우산 정리

개요

삼각형과 그 외접원에 관한 정리 중 하나. 곱하는 선분의 모양이 마치 우산처럼 생겨서 우산 정리라 부른다. 사실 한국에서만 존재하는 정리로, 다른 나라에서는 이 정리를 부르는 특별한 이름은 없다.

정리

내각의 이등분선	이등변삼각형	[math]\displaystyle{ \overline{AE} }[/math]가 지름, [math]\displaystyle{ \overline{AD} }[/math]는 수선

증명

내각의 이등분선일 경우

[math]\displaystyle{ \angle{BAD}=\angle{EAC} }[/math](내각의 이등분), [math]\displaystyle{ \angle{ABD}=\angle{AEC} }[/math](호 [math]\displaystyle{ \overarc{AC} }[/math]에 대한 원주각)이므로 [math]\displaystyle{ \triangle{ABD}\sim\triangle{AEC} }[/math]이다. 따라서 [math]\displaystyle{ \overline{AB}:\overline{AD}=\overline{AE}:\overline{AC} }[/math]이고, 이는 곧, [math]\displaystyle{ \overline{AB}\cdot\overline{AC}=\overline{AD}\cdot\overline{AE} }[/math]이다.

이등변삼각형일 경우

[math]\displaystyle{ \angle{ABC}=\angle{ACB}=\angle{BEA} }[/math](이등변삼각형과 원주각의 성질), [math]\displaystyle{ \angle{BAE} }[/math] 공통 이므로 [math]\displaystyle{ \triangle{ABD}\sim\triangle{AEB} }[/math] (AA 닮음). 따라서 [math]\displaystyle{ \overline{AB}:\overline{AE}=\overline{AD}:\overline{AB} }[/math]이고, 곧 [math]\displaystyle{ \overline{AD}\cdot\overline{AE}=\overline{AB}^2=\overline{AB}\cdot\overline{AC} }[/math]이다.

지름과 수선의 경우

[math]\displaystyle{ \overline{AE} }[/math]가 지름이므로, [math]\displaystyle{ \angle{ABE}=90^\circ }[/math]이다. 또한, [math]\displaystyle{ \angle{ACD}=\angle{AEB} }[/math](원주각)이므로, [math]\displaystyle{ \triangle{ADC}\sim\triangle{ABE} }[/math] (AA 닮음). 따라서 [math]\displaystyle{ \overline{AD}:\overline{AB}=\overline{AC}:\overline{AE} }[/math]이고, 곧 [math]\displaystyle{ \overline{AB}\cdot\overline{AC}=\overline{AD}\cdot\overline{AE} }[/math]이다.

기타

세 경우 중 내각의 이등분선의 경우엔 [math]\displaystyle{ \angle{EBC}=\angle{EAC}=\angle{EAB}=\angle{ECB} }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ \triangle{EBC} }[/math]는 이등변삼각형이 된다. 따라서 [math]\displaystyle{ \overline{EB}=\overline{EC} }[/math]. 이제 [math]\displaystyle{ \triangle{EBC} }[/math]에서 우산 정리를 쓰면, [math]\displaystyle{ \overline{EB}\cdot\overline{EC}=\overline{ED}\cdot\overline{EA} }[/math]가 되고, 따라서 [math]\displaystyle{ \overline{EB}^2=\overline{ED}\cdot\overline{EA}=\overline{EC}^2 }[/math]가 된다. 이는 곧 할선과 접선에 대한 방멱의 정리가 성립함을 의미하고, [math]\displaystyle{ \triangle{ABD},\,\triangle{ACD} }[/math]의 외접원을 각각 그렸을 때, [math]\displaystyle{ \overline{EB},\,\overline{EC} }[/math]가 각 외접원의 접선이 됨을 알 수 있다. 이걸 자세하게 설명하는 이유는 바로 이 정리가 반전 기하의 토대가 되기 때문이다. 또한 [math]\displaystyle{ \triangle{ABD}\sim\triangle{CED} }[/math]를 유도 가능한데, 여기에서는 두 현에 대한 방멱의 정리가 나온다.

관련 항목

• 삼각형
• 각의 이등분선 정리