로그인하고 있지 않습니다. 편집하면 당신의 IP 주소가 공개적으로 기록됩니다. 계정을 만들고 로그인하면 편집 시 사용자 이름만 보이며, 위키 이용에 여러 가지 편의가 주어집니다.스팸 방지 검사입니다. 이것을 입력하지 마세요! '''일반항 판정법(limit term test, term test)'''는 일반항을 이용해 [[수열]]의 [[수열의 극한|수렴]] 여부를 판정하는 정리이다. == 진술 == 복소수열 <math>(a_n)</math>에 대해 <math>\sum_{i=1}^{\infty}a_n</math>이 수렴하면 <math>\lim_{n\to \infty}a_n = 0</math>이다. == 증명 == <math>\sum_{i=1}^{\infty}a_n</math>이 수렴한다고 가정하자. 그러면 <math>\sum_{i=1}^{\infty}a_n</math>의 부분합 <math>S_n=\sum_{i=1}^n a_i</math>에 대해 <math>\lim_{n\to \infty}S_n = S</math>인 <math>S</math>가 존재한다. <math>\lim_{n\to \infty}S_n=S</math>이면 임의의 <math>\varepsilon > 0 </math>에 대해 [[자연수]] <math>N</math>이 존재해 임의의 자연수 <math>n > N</math>에 대해 <math>|S_n - S| < \varepsilon</math>이다. 여기서 임의의 <math>\varepsilon > 0</math>에 대해 <math>N+1</math>을 설정하면 임의의 <math>n > N+1</math>에 대해 <math>n-1 > N</math>이므로 <math>|S_{n-1} - S|<\varepsilon</math>이다. 그러므로 <math>\lim_{n\to \infty}S_{n-1}=S</math>이다. <math>a_n=S_n-S_{n-1}</math>이고 <math>(S_n),(S_{n-1})</math>이 모두 수렴하므로 수열의 극한의 기본 성질에 의해 : <math>\begin{align} \lim_{n\to\infty}a_n &= \lim_{n\to\infty} (S_n - S_{n-1})\\ &=\lim_{n\to \infty} S_n - \lim_{n\to \infty}S_{n-1}\\ &= S- S\\ &=0 \end{align}</math> 으로 원하는 결과를 얻는다. === 다른 증명 === <math>\mathbb R^k</math>은 [[완비성|complete]]하므로 부분합들의 수열이 수렴함과 그 수열이 [[코시 열|Cauchy sequence]]임은 동치이다. 즉 임의의 양수 <math>\varepsilon</math>에 대하여 어떤 정수 <math>N</math>이 존재해서 두 정수 <math>m</math>과 <math>t = n-1 < m</math>이 <math>N </math> 이상일 때 <math>\left|\sum_{k=1}^m a_k - \sum_{k=1}^t a_k \right| = \left|\sum_{k=n}^m a_k \right|\le \varepsilon</math>이어야만 한다. 여기서 나중의 조건을 약화시키면: <math>m=n</math>일 때 <math>|a_n| \le \varepsilon</math>이므로 충분히 큰 <math>n</math>에 대하여 <math>\left| a_n \right|</math>이 임의의 양수보다 작으므로 <math>a_n \to 0</math>이다. == 예시 == 일반항 판정법을 이용해 다음 급수가 발산함을 보일 수 있다. {| width="100%" | width="50%" | * <math>\sum_{n=1}^{\infty}\cos n</math><ref>{{웹 인용|url=http://www.cut-the-knot.org/m/Calculus/DivergentCosineN.shtml|제목=Divergence of <nowiki>{cos(n)}</nowiki>|성=Bogomolny|이름=Alexander|출판사=Cut The Knot|확인날짜=2016-01-25}}</ref> * <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{n^2+1}</math> * <math>\sum_{n=1}^{\infty}(-2)^n</math> * <math>\sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^n</math> | width="50%" | * <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^n}{n^{20150416}}</math> * <math>\sum_{n=1}^{\infty}n^{\frac{1}{n}}</math> * <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n }{(\ln n)^{72}}</math> |} 일반항 판정법의 역은 성립하지 않는다. 다시 말해 <math>\lim_{n\to \infty}a_n = 0</math>이라고 해서 <math>\sum_{i=1}^{\infty}a_n</math>가 수렴하는 것은 아니다. 예를 들어, * <math>\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0</math>이지만 <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}</math>은 발산한다. * <math>\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n\ln n}=0</math>이지만 <math>\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\ln n}</math>은 발산한다. * <math>\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n\ln n \ln(\ln n)}=0</math>이지만 <math>\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\ln n \ln(\ln n)}</math>은 발산한다. {{각주}} {{수렴판정법}} [[분류:해석학]] [[분류:수학 정리]] 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț 이 문서에서 사용한 틀: 틀:Skin (원본 보기) (준보호됨)틀:각주 (원본 보기) (준보호됨)틀:날짜 (원본 보기) (준보호됨)틀:둘러보기 상자 (원본 보기) (보호됨)틀:둘러보기 상자/핵심 (원본 보기) (보호됨)틀:수렴판정법 (편집) 틀:웹 인용 (편집) 틀:틀바 (원본 보기) (준보호됨)