유클리드의 원론/11권 편집하기

유클리드의 원론 11권은 [[입체도형]]에 대해 주로 다룬다. 모두 28개의 정의와 39개의 정리가 있다.

== 정의 ==
# 입체(solid)란 길이, 폭 두께를 모두 갖는 것을 말한다.
# 입체의 끝은 면이다.
# 어떤 직선이 평면과 한 점에서 만날 때 평면위에 있으면서 그 점을 지나는 모든 직선과 수직일 때 그 직선은 그 평면과 수직으로 만난다(a line meets at right angles to the plane)고 한다.
# 두 평면이 수직으로 만난다(a plane meets at right angles to a plane)는 뜻은 두 평면의 교선이 있고, 그 교선 위의 한 점에 대해 두 평면 위에서 수선을 그을 때 각각의 수선이 수직으로 만나는 경우를 의미한다.
# 직선(l)과 평면(p)이 만나서 생기는 각(The inclination of a straight line to a plane)은 직선과 평면이 한 점(A)에서 만날 때 직선 위에 있으면서 평면 밖의 점(B)에서 평면과 수직으로 만나는 선을 그은 다음, 그 수선이 평면과 만나는 점(BC⊥p)과 원래 직선이 평면과 만나는 점을 연결할 때 그 선분이 원래의 직선과 만나서 생기는 각(∠BAC)의 크기와 같다.
# 두 평면 사이의 각(The inclination of a plane to a plane)은 두 평면의 교선 위의 한 점에 대해 각각의 평면 위에서 수선을 그을 때(l,m) 이 두 교선이 이루는 예각을 말한다.
# 평면 A, B, C가 있을 때 평면 A가 B에 대해 C와 같은 각으로 만난다는 것은(similarly inclined to)A와 B 사이의 평면각의 크기가 B와 C 사이의 평면각의 크기가 같다는 것을 의미한다.
# 두 평면이 평행하다(Parallel planes)는 것은 두 평면이 만나지 않는다는 것을 의미한다.
# 두 입체가 닮은꼴이다(Similar solid figures)는 것은 두 입체를 구성하는 모든 면의 수가 같고, 각 면들이 같은 비율로 닮은꼴이 되는 경우를 말한다. (입체도형의 닮은꼴을 정의한다)
# 두 입체가 닮은 꼴이며 같은 모양이다(Equal and similar solid figures)는 두 입체를 구성하는 모든 면들이 개수도 동일하고, 완전히 동일한 면들이라는 것을 의미한다. (이건 입체도형의 합동을 정의한다)
# 입체각(solid angle)이란 한 평면 위에 있지 않은 세 개 이상의 직선들이 한 점에서 모일 때 그 직선들에 의해 형성되는 뿔 모양의 공간의 크기를 말한다. 달리 말하면 두 개 이상의 평면각이 있어서 이들이 같은 평면 위에 있지 않을 때 이들이 한 점에서 만나는 점을 중심으로 형성되는 각이다. (입체각은 뿔 모양의 공간이 벌어지는 정도를 의미한다. 크기는 각의 꼭짓점을 중심으로 하는 구면의 상대적인 넓이로 측정한다)
