연쇄법칙 편집하기

'''연쇄법칙'''(Chain Rule)은 [[합성함수]]의 [[도함수]]에 관한 법칙이다. 

== 설명 ==
두 미분가능한 함수 <math>f(x), g(x)</math>의 합성함수<math>(f \circ g)(x) = f(g(x))</math>가 존재할 때 도함수를 구하는 법칙이다. 여기서 더 정확히 보면 함수 <math>g(x)</math>가 <math>x=c_0</math>에서 미분가능하고, 함수 <math>f(x)</math>가 <math>x=g( x_0 )</math>에서 미분가능하다고 할 때 합성함수의 도함수는 다음과 같이 유도할 수 있다.
:<math>(f \circ g)'(x_0 ) = f'(g(x_0)) \cdot g'(x_0) </math>

여기서 <math>y = f(u) , u =g(x)</math>일 때 라이프니츠 표기법을 이용해서 표시하면 다음과 같이 정의할 수 있다.
:<math>\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} </math>

=== 다변수 함수에서 정의 ===
다변수 집합 <math>X = (x_1 , x_2 , \cdots , x_n), U = (u_1 , u_2 , \cdots , u_r ) , Y = (y_1, y_2, \cdots , y_m) </math>과 다변수 사상 <math>F: U  \rightarrow Y, G: X \rightarrow U</math>에 대해 점 <math>\mathbf{a}</math>에서 <math>(F \circ G): X \rightarrow Y</math>에서의 다변수 사상의 미분은 다음과 같이 유도된다.
:<math>D(f \circ g) (\mathbf{a}) = Df(g(\mathbf{a})) D g(\mathbf{a})</math>

=== 파 디 브루노의 정리 ===
{{본문|파 디 브루노의 정리}} 
함수의 합성의 [[고계 도함수]]에 대한 다음과 같은 공식이 성립하며, 이를 '''파 디 브루노 공식'''({{영어|Faà di Bruno's formula}})이라고 한다.
:<math>(f\circ g)^{(n)}(x)=\sum_{k_1,\dots,k_n\ge0}^{k_1+2k_2+\cdots nk_n=n}\frac{n!}{k_1!\cdots k_n!}f^{(k_1+\cdots+k_n)}(g(x))\prod_{m=1}^n\left(\frac{g^{(m)}(x)}{m!}\right)^{k_m}</math>

== 증명 ==
=== 일변수 함수일 경우 증명 ===
이 정리를 증명하기 위해서는 다음과 같은 보조정리를 우선 증명해야 한다. 
;보조정리
:함수 <math>y = f(x)</math>가 x에서 미분가능할 때 x 주변의 값에 대해서 y의 변화량 <math>\Delta y</math>는 x의 변화량 <math>\Delta x</math>와 적당한 변량 <math>\epsilon</math>를 이용해서 다음과 같이 표현 가능하다:
:<math> \Delta y = f'(x) \Delta x + \epsilon \Delta x</math> 
:여기서 <math>\Delta x \rightarrow 0</math>이면 <math>\epsilon \rightarrow 0</math>이다.
;증명
:<math>\epsilon = 
\begin{cases} 
{\frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} - f'(x) } & {\Delta x \neq 0}
\\ 0 & {\Delta x =0 }  
\end{cases}</math>
:그런데 <math>\Delta y = f(x+ \Delta x) - f(x)</math>이므로 <math>\Delta y = \epsilon \Delta x + f'(x) \Delta x</math>이다. 또한 <math>\Delta y = 0 if \Delta x =0 </math>이므로 이 값은 <math>\Delta x</math>와 무관하게 성립한다. 
:마지막으로 미분가능의 정의를 이용해면 <math>\lim_{\Delta x \rightarrow 0 } \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} - f'(x) = 0 </math> 을 유도할 수 있다. 

이제 이 보조정리를 이용해서 <math>u = g(x)</math>라고 놓으면 <math>\Delta(u) = g'(x) \Delta x + \epsilon_1 \Delta x</math>라고 놓을 수 있으며, 마찬가지로 <math>y = f(u)</math>인 것을 이용해서 <math>\Delta y = f'(u) \Delta u + \epsilon_2 \Delta u </math>임을 이용할 수 있다. 여기서 <math>\epsilon_1 , \epsilon_2</math>는 각각 <math>\Delta x</math>가 0으로 갈 때 0으로 수렴한다. 이 식을 이용해서
:<math>\Delta y = [f'(u) + \epsilon_2][g'(x) + \epsilon_1 ] \Delta x</math> 다시 말해 <math>\frac{\Delta y}{\Delta x} = (f'(u)+\epsilon_2)(g'(x) + \epsilon_1)</math>로 놓을 수 있다. 그런데 <math>\Delta x</math>가 0으로 수렴할 때 <math>\epsilon_1, \epsilon_2</math>는 각각 0으로 수렴하므로 결과적으로
:<math>\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = f'(u)g'(x) = f'(g(x))g'(x)</math>로 수렴하는 것을 알 수 있다.

[[분류:미적분학]][[분류:수학 정리]]