로그인하고 있지 않습니다. 편집하면 당신의 IP 주소가 공개적으로 기록됩니다. 계정을 만들고 로그인하면 편집 시 사용자 이름만 보이며, 위키 이용에 여러 가지 편의가 주어집니다.스팸 방지 검사입니다. 이것을 입력하지 마세요! Rearrangement Inequality == 개요 == 한국의 학교 [[수학]]에서는 볼 일이 없는 [[부등식]] 중 하나. [[KMO]]와 같은 경시대회 수학을 준비한다면 꼭 알아놔야 하는 부등식이며, 딱히 경시대회를 준비하지 않는다 해도 배워놔서 나쁠 건 없다. 몇몇 고등학교 수학의 [[부등식]]문제를 날로 먹을 수 있기 때문. == 욕심쟁이 알고리즘 == 두 [[수열]] <math>\left\{a_n\right\}_{k=1}^n,\left\{b_n\right\}_{k=1}^n</math>을 양의 [[실수]]의 수열이라 가정하자. 또한 [[수열]] <math>\left\{x_n\right\}_{k=1}^n</math>은 수열 <math>\left\{b_n\right\}_{k=1}^n</math>의 [[순열]], 즉 재배열시킨 수열이라고 하자. 그럼 <math>n!</math>가지의 합 <math>S=\sum_{k=1}^na_kx_k=a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n</math> 중 어느 것이 최대이고 어느 것이 최소일까? 한 예시를 통해 생각해 보자. 세 상자에 각각 천원, 만원, 오만원이 들어 있다. 각각의 상자에서 3, 4, 5장의 지폐를 가져갈 수 있을 때, 어느 상자에서 몇 장을 가져가야 이익을 최대, 혹은 최소로 할 수 있을까? 상식적으로 생각하나 아니면 직접 수학적 계산을 통해 확인하나 최대의 이익은 오만원권 5장, 만원권 4장, 천원권 3장이다. 반대로 최소의 이익은 오만원권 3장, 만원권 4장, 천원권 5장이다. 이 [[알고리즘]]을 욕심쟁이 알고리즘 (Greedy Algorithm)이라 부른다. 이 예는 단순한 수학적 예시이지만, 수학 이외의 다양한 분야에 적용될 수 있다. 알고리즘을 좀 더 추상화 시켜서 설명하자면, 작은 것은 작은 것끼리, 큰 것은 큰 것끼리 붙여놓을 때 최대, 작은 것을 큰 것이랑, 큰 것을 작은 것이랑 붙여놓을 때 최소가 된다는 것이 핵심.<ref>다만 이 [[알고리즘]]이 항상 성립하는 것은 아니다. 세상은 그렇게 만만하지 않다.</ref> == 재배열 부등식 == 위 욕심쟁이 알고리즘 중에 수학적으로 항상 성립하는 경우. 자세한 내용은 아래와 같다. {{인용문|<math>a_1\leq a_2\leq\cdots\leq a_n</math>이고, <math>b_1\leq b_2\leq\cdots\leq b_n</math>인 임의의 <math>2n</math>개의 [[실수]]<ref>양의 실수만으로 제한되지 않는다는 점에 유의하여야 한다. 재배열 부등식은 모든 실수에 대하여 성립한다.</ref>에 대하여 <math>x_1,x_2,\cdots,x_n</math>은 <math>b_1,b_2,\cdots,b_n</math>을 적당히 재배열하여 얻은 실수들이라 하면, <br /> <math>a_1b_n+a_2b_{n-1}+\cdots+a_nb_1\leq a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n\leq a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n</math>이 성립한다. 단, 등호는 <math>a_i</math>가 모두 서로 같거나 <math>b_i</math>가 모두 서로 같을 때 성립한다.}} 증명 <math>r< s</math>라 가정하자. 두 합 <math>S=a_1b_1+\cdots+a_rb_r+\cdots+a_sb_s+\cdots+a_nb_n,\,S'=a_1b_1+\cdots+a_rb_s+\cdots+a_sb_r+\cdots+a_nb_n</math>의 크기를 비교해 보면, <math>S-S'=a_rb_r+a_sb_s-a_rb_s-a_sb_r=a_r\left(b_r-b_s\right)-a_s\left(b_r-b_s\right)=\left(a_r-a_s\right)\left(b_r-b_s\right)</math>이다. 여기서 <math>r< s</math>이므로, <math>a_r< a_s,\,b_r< b_s</math>가 성립하고, 곧 <math>S-S'> 0</math>이다. 즉, 임의의 두 항을 바꾸면 합은 작아진다. 이를 일반화 시키면 <math>a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n\leq a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n</math>, (<math>\left\{x_n\right\}_{k=1}^n</math>은 수열 <math>\left\{b_n\right\}_{k=1}^n</math>의 재배열)이 성립한다. <br /> 최솟값의 경우에도 같은 방법으로 증명이 가능하다. 참고로 등호는 <math>S-S'=\left(a_r-a_s\right)\left(b_r-b_s\right)</math>에서 <math>a_r=a_s</math>이거나 <math>b_r=b_s</math>일 때 성립한다. 그런데 <math>r,s</math>는 고정된 두 쌍이었으므로 일반적인 경우에<math>S=S'</math>이기 위해서는 임의의 두 쌍이 서로 같아야한다. 