# 각뿔(pyramid)은 한 평면과 그 평면 밖의 한 꼭짓점을 연결하는 입체이다.
# 각기둥(prism)은 크기가 같고 평행한 두 도형을 연결하는 입체이다. 각기둥의 각 옆면은 평행사면형이다.
# 반원을 지름의 방향으로 한 바퀴 돌렸을 때 생기는 회전체를 [[구 (도형)|구]](sphere)라고 한다.
# 구의 축(axis of the sphere)은 정의 14번에서 반원을 한 바퀴 돌릴 때 돌리는 기준축을 말한다.
# 구의 중심(center of the sphere)은 구를 형성시키는 반원의 현의 중심과 동일하다.
# 구의 지름(diameter of the sphere)은 구의 중심을 지나는 직선이 구와 두 점에서 만날 때 그 두 점 사이의 거리를 의미한다.
# 직각삼각형에서 직각을 끼고 있는 한 변을 중심으로 회전시켰을 때 생기는 도형은 원뿔(cone)이다. 만일 고정시킨 직선이 직각을 끼고 있는 나머지 한 변의 길이와 같으면 이 원뿔은 직각이고(right-angled;) 더 짧으면 이 원뿔은 둔각이고(obtuse-angled) 더 길면 이 원뿔은 예각이다(acute-angled). (사실 원뿔이 직각, 예각, 둔각인 것은 축을 끼고 있는 평면으로 원뿔을 자를 때 꼭지각의 크기가 예각, 직각, 둔각 중 하나로 나오는데, 그 크기를 의미한다)
# 원뿔의 축(axis of the cone)은 직각삼각형을 돌릴 때 고정된 변을 말한다.
# 원뿔의 밑면(base)은 직각삼각형의 밑변이 회전하면서 만들어내는 원을 말한다.
# 직사각형의 한 변을 고정시킨 다음, 그 변을 중심으로 1바퀴 회전해서 만든 도형을 원기둥(cylinder)이라고 한다.
# 원기둥의 축(axis of the cylinder)은 직사각형을 회전시킬 때 고정된 변을 말한다.
# 그리고 원기둥의 밑면(bases)은 원기둥의 축과 수직인 변들이 회전해서 만들어지는 두 개의 크기가 같은 원을 의미한다.
# 원뿔(또는 원기둥)과 대해 각각 축의 길이와 밑면의 반지름의 길이가 비례관계에 있으면 두 원뿔(또는 원기둥)은 닮은꼴(Similar cones and cylinders)이라고 말한다.
# 정육면체(cube)는 여섯 개의 크기가 같은 정사각형으로 둘러싸인 입체를 말한다.
# 정팔면체(octahedron)는 여덟 개의 크기가 같은 정삼각형으로 둘러싸인 입체를 말한다.
# 정이십면체(icosahedron)는 스무 개의 크기가 같은 정삼각형으로 둘러싸인 입체를 말한다..
# 정십이면체(dodecahedron) 는 열 두 개의 크기가 같은 정오각형으로 둘러싸인 입체를 말한다.

== 정리 ==
# 직선의 일부분은 평면에 포함되고, 일부는 평면 밖에 존재할 수 없다.
# 두 직선이 서로 만나면 그 두 직선을 포함하는 평면이 존재하고, 두 직선을 두 변으로 하는 삼각형도 그 평면 위에 존재한다.
# 두 평면이 만나서 서로를 나누면 그 나누는 성분은 직선이다.
# 한 평면 위에 두 직선이 서로 만날 때 그 두 직선과 모두 수직인 선분을 두 직선의 교점 위에서 작도하면 그 직선은 평면과 수직이다. (수직의 조건: 교점을 지나는 서로 다른 두 직선하고만 수직이면 된다)
# 세 직선이 한 점에서 만날 때 이들의 교점에서 세 직선 모두에 수직인 직선을 만들 수 있으면 처음 세 직선은 한 평면 위에 있다.
# 서로 다른 두 직선이 같은 평면에 대해 수직이면 두 직선은 평행하다.
# 평행한 두 직선 위에서 각각 한 점씩 잡는다. 그러면 그 두 점을 있는 직선은 두 평행선과 같은 평면 위에 있다.
# 두 평행선 중 한 직선이 어떤 평면과 수직이면 나머지 직선도 그 평면과 수직이다.
# 두 직선(a, b)이 어떤 직선(l)과 평행하다고 하자. 그렇다면 두 직선(a,b)이 나머지 직선(l)과 함께 한 평면 위에 있지 않아도 평행하다. (1권 정리 31번의 일반화다)
# 두 직선(a, b)이 한 점에서 만난다. 이 때 두 직선과 각각 평행한 직선(l,m -> l//a, m//b)이 또 다른 한 점에서 만난다고 하자. 그렇다면 a, b가 만나는 각은 l,m이 만나는 각과 크기가 동일하다.
