로그인하고 있지 않습니다. 편집하면 당신의 IP 주소가 공개적으로 기록됩니다. 계정을 만들고 로그인하면 편집 시 사용자 이름만 보이며, 위키 이용에 여러 가지 편의가 주어집니다.스팸 방지 검사입니다. 이것을 입력하지 마세요!==다양한 위상공간들== 위에서는 위상공간의 정의에 큰 제약을 두지 않았지만, 추가적인 조건 몇 개를 더 요구함으로써 더 말 잘 듣고 착하고 예쁜 이론을 전개하는 것이 가능하다.(본격 이론 페티쉬) ===하우스도르프 공간=== 실수 직선을 두고, 서로 다른 실수 x,y를 아무렇게나 골라보자. 예를 들어 x=10, y=1000. 그러면 x의 근방과 y의 근방을 잘 잡아서 두 근방이 절대 안겹치도록 할 수 있을까? 뭐, 그냥 구간 두 개를 (9,11)랑 (999,1001) 이렇게 잡으면 된다. 근데 만약 x=10, y=10.1이었다면 어떻게 할까? 그러면 (x-e,x+e), (y-e,y+e)를 잡되 e를 0.001이라고 하면 된다. 더 일반적으로는 e를 그냥 x-y의 반절로 잡으면 장땡이다. 그리고 이것은 거리공간에서 똑같이 논리전개가 가능하다. 이렇게, 착하고 말 잘 듣는 위상공간들은 아무 두점이나 잡아도 그 두점을 분리하는 근방들이 존재한다. 이런 공간을 하우스도르프 공간이라고 한다. 정의로 말하자면, 위상공간 X가 주어졌을 때, 그 어떤 x,y라는 원소를 고른다고 하더라도 x를 포함하는 근방 U, y를 포함하는 근방 V를 잘 잡아서 U와 V에 교집합이 없도록 할 수 있다면 X는 [[하우스도르프 공간]]이라고 한다. 하우스도르프 공간은 T<sub>2</sub> 공간이라고도 한다. 하우스도르프 공간의 조건을 더 강화해서 요구했을 때에는 T<sub>3</sub>, T<sub>3.5</sub>, T<sub>4</sub>, T<sub>4.5</sub> 공간이라고도 하며, 약화시킨 놈들은 T<sub>1</sub>, T<sub>0</sub>도 있다. 하우스도르프 공간이 아닌 놈이 존재하지 않겠지 싶을 수도 있겠지만, 토폴로지를 줄 때에 T={공집합, 전체집합}이라고만 하면 하우스도르프는커녕 T<sub>0</sub> 공간조차 아니게 된다! 이렇게 "반례를 위한 반례"가 아니어도, 실제로 응용되는 수준에서도 얼마든지 하우스도르프공간이 아닌 공간을 찾을 수 있다. 예를 들면 [[affine scheme]]은 대부분 하우스도르프 공간이 아니다. ===연결 공간=== [[연결 공간]]이라고 하면 직관적으로 경로 연결 공간을 떠올리게 된다. 공간의 두 점이 있을 때, 그 두 점을 잇는 선을 그릴 수 있으면 [[경로 연결 공간]]이다. 수학적으로는 * 임의의 두 점<math>x,y \in X</math>에 대해, <math>f(0)=x</math>이고 <math>f(1)=y</math>를 만족하는 연속함수 <math>f : [0,1] \rightarrow X</math>가 존재할 때, <math>X</math>가 경로 연결 공간이라고 한다. 여기서 정의역은 편의상 <math>[0,1]</math>로 놓은 것으로 반드시 <math>[0,1]</math>일 필요는 없고 <math>[a,b]</math>처럼 닫힌 구간이기만 하면 된다. 그리고 이런 경로 연결 공간을 일반화한 것이 연결 공간이다. 공집합이 아닌 두 열린집합으로 나눌 수 있다면 비연결 공간이고 나눌 수 없다면 연결공간이다. 당연히, 경로 연결 공간은 연결 공간이다. 