이는 곧, 모든 <math>a_i</math>가 서로 같거나 모든 <math>b_i</math>가 서로 같을 때임을 의미한다. == 체비셰프 합 부등식 == [[러시아]]의 수학자 [[파프누티 쳬비셰프]]가 증명한 [[부등식]] 중 하나.<ref>일반적으로 쳬비셰프 부등식이라 하면 [[확률]]과 [[통계]]에서의 그의 부등식을 말한다. 이와 구분하기 위해 체비셰프 '''합''' 부등식이라 따로 부른다.</ref> 재배열 부등식에서 쉽게 증명할 수 있는 부등식으로, 형태도 비슷하다. {{인용문|<math>a_1\leq a_2\leq\cdots\leq a_n</math>이고, <math>b_1\leq b_2\leq\cdots\leq b_n</math>인 임의의 <math>2n</math>개의 [[실수]]에 대하여, <math>n\left(a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n\right)\geq\left(a_1+a_2+\cdots+a_n\right)\left(b_1+b_2+\cdots+b_n\right)\geq n\left(a_1b_n+a_2b_{n-1}+\cdots+a_nb_1\right)</math>}} 증명 {{인용문2|재배열 부등식에 의해 아래 <math>n</math>개의 부등식이 성립한다. <br /> <math>a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n\geq a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n\geq a_1b_n+a_2b_{n-1}+\cdots+a_nb_1</math> <br /> <math>a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n\geq a_1b_2+a_2b_3+\cdots+a_nb_1\geq a_1b_n+a_2b_{n-1}+\cdots+a_nb_1</math> <br /> <math>a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n\geq a_1b_3+a_2b_4+\cdots+a_nb_2\geq a_1b_n+a_2b_{n-1}+\cdots+a_nb_1</math> <br /> <math>\vdots</math> <br /> <math>a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n\geq a_1b_n+a_2b_{n-1}+\cdots+a_nb_1\geq a_1b_n+a_2b_{n-1}+\cdots+a_nb_1</math> <br /> 위 부등식을 전부 더하면 구하고자 하는 [[부등식]]이 증명된다.}} == 예시 == 1. 양의 실수 <math>a,b,c</math>에 대해, <math>\frac{a+b+c}{abc}\leq\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}</math>이 성립한다. 왜냐하면 이 부등식은 <math>\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{b}+\frac{1}{b}\cdot\frac{1}{c}+\frac{1}{c}\cdot\frac{1}{a}\leq\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\cdot\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\cdot\frac{1}{c}</math>과 동치이고, 재배열 부등식에 의해 성립하기 때문. 2. 양의 실수 <math>a,b,c</math>에 대해, <math>\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\geq\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}</math>가 성립한다. 이 부등식을 적절히 변형하면 <math>\frac{a}{b}\cdot\frac{a}{b}+\frac{b}{c}\cdot\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\cdot\frac{c}{a}\geq\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{c}+\frac{b}{c}\cdot\frac{c}{a}+\frac{c}{a}\cdot\frac{a}{b}</math>이고, 재배열 부등식에 의해 성립한다. 3. 실수 <math>a,b,c</math>에 대해, <math>\frac{a+b+c}{3}\geq\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}}</math>이 성립한다. 체비셰프 합 부등식에 의해 <math>3\left(a^2+b^2+c^2\right)\geq\left(a+b+c\right)\left(a+b+c\right)</math>이 성립하고, 양변을 9로 나눈 뒤 [[제곱근]]을 씌워주면 된다. == 관련 항목 == * [[부등식]] * [[절대부등식]] * [[산술-기하평균 부등식]] * [[코시-슈바르츠 부등식]] [[분류:부등식]] {{각주}} 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț 이 문서에서 사용한 틀: 틀:각주 (원본 보기) (준보호됨)틀:인용문 (원본 보기) (준보호됨)틀:인용문2 (원본 보기) (준보호됨)