# 평면 밖의 점에서 그 점을 지나고 평면에 대한 수직선을 작도할 수 있다.
# 평면 위의 점에서 그 점을 지나고 평면에 대한 수직선을 작도할 수 있다.
# 평면 위의 점에서 그 점을 지나고 평면에 대한 수직선은 유일하다.
# 두 평면이 한 직선에 대해 수직이면, 두 평면은 평행하다.
# 두 직선 a, b가 만나고, 또 다른 두 직선 l, m이 만나는데, a//l이고, b//m일 때 a와 b에 의해 생기는 평면은 l과 m에 의해 생기는 평면과 "일치하거나" 평행하다.
# 평행한 두 평면이 어떤 평면과 만나면, 각각의 교선은 서로 평행하다.
# 평행한 평면들(p1, p2, ..., pn)이 두 직선(l,m)을 나눌 때 두 직선에서 평행한 평면 사이의 조각들(l과 m의 pi와  p_i+1 사이의 조각들)은 서로 비례관계에 있다. 즉, l/(p_1-p_2):m/(p_1-p_2) = l(p_2-p_3):m/(p_2:p_3)=...=l(p_(n-1)-p_n):m/(p_(n-1):p_n)
# 어떤 직선이 어떤 평면과 수직이면 그 직선을 포함하는 모든 평면은 처음에 주어진 평면과 수직이다.
# 두 평면이 어떤 평면과 수직이라고 하면, 그 두 평면의 교선도 어떤 평면과 수직이 된다.
# 세 개의 평면이 모여 입체각을 만든다고 하면, 세 개의 이면각이 생긴다. 이 때 두 개의 이면각의 합은 나머지의 이면각의 크기보다 더 크다.
# 세 개의 이면각들이 모여서 입체각을 이룰 때 이면각들의 합은 직각의 네 배보다 더 작다.
# 세 개의 평면각이 존재하고, 이 세 개가 모여 입체각을 이룰 때 세 평면각의 합이 4직각보다 더 작으면서 두 개의 평면각의 합이 나머지의 평면각의 크기보다 크다고 가정하자. 그러면 입체각을 이루도록 만나는 선분의 길이가 서로 같을 때 이 직선들의 끝점을 이어서 삼각형을 만들 수 있다.
# 세 개의 평면각이 존재하고, 이 세 평면각의 합이 4직각보다 작으면서 두 각의 합이 나머지 한 각의 크기보다 클 때 이 세 평면각을 이면각으로 하는 입체각을 작도할 수 있다. <!-- Lemma for XI.23. (증명과정에서 사용하는 보조정리입니다. 정리를 증명하는 과정에서 지엽적인 내용을 다루므로 생략하겠습니다)-->