그 이유는 <math>[0,1]</math>가 연결 공간이고 <math>f</math>가 연속이기 때문에 <math>f([0,1])</math>또한 연결 공간이라는 점을 이용해 경로 연결 공간이 연결 공간임을 유도할 수 있다. ===컴팩트 공간=== 어떤 위상공간에 대해 모든 열린 덮개(open cover)들이 유한 부분 덮개(finite subcover)가 존재할 때 [[컴팩트 공간]]이라고 한다. ...안타깝게도 이렇게만 봐서는 이 정의가 왜 중요하며 어떻게 하다 나온 건지 의중을 파악하기가 너무나 힘들다. <s>많은 이들이 수학을 접어버리는 관문중 하나이다</s> 그러니 컴팩트함의 직관에 대해 함께 알아보자. ====이게 대체 뭘까?==== 컴팩트(긴밀, compact)라는 단어는 빽빽하다는 뜻인데, 수학적으로 빽빽하다는 것을 어떻게 표현할지 고민하다가 나온 정의다. 덕분에 정의만 봐서 그 의미를 제대로 이해하기가 쉽지 않다. 하지만, 거리공간 <math>X</math>에 한정해서, <math>X</math>가 컴팩트함은 ''<math>S \subset X </math>가 무한 부분집합이면, S는 집적점 (limit point)를 갖는다''와 동치이다(볼차노-바이어슈트라스 정리). 즉, 집합 안에서 열심히 뛰어다녀봤자 어떤 점에는 무한히 가까이 다가간다는 것이다. 다른말로 "부처님 손바닥 안"이라는 것! 이 조건이 의미하는 바를 설명하기 위해 두 가지 예를 들어보겠다. 예를 들어서, 2차원 평면에 있는 단위원 <math> D = \{ (x,y)\in \mathbb R^2 | x^2+y^2<1\}</math> 의 경우, <math> S= \{ (0,0), (\frac12, 0), (\frac23,0), (\frac 34,0) , \cdots\}</math>라는 수열을 생각해보자. 이 수열을 <math> \mathbb R^2</math>에서 보면 <math> (1,0)</math>이라는 집적점 (limit point)가 있다는 것이 명백하다. 하지만 <math> D </math>에서만 생각을 한다면 <math> S </math>라는 수열은 그 어느 점에도 무한히 가까이 가지 않는다. <math> D </math>는 거리공간이기 때문에 (2차원에서 원래 거리를 재듯이 똑같이 거리함수를 주면 된다) 위에서 말한 동치조건 때문에 <math> D</math>는 컴팩트하지 않음을 알 수 있다. (물론, <math> D</math>에 통상적인 위상을 줬을 때만을 이야기하는 것이다. <math> D </math>에 indiscrete topology를 주면 컴팩트해진다. 위상을 처음 공부하는 사람들은 "통상적으로 다루는 위상"이 있다는 것에 익숙해지자.) 한편 <math> \bar D = \{ (x,y)\in \mathbb R^2 | x^2+y^2\leq 1\}</math>을 생각하자. 여기 위에서 수열을 잡으면 항상 집적점이 생기기 마련이다. 그 직관을 이야기하자면, 유한 집합 안에 무한집합을 우겨넣었을 때 서로 무한히 가까워지기 때문에 "바깥"으로 도망가는 길만이 집적점을 만들지 않는 것이지만, 밖으로 도망가봤자 <math> \bar D</math>에는 <math> D</math>와는 달리 울타리 (단위원!)이 길을 가로막고 있으므로 어느 수열을 잡아도 어떤 점에는 무한히 가까워질 수밖에 없는 것이다. 물론 이상은 직관을 설명한 것이고, 엄밀하게 다루는 것은 또 다르다. 심심하면 혼자 힘으로 <math> \bar D</math>의 모든 무한 부분집합은 집적점이 생길 수밖에 없음을 증명해보아라. 이렇게, 컴팩트하다는 건 점들이 서로 빽빽하게 모여 있으며 넘쳐흐르지 않는다고 생각할 수 있다. 