일차방정식(一次方程式, Linear equation) 또는 선형 방정식(線形方程式)은 차수가 1인 방정식으로, ax=b의 형태로 나타낼 수 있다.
일변수 일차방정식
실수 범위에서 변수가 한 개인 일차방정식 [math]\displaystyle{ ax=b }[/math]을 고려하자.
- [math]\displaystyle{ a\ne 0 }[/math]일 때, [math]\displaystyle{ ax=b }[/math]는 유일한 해 [math]\displaystyle{ x=a^{-1}b }[/math]를 가진다.
- [math]\displaystyle{ a=0 }[/math], [math]\displaystyle{ b=0 }[/math]일 때, 임의의 [math]\displaystyle{ x }[/math]는 방정식 [math]\displaystyle{ ax=b }[/math]의 해이다. (부정不定)
- [math]\displaystyle{ a=0 }[/math], [math]\displaystyle{ b\ne 0 }[/math]일 때, [math]\displaystyle{ ax=b }[/math]의 해는 존재하지 않는다. (불능不能)
일반적으로, 환 [math]\displaystyle{ R }[/math]에 대해 방정식 [math]\displaystyle{ ax=b }[/math]의 해는 유일하게 정해지지 않는다.
- [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_6 }[/math] 위에서 [math]\displaystyle{ 2x=4 }[/math]의 해는 [math]\displaystyle{ x=2 }[/math] 또는 [math]\displaystyle{ x=5 }[/math]이다.
- [math]\displaystyle{ \mathbb{Z} }[/math] 위에서 [math]\displaystyle{ 3x=1 }[/math]의 해는 존재하지 않는다.
- 2차 전행렬환 [math]\displaystyle{ \operatorname{Mat}(2,\mathbb{R}) }[/math] 위에서 [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}1 & 2 \\ 2 & 4\end{pmatrix}X=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 1 & 1\end{pmatrix} }[/math]의 해는 존재하지 않는다.
일반적으로, 단위원을 갖는 환 [math]\displaystyle{ R }[/math]에서 [math]\displaystyle{ a }[/math]의 역원이 존재하면 방정식 [math]\displaystyle{ ax=b }[/math]의 해가 유일하게 존재한다.