# 어떤 육면체가 평행한 세 쌍의 평면으로 둘러싸여 있으면 평행한 평면의 쌍은 크기가 같은 평행사변형이다. (평행육면체 이야기)
# 평행육면체에서 옆면과 평행한 면으로 나눈다면, 나눠진 평행육면체의 부피의 비율은 밑면의 넓이의 비율과 동일하다.
# 직선 위에서 한 점을 잡았을 때 그 점을 꼭짓점으로 하면서 주어진 입체각과 동일한 입체각을 작도할 수 있다. (입체각은 크기가 같다고 해서 같은 모양이 되지 않는 점도 주의하시기 바란다)
# 어떤 직선과 어떤 평행육면체가 주어졌을 때 주어진 직선을 한 모서리로 하고, 주어진 평행육면체와 방향도 일치하면서 닮은꼴인 평행육면체를 작도할 수 있다.
# 평행육면체에서 서로 마주보는 두 평면의 대각선을 지나는(두 대각선은 서로 평행하다) 평면으로 나누면 그 평면은 주어진 평행육면체를 이등분한다.
# 두 평행육면체가 하나의 밑면을 공유하고, 높이가 동일하면서 두 입체의 밑면과 반대쪽 꼭짓점들이 두 평행선 위에 있다고 가정하자. 그러면 두 평행육면체의 부피는 동일하다.
# 두 평행육면체가 하나의 밑면을 공유하고, 높이가 동일하다고 가정하자. 그렇다면 두 입체의 밑면과 반대쪽 꼭짓점들이 두 평행성 위에 있지 않아도 두 평행육면체의 부피는 동일하다.
# 두 평행육면체가 밑면의 넓이가 같고, 높이가 같으면 두 평행육면체의 부피는 동일하다. (29→30→31번으로 일반화된다)
# 높이가 같은 두 평행육면체의 부피의 비율은 두 평행육면체의 밑면의 넓이의 비율과 동일하다.
# 두 평행육면체가 닮은꼴일 때 두평행육면체의 부피의 비율은 서로 대응되는 변의 비율의 세제곱의 비율과 동일하다.
#: Corollary. 만일 네 직선이 연속으로 비례관계에 있으면, 두 평행육면체가 서로 닮은꼴이면서 대응되는 한 변의 길이가 각각 첫 번째 직선의 길이와 두 번째 직선의 길이와 같으면 두 평행육면체의 부피의 비율은 첫 번째 직선과 네 번째 직선의 길이의 비율과 동일하다.
# 두 평행육면체의 부피가 동일하면 두 평행육면체의 밑면의 비율은 높이의 비율에 반비례한다. 즉, 밑면의 비율과 높이의 비율이 역으로 비례할 때 두 평행육면체의 부피는 동일하다.
#두 평면각 ∠BAC와 ∠EDF가 크기가 같다고 하자. 이 때 점 A에서 직선 AG를 작도하고, 점 D에서 직선 DK를 작도하자. 여기서 각 ∠BAG=∠EDK,∠CAG=∠FDK라고 하자. 그렇다면 직선 AG와 평면 BAC 사이의 각의 크기는 직선 DK와 평면 EDF 사이의 각의 크기와 동일하다.
# 세 직선이 서로 비례관계에 있다고 하자. 그렇다면 세 직선이 한 점에서 만나 구성된 평행육면체의 부피는 그 평행육면체와 각의 크기가 같고, 변의 길이가 가운데 길이의 직선으로 구성된 평행육면체의 부피와 동일하다.
# 네 직선이 서로 비례관계에 있다고 하자. 그렇다면 네 개의 닮은 꼴인 평행육면체에서 서로 대응되는 변의 길이가 주어진 네 직선의 길이와 동일하면 네 평행육면체의 부피도 서로 비례관계에 있다. 역으로 네 평행육면체가 서로 비례관계에 있으면, 그 평행육면체의 서로 대응하는 변의 길이도 서로 비례관계에 있다.
# 정육면체의 마주보는 두 변들을 이등분한 다음, 그 점들을 지나도록 두 평면을 잡는다. 그렇다면 이 두 평면의 교선은 정육면체의 네(입체적인) 대각선을 이등분한다.
# 높이가 같은 두 각기둥이 있는데, 하나는 면이 평행사변형이고, 다른 하나는 면이 삼각형이다. 이 때 평행사변형의 넓이가 삼각형의 넓이의 두 배라고 하면, 두 각기둥의 부피는 동일하다. (정확히 말해서는 평행사변형을 이등분한 삼각형을 밑면으로 하는 각기둥의 부피와 원래의 삼각기둥의 부피가 동일하다는 것을 의미한다)

== 참고 ==
* [http://blog.naver.com/lyh901125/70134662560 빛의 편지 블로그 원론 11권]
* [http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookXI/bookXI.html D.E.Joyce 교수 원론 11권]

{{유클리드의 원론}}
[[분류:유클리드의 원론|11권]]