일차방정식: 두 판 사이의 차이

2019년 3월 9일 (토) 21:12 판

일차방정식(一次方程式, Linear equation) 또는 선형 방정식(線形方程式)은 차수가 1인 방정식으로, ax=b의 형태로 나타낼 수 있다.

일변수 일차방정식

실수 범위에서 변수가 한 개인 일차방정식 [math]\displaystyle{ ax=b }[/math]을 고려하자.

[math]\displaystyle{ a\ne 0 }[/math]일 때, [math]\displaystyle{ ax=b }[/math]는 유일한 해 [math]\displaystyle{ x=a^{-1}b }[/math]를 가진다.
[math]\displaystyle{ a=0 }[/math], [math]\displaystyle{ b=0 }[/math]일 때, 임의의 [math]\displaystyle{ x }[/math]는 방정식 [math]\displaystyle{ ax=b }[/math]의 해이다. (부정不定)
[math]\displaystyle{ a=0 }[/math], [math]\displaystyle{ b\ne 0 }[/math]일 때, [math]\displaystyle{ ax=b }[/math]의 해는 존재하지 않는다. (불능不能)

일반적으로, 환 [math]\displaystyle{ R }[/math]에 대해 방정식 [math]\displaystyle{ ax=b }[/math]의 해는 유일하게 정해지지 않는다.

[math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_6 }[/math] 위에서 [math]\displaystyle{ 2x=4 }[/math]의 해는 [math]\displaystyle{ x=2 }[/math] 또는 [math]\displaystyle{ x=5 }[/math]이다.
[math]\displaystyle{ \mathbb{Z} }[/math] 위에서 [math]\displaystyle{ 3x=1 }[/math]의 해는 존재하지 않는다.
2차 전행렬환 [math]\displaystyle{ \operatorname{Mat}(2,\mathbb{R}) }[/math] 위에서 [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}1 & 2 \\ 2 & 4\end{pmatrix}X=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 1 & 1\end{pmatrix} }[/math]의 해는 존재하지 않는다.

일반적으로, 단위원을 갖는 환 [math]\displaystyle{ R }[/math]에서 [math]\displaystyle{ a }[/math]의 역원이 존재하면 방정식 [math]\displaystyle{ ax=b }[/math]의 해가 유일하게 존재한다.

각주

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 '''일차방정식'''(一次方程式, Linear equation) 또는 '''선형 방정식'''(線形方程式)은 차수가 1인 [[방정식]]으로, ax=b의 형태로 나타낼 수 있다.
-==해법==
+== 일변수 일차방정식 ==
-그냥 [[사칙연산]]만 할 수 있어도 간단히 풀 수 있는 것이 일차방정식이다. 이때 a가 0이고 b가 0이면 해가 무수히 많고(부정<small>不定</small>), a가 0인데 b는 0이 아니면 해가 없다(불능<small>不能</small>). 이것을 제외한 나머지 경우에는 해가 1개가 된다.
+[[실수 (수학)|실수]] 범위에서 변수가 한 개인 일차방정식 <math>ax=b</math>을 고려하자.
+* <math>a\ne 0</math>일 때, <math>ax=b</math>는 유일한 해 <math>x=a^{-1}b</math>를 가진다.
+* <math>a=0</math>, <math>b=0</math>일 때, 임의의 <math>x</math>는 방정식 <math>ax=b</math>의 해이다. (부정<small>不定</small>)
+* <math>a=0</math>, <math>b\ne 0</math>일 때, <math>ax=b</math>의 해는 존재하지 않는다. (불능<small>不能</small>)
-일차방정식을 ax=b의 형태로 나타내면 x=b/a가 된다. [[참 쉽죠?]]
+일반적으로, [[환 (수학)|환]] <math>R</math>에 대해 방정식 <math>ax=b</math>의 해는 유일하게 정해지지 않는다.
+* <math>\mathbb{Z}_6</math> 위에서 <math>2x=4</math>의 해는 <math>x=2</math> 또는 <math>x=5</math>이다.
-이게 이해가 안된다면 등식의 성질부터 다시 공부해야 한다(초등학교 5학년 정도 수준)
+* <math>\mathbb{Z}</math> 위에서 <math>3x=1</math>의 해는 존재하지 않는다.
+* 2차 [[전행렬환]] <math>\operatorname{Mat}(2,\mathbb{R})</math> 위에서 <math>\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 2 & 4\end{pmatrix}X=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 1 & 1\end{pmatrix}</math>의 해는 존재하지 않는다.
+일반적으로, 단위원을 갖는 환 <math>R</math>에서 <math>a</math>의 역원이 존재하면 방정식 <math>ax=b</math>의 해가 유일하게 존재한다.
 {{각주}}
 [[분류:방정식]]