위상공간

위상공간(topological space)은 위상이 정의된 공간(과 그 위상의 순서쌍)을 말한다. 위상공간에서는 근방만이 정의되어 있을뿐, 거리의 개념은 주어져 있지 않다.

정의

다음의 세 조건을 만족하는 집합족 [math]\displaystyle{ \mathcal T }[/math]을 위상(topology)라 하고 [math]\displaystyle{ (X,\mathcal{T}) }[/math]를 위상공간이라 한다:

• [math]\displaystyle{ \emptyset , X \in \mathcal{T} }[/math]
• 임의의 [math]\displaystyle{ i \in J }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ G_i \in \mathcal{T} }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \bigcup_{i \in J} G_i \in \mathcal{T} }[/math]이다. 즉, [math]\displaystyle{ \mathcal{T} }[/math]의 원소들의 합집합이 [math]\displaystyle{ \mathcal{T} }[/math]에 속한다. 합한 원소들이 유한, 가산일 필요는 없다.
• [math]\displaystyle{ i=1, 2, \cdots, n }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ G_i \in \mathcal{T} }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \bigcap_{i=1}^{n} G_{i} \in \mathcal{T} }[/math]이다. 즉, [math]\displaystyle{ \mathcal{T} }[/math]의 원소들의 유한 교집합이 [math]\displaystyle{ \mathcal{T} }[/math]에 속한다.

위상은 위상공간 [math]\displaystyle{ X }[/math]의 부분집합의 위 조건을 만족하는 집합족이며 위상의 원소들을 열린 집합, 열린 집합의 여집합을 닫힌 집합이라 정의한다. 또한 [math]\displaystyle{ X }[/math]의 임의의 원소 [math]\displaystyle{ x }[/math]에 대하여, [math]\displaystyle{ x }[/math]의 근방을 [math]\displaystyle{ x }[/math]를 포함하는 임의의 열린 집합으로 정의한다. 또한 집합 [math]\displaystyle{ U }[/math]의 폐포는 [math]\displaystyle{ U }[/math]와 서로소(disjoint)인 모든 열린 집합의 여집합의 교집합으로 정의되며(동치:U를 포함하는 닫힌 집합들의 교집합으로 정의), 내부(interior)는 [math]\displaystyle{ U }[/math]의 모든 부분 열린 집합의 합집합으로 정의된다. 물론, 보통의 경우에는 열린 집합을 이용하여 정의한다.

위와 같이 열린 집합(또는 근방, 닫힌 집합, 폐포, 내부)이 무엇인지 정의하지 않으면 나머지는 그를 이용하여 정의할 수 있다. 나머지를 이용한 다른 (위와 동치인) 정의는 다음 단락에 서술한다.

[math]\displaystyle{ \mathcal{T} }[/math]는 경우에 따라 관심 대상이 아닌 경우도 있다. 이때는 위상을 생략하여 [math]\displaystyle{ X }[/math]로만 나타낸다.

위상의 종류

• 실수 집합이나 유클리드 공간 위에서 개구간과 그 합집합만을 포함하는 위상을 보통위상(usual topology) 또는 표준위상(standard topology)이라 한다.
• 집합 [math]\displaystyle{ X }[/math]의 멱집합 [math]\displaystyle{ \mathcal P(X) }[/math]의 원소를 모두 열린 집합으로 보는 위상을 이산위상(discrete topology)라 한다.
• 공집합과 [math]\displaystyle{ X }[/math] 두 개만을 열린 집합으로 정의하는 위상을 비이산위상(indiscrete topology) 혹은 자명한 위상(trivial topology)라 한다.
• 위상 [math]\displaystyle{ \mathcal{T}= \left\{ U \subset X | X \setminus U \right\} \cup \left\{ \emptyset \right\} }[/math]에 대하여 [math]\displaystyle{ X \setminus U }[/math]가 유한집합이면 여유한위상(cofinite topology, finite complement topology), 가산집합이면 여가산위상(cocountable topology, countable complement topology)라 한다. 즉 여유한위상은 여집합이 유한집합이면 열린 집합, 여가산위상은 가산집합이면 열린 집합이라 정의하는 것이다.

위상의 비교

[math]\displaystyle{ X }[/math]의 두 위상 [math]\displaystyle{ \mathcal T, \mathcal T' }[/math]에 대하여, [math]\displaystyle{ \mathcal T \subseteq \mathcal T' }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \mathcal T }[/math]가 [math]\displaystyle{ \mathcal T' }[/math]보다 더 섬세(finer)하며, [math]\displaystyle{ \mathcal T' }[/math]가 [math]\displaystyle{ \mathcal T }[/math]보다 더 엉성(coarser)하다고 한다. 어떤 위상이 더 섬세한지 엉성한지 알 수 있을 때 두 위상이 비교가능(comparable)하다고 한다.