위의 직관적인 성질, 즉 ''<math>S \subset X </math>가 무한 부분집합이면, S는 집적점 (limit point)를 갖는다''에는 따로 이름이 붙어 있다: 집적점 컴팩트함 (limit point compactness)이라고 한다. 위에서 말했듯이, 거리공간에서는 컴팩트함과 집적점 컴팩트함이 동치이다. 일반적인 공간에서는 모든 컴팩트 집합이 집적점-컴팩트 집합이긴 하지만 역은 성립하지 않는다. 집적점 컴팩트함의 직관적인 정의를 두고 열린 덮개에 대한 원래 정의를 고수하는 것은 원래대로 정의했을 때 더 활용도가 많기 때문이다. ([http://arxiv.org/pdf/1006.4131.pdf 컴팩트 정의의 역사]) 결국 수학을 심도있게 공부하려면 컴팩트함의 원래 정의를 제대로 곱씹을 필요가 있기에 열린 덮개에 대해서 골머리 썩이는 건 보통 불가피하지만, 이상의 <math> D</math>와 <math> \bar D</math>를 생각하며 직관이라도 알아두면 많이 편리할 것이다. ====이걸 알면 어따 쓸까?==== <s>어따쓰더라... 참 많이 쓰이긴 하는데</s> 컴팩트한 공간은 "작고 아기자기한" 공간이기에 적당히 들어맞아야 할 것 같은 성질들이 많이 들어맞는다. 또한, 작고 귀엽기 때문에 생김새를 금방 파악할 수도 있다. 컴팩트한 공간에서 실수값을 가진 연속함수를 정의하면, 이 함수는 항상 최대값과 최소값을 가진다. 컴팩트한 공간에서 하우스도르프한 공간으로 가는 함수가 연속이고 전단사 (bijective)이면, 이 함수의 역도 연속이다. 즉, 이 함수는 동형함수 (homeomorphism)이 된다. 컴팩트한 공간의 연속적인 사상 (image)는 컴팩트하고, 컴팩트한 공간들을 곱하면 (product topology를 줘야 한다!) 컴팩트하다. 이를 통해 알고 있던 컴팩트 공간에서 새로운 컴팩트 공간들을 만들어낼 수도 있다. 즉 위의 좋은 성질들을 더 광범위하게 활용할 수 있다는 뜻이다. [http://www.map.mpim-bonn.mpg.de/images/5/57/Surfaces.png 이그림추가바람] 컴팩트하고 방향을 줄 수 있는 (orientable) 곡면 (2차원 [[다양체]])은 완전히 분류가 되어 있다. 이게 위에서 설명한 "생김새를 금방 파악할 수 있다"는 것의 예이다. 비슷한 예로, [[리만-로크 정리]]를 사용해서 컴팩트한 [[리만 표면]]을 어느 정도 분류할 수 있다. ====하이네-보렐 정리==== {{본문|하이네-보렐 정리}} '''하이네-보렐 정리'''(Heine-Borel theorem)는 [[유클리드 공간]] <math> \mathbb R^n </math>에서는 "집합<math>S</math>가 컴팩트하다"는 것과 "그 집합이 닫혀 있고 (closed) 유계 (bounded)다"는 것이 동치라는 정리이다. 이 정리는 컴팩트함을 아주 손쉽게 판단할 수 있는 기준으로, 원래의 그 복잡한 정의를 잠시 잊어도 되게 하는 편리함이 있다. 이는 중요한 정리로, 유클리드 공간에서의 컴팩트 집합의 직관을 만드는 데에 도움을 주기도 한다. 예를 들자면 열린 구간 <math>(0,1)</math>의 경우 <math>\bigcup_{n=1}^{\infty} ({1 \over n}, 1)=(0,1)</math>이 되므로 열린 덮개이지만 유한 부분 덮개를 고르면 <math>(0,1)</math>를 덮지 못하므로<ref>덮개가 유한 개니까 가장 n이 클 때를 고를 수 있고, 1/n은 그 유한 부분덮개가 덮지 못한다.</ref> <math>(0,1)</math>은 컴팩트가 아니다. 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț