_k - x_{k-1})< \delta \; \; (K=\{k: \omega(f:[x_{k-1},x_k]) > \epsilon \})</math></div>과 리만 적분 가능성은 동치이다. | style="color:#707070; width: 20px; vertical-align: bottom; font-size:{{#switch:{{{따옴표크기|{{{5|20px}}}}}} |#default=40px}};font-family:Georgia;font-weight:bold;text-align:right;" | ” |- |<div style="line-height:1em;text-align: right"></div> |}</blockquote> ==== 상적분과 하적분 (다르부) ==== 함수 <math>f:[a,b] \to \mathbb{R}</math>이 유계라 할 때, <math>[a,b]</math>의 임의의 분할 <math>P=\left\{ a = x_0 , x_1, \cdots , x_n = b \right\}</math>에 대하여 P의 각 소구간 <math>I_k=[x_{k-1},x_k]</math>에 대하여 [[파일:Upper lower sum.jpg|섬네일|상합(파란 사각형)과 하합(빨간 사각형)]] <math>M(f,I_k) = \sup \left\{ f(x)|x \in I_k \right\} , \ m(f,I_k) = \inf \left\{ f(x)|x \in I_k \right\}</math> 라고 둔다. 구간에서 최댓값이나 최솟값을 사용하지 않고, 상한이나 하한을 쓴 이유는 함수가 불연속이어도 적분은 가능할 수 있기 때문이다. 그리고 다음과 같이 정의된 두 실수 <math>\displaystyle U(f,P) = \sum_{k=1}^n M(f,I_k) \Delta x_k, \ L(f,P) = \sum_{k=1}^n m(f,I_k) \Delta x_k</math> 를 각각 분할 P에 대한 f의 리만 상합(upper Riemann sum), 리만 하합(lower Riemann sum)이라고 한다. 그리고 <math>[a,b]</math>의 분할 전체의 집합을 <math>\mathcal{P}[a,b]</math>라 하자. 실수의 완비성 공리에 의하여 <math>\displaystyle \sup \left\{ L(f,P) |P \in \mathcal{P}[a,b] \right\}, \ \inf \left\{ U(f,P) |P \in \mathcal{P}[a,b] \right\}</math>는 존재하고 이때, <math>\displaystyle \inf \left\{ U(f,P) |P \in \mathcal{P}[a,b] \right\} =\overline{\int_{a}^{b}} f(x) \, dx</math>을 리만 상적분(upper Riemann intergral), <math>\displaystyle \sup \left\{ L(f,P) |P \in \mathcal{P}[a,b] \right\} = \underline{\int_{a}^{b}} f(x) \, dx</math>를 리만 하적분(lower Riemann integral)이라고 한다. 이 상적분과 하적분은 위에서 소개한 리만 적분 가능성과 연관이 있는데, 이는 다음의 정리로써 보장된다. <blockquote style="padding: 0; border: 0; font-size: inherit; margin: 1em 40px; text-align:center;"> {| style="border-collapse:collapse; border-style:none; background-color:#F8F8F8;display:inline-block;" | style="color:#707070; width: 20px; vertical-align: top; font-size:{{#switch:{{{따옴표크기|{{{5|20px}}}}}} |#default=40px}};font-family:Georgia;font-weight:bold;text-align:left;" | “ | style="padding:16px; text-align:left;" | '''Theorem. (다르부의 정리)''' 구간 <math>[a, b]</math>에서 유계인 함수 <math>f(x)</math>에 대하여 <math>P_i (i\in\mathbb N)</math>을 분할이라 하자. 이때 <math>\| P_n \| \to 0 \text{ as } n\to\infty</math>가 되게 하자. 그렇다면 항상 <div align=center><math>\displaystyle \lim_{n\to \infty} U(f,P_n)=\overline{\int_{a}^{b}} f(x) \, dx</math><br /><math>\displaystyle \lim_{n\to \infty} L(f,P_n)=\underline{\int_{a}^{b}} f(x) \, dx</math></div>이다. 또한 <math>f</math>가 구간 <math>[a, b]</math>에서 리만 적분 가능하기 위한 필요충분조건은 <math>\displaystyle \underline{\int_{a}^{b}} f(x) \, dx = \overline{\int_{a}^{b}} f(x) \, dx</math>이다. <ref>이 정의를 Darboux integrable이라고도 하는데, 어차피 리만합을 이용한 정의와 이 정의와 동치이기 때문에 구분하지 않고 보통 이 정의 역시 리만 적분 가능이라고 한다.