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[[르장드르 기호]]를 사용하면 더 많은 성질을 알 수 있다. [[르장드르 기호]]에 관련된 것은 항목 참조. == 이차 합동방정식 == {{참고|모듈러 제곱근}} <math>ax^2+bx+c\equiv0\pmod m</math>의 형태를 가진 [[합동식]]을 이차 합동방정식이라 부른다. 일반적인 이차 합동방정식은 통상 이차방정식과 같이 완전제곱식 형태로 묶어서 변형할 수 있다. 주어진 식에서 양 변에 <math>4a</math>를 곱하면 <math>4a^2x^2+4abx+4ac \equiv 0 \pmod{4am}</math>이고, 이는 <math>(2ax+b)^2 \equiv b^2-4ac \pmod{4am}</math>으로 쓸 수 있다. 그러므로 주요 관심사는 간단한 형태인 <math>x^2 \equiv a \pmod m</math>의 해를 구하는 것이며, 자세한 방법은 [[모듈러 제곱근]] 문서에 있다. 아래는 그 중 간단한 경우를 다룬다. {{^|<math>x^2\equiv a\pmod p</math>}} 여기서 <math>p</math>는 [[소수]]이다. 만약 <math>p=2</math>라면, 가능한 <math>x</math>값이 0, 1 두 개밖에 없으므로 직접 넣어서 확인하는 것이 제일 빠르다. 아니면 <math>a</math>와 <math>x</math>의 [[기우성]]이 같다는 사실을 이용해도 된다. 해는 반드시 유일하게 존재하게 된다. 만약 <math>p</math>가 홀수인 소수라면, <math>a</math>의 값에 따라 해가 존재할 수도 있고, 없을 수도 있다. 해가 존재하기 위한 조건은 <math>\left(\frac{a}{p}\right)=1</math>인 것 ([[르장드르 기호]] 참조). 만약 <math>\left(\frac{a}{p}\right)=-1</math>라면 해는 존재하지 않는다. <math>\left(\frac{a}{p}\right)</math>값을 구하는 방법은 [[르장드르 기호]] 항목에 여러 가지가 있으니 그쪽을 참조하자. 해가 존재함을 밝혀냈다면, 위 성질의 1번에 의해 서로다른 두 개의 해가 존재함을 알 수 있다. 한 해를 <math>x_0</math>라 하면, 다른 해는 자연히 <math>-x_0</math>. 문제는 해인 <math>x_0</math>를 찾는 것인데, [[이산로그]]인 <math>\operatorname{ind}_p a</math>를 구하거나 [[토넬리-섕크스 알고리즘]]을 이용하면 해를 구할 수 있다. 특수한 경우로 <math>a</math>가 완전제곱수이면 해를 금방 찾을 수 있다. 다른 경우는 바로 <math>p\equiv3\pmod4</math>일 때. 이 경우 <math>a^{\frac{p+1}{4}}</math>가 한 해가 된다. [[오일러의 규준]]에 의해 <math>x^2\equiv a^{\frac{p+1}{2}}\equiv a^{\frac{p-1}{2}}a\equiv\left(\frac{a}{p}\right)a\equiv a\pmod p</math>이기 때문. {{^|<math>x^2\equiv a\pmod{pq}</math>}} 여기서 <math>p,\,q</math>는 서로다른 두 [[소수]]이다. 이제, <math>\gcd\left(a,pq\right)=1</math>이고, 합동식의 해가 존재한다고 가정하자. <math>x_0</math>가 한 해라면, <math>{x_0}^2\equiv a\pmod p</math>이고 <math>{x_0}^2\equiv a\pmod q</math>이다. 만약 <math>\left(\frac{a}{p}\right)=-1</math>이거나 <math>\left(\frac{a}{q}\right)=-1</math>라면, 두 개로 쪼갠 합동식 중 하나는 해가 존재하지 않으므로 원래 합동식의 해도 존재하지 않게 된다. 따라서, <math>\left(\frac{a}{p}\right)=\left(\frac{a}{q}\right)=1</math>이라고 가정하자. 첫 번째 합동식의 해를 <math>\pm x_1</math>, 두 번째 합동식의 해를 <math>\pm x_2</math>라 하면, 우리가 풀고자 하는 원래 합동식은, :<math>\begin{cases}x&\equiv x_1\pmod p\\x&\equiv x_2\pmod q\end{cases}\quad\begin{cases}x&\equiv -x_1\pmod p\\x&\equiv x_2\pmod q\end{cases}\quad\begin{cases}x&\equiv x_1\pmod p\\x&\equiv -x_2\pmod q\end{cases}\quad\begin{cases}x&\equiv -x_1\pmod p\\x&\equiv -x_2\pmod q\end{cases}</math> 의 네 연립 일차 합동식과 동치이다. 그런데 <math>p</math>와 <math>q</math>는 [[서로소]]이므로, [[중국인의 나머지 정리]]에 의해 위의 각 연립 일차 합동식은 법 <math>pq</math>에 대해 해가 유일하게 존재함을 알 수 있다. 따라서, <math>x^2\equiv a\pmod{pq}</math>의 해가 존재한다면, 그 해는 총 네 개이다. {{^|법 <math>n=p_1p_2\cdots p_k</math>}} 만약 <math>p_1,\,p_2,\,\ldots,\,p_k</math>가 서로다른 [[소수]]라면, 위에서 했던 방법과 같은 방법으로 이차 합동식을 풀 수 있다. 해의 개수는 총 <math>2^k</math>개. == 같이 보기 == *[[모듈러산술]] *[[이산로그]] *[[르장드르 기호]] {{각주}} [[분류:정수론]] 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț 이 문서에서 사용한 틀: 틀:Skin (원본 보기) (준보호됨)틀:^ (편집) 틀:각주 (원본 보기) (준보호됨)틀:참고 (원본 보기) (준보호됨)