</ref> | style="color:#707070; width: 20px; vertical-align: bottom; font-size:{{#switch:{{{따옴표크기|{{{5|20px}}}}}} |#default=40px}};font-family:Georgia;font-weight:bold;text-align:right;" | ” |- |<div style="line-height:1em;text-align: right"></div> |}</blockquote> ==== 차이 ==== [[파일:U l r sum.jpg|섬네일|같은 분할에 대한 상합(파란 사각형)과 하합(빨간 사각형), 리만합(갈색 사각형)의 비교]] 상합, 하합과 리만합의 다른 점은 상합은 구간의 상한, 하합은 구간의 하한, 리만합은 구간의 임의의 점을 선택했기 때문에 정의상 <math>L(f,P) \leq R(f,P) \leq U(f,P)</math>가 된다. 어떠한 정의를 사용하든 간에 결론은 구간을 세밀하게 분할하면 할수록, 상합과 하합, 리만합의 차이는 작아지게 되며 결국에는 극한을 취한다면 그 값은 하나로 결정된다는 것이다. 그 값을 <math>\int_{a}^{b} f(x)\, dx</math>라 표현하겠다는 것이다. === 미적분학의 기본 정리 === {{본문|미적분학의 기본 정리}} '''FTC(fundamental theorem of calculus)''' {{인용문2| '''FTC 1''' 리만 적분 가능한 함수<math>f:[a,b] \to \mathbb{R}</math>가 한 점 <math> c(a\le c\le b)</math>에서 연속이면 <math>[a,b]</math>에서 정의된 함수 <math>\displaystyle F(x)=\int_{a}^{x} f(t)\, \mathrm dt</math><ref>이는 잘 정의된(well-defined) 함수이다. <math>f</math>가 <math>[a,b]</math>에서 리만 적분 가능하면 <math>[a,b]</math>의 부분 폐구간 <math>[c,d]</math>에서도 리만 적분 가능하다.</ref>가 <math>c</math>점에서 미분 가능하며 <math>F'(c)=f(c)</math>이다. 또한 <math>f</math>의 미분 가능성에 상관없이 <math>\displaystyle F(x)=\int_{a}^{x} f(x)\, \mathrm dx</math>는 정의된 구간 전체에서 연속이다.}} {{인용문2| '''FTC 2''' 리만 적분 가능한 함수 <math>f:[a,b] \to \mathbb{R}</math>의 부정적분이 존재하면, <math>f</math>의 임의의 부정적분 <math>F</math>에 대하여 <math>\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\, \mathrm dx=F(b)-F(a)</math>이다.}} 얼핏 보기에 두 정리에 차이가 없어 보일지 모르나, 자세히 보면 서로 다른 이야기를 하고 있다. FTC 1에서는 <math>\displaystyle \int_{a}^{x} f(t)\, \mathrm dt</math>가 미분가능함을 증명할 수 있으나, FTC 2에서는 일반적으로 이 함수가 미분불가능하여 부정적분 <math>F</math>의 존재도 따로 가정해야 한다. 그러나 피적분함수를 보면 FTC 1은 피적분함수 <math>f</math>의 (미분계수를 구하려는 점에서의) 연속성으로 조건으로 두는 반면에 FTC 2는 연속성보다 훨씬 넓은 범위인 (리만) 적분 가능성만을 조건으로 두고 있다. 하지만 보통은 연속함수만을 다루고(연속함수는 모두 적분가능하다), 연속함수에 대해서는 FTC 2가 FTC 1의 따름정리 형태로 나오기 때문에 그러한 경우에는 굳이 구분하지 않고 둘을 뭉뚱그려 하나의 정리처럼 소개하는 경우도 있다. 특히 교과과정 상에서 더욱 그렇다. 즉, 아래와 같이 소개한다는 것이다. {{인용문2| '''FTC''' 연속함수 <math>f:[a,b] \to \mathbb{R}</math>는 원시함수 <math>F</math>를 가지고, <math>\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\, \mathrm dx=F(b)-F(a)</math>이다. 만일 <math>G</math>도 <math>f</math>의 원시함수이면, <math>\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\, \mathrm dx=G(b)-G(a)</math>이다.}} 물론 이렇게 배운 경우 나중에 문제 풀다가 <math>\displaystyle \left( \int_{a}^{x} f(t)\, \mathrm dt \right)' = f(x)</math>를 이용해야 할 때가 나오면 당연하게 여기면서도 이걸 언제 배웠지 하고 한번쯤 갸우뚱하게 되는 문제점(?)이 있다. 둘로 나누어 배운 경우 이는 FTC 1의 결론으로서 눈에 보이는데, 뭉뚱그려 배운 경우 이 내용은 증명 과정에만 나오고 명제 자체에서는 안 보이기 때문이다. ===리만–스틸체스적분=== 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț