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하나 존재한다. #:고정값 정리로 알려진 정리. 증명은 다음과 같다. #:만약 <math>f\left(a\right)=a</math>이거나 <math>f\left(b\right)=b</math>이면 명제는 당연히 성립한다. 따라서, <math>f\left(a\right)> a,\,f\left(b\right)< b</math>로 가정하자. <math>g\left(x\right):=f\left(x\right)-x</math>로 정의하자. 그럼, <math>g</math>는 <math>\left[a,b\right]</math>에서 연속이다. 한편, <math>g\left(a\right)=f\left(a\right)-a>0</math>이고 <math>g\left(b\right)=f\left(b\right)-b<0</math>이므로, [[중간값 정리]]에 의해 <math>g\left(x_0\right)=0</math>을 만족하는 <math>x_0</math>가 존재한다. 따라서, <math>f\left(x_0\right)=x_0</math>. #<math>f</math>가 <math>\left[a,b\right]</math>에서 연속인 [[단사함수]](injective function=injection)라면, <math>f</math>는 그 구간에서 강단조 함수이다. #:<math>f\left(a\right)< f\left(b\right)</math>라 먼저 가정하자. 만약 <math>f</math>가 강증가 함수가 아니라면, 적당한 <math>x_1,\,x_2\in\left[a,b\right]</math>가 존재하여, <math>x_1< x_2</math>이고 <math>f\left(x_1\right)\geq f\left(x_2\right)</math>을 만족한다. 만약 등호가 성립하면 <math>f</math>가 단사함수라는 가정에 모순이므로, <math>f\left(x_1\right)> f\left(x_2\right)</math>이다. 그럼 두 가지 가능성을 생가할 수 있다. ##<math>f\left(x_1\right)> f\left(b\right)</math>: <math>k\in\left(f\left(b\right),f\left(x_1\right)\right)</math>인 <math>k</math>를 고른다. 그럼, [[중간값 정리]]에 의해 적당한 <math>c_1\in\left(a,x_1\right)</math>이 존재하여 <math>f\left(c_1\right)=k</math>이고, <math>c_2\in\left(x_1,b\right)</math>가 존재하여 <math>f\left(c_2\right)=k</math>이다. 그런데 <math>c_1\neq c_2</math>이므로, 이는 <math>f</math>가 단사함수라는 조건에 모순이다. ##<math>f\left(x_1\right)< f\left(b\right)</math>: 그럼, <math>f\left(x_2\right)< f\left(b\right)</math>이다. <math>k\in\left(f\left(x_2\right),f\left(x_1\right)\right)</math>인 <math>k</math>를 고른다. 그럼, <math>k\in\left(f\left(x_2\right),f\left(b\right)\right)</math>임은 자명하다. 다시 [[중간값 정리]]에 의해, 적당한 <math>c_1\in\left(x_1,x_2\right)</math>이 존재하여 <math>f\left(c_1\right)=k</math>이고, <math>c_2\in\left(x_2,b\right)</math>이 존재하여 <math>f\left(c_2\right)=k</math>이다. 그런데 <math>c_1\neq c_2</math>이므로, 이는 <math>f</math>가 단사함수라는 조건에 모순이다. #:따라서, <math>f</math>는 강증가 함수이다. 만약 <math>f\left(a\right)> f\left(b\right)</math>라면, 같은 증명을 <math>-f</math>에 적용하면 된다. #<math>f</math>가 <math>\left[a,b\right]</math>에서 연속인 [[단사함수]]라면, <math>f^{-1}</math>도 <math>\left[m,M\right]</math>에서 연속이다. 여기서, <math>M=\sup f\left(x\right),\,m=\inf f\left(x\right)</math>이다. #:[[최대 최소의 정리]], [[중간값 정리]]에 의해, <math>f</math>의 치역은 <math>\left[m,M\right]</math>이다. 또한, <math>f</math>가 단사함수이므로 <math>f^{-1}:\left[m,M\right]\to\left[a,b\right]</math>은 잘 정의된다. 이제, <math>y_0</math>을 구간 <math>\left[m,M\right]</math> 내의 임의의 원소라 가정하자. <math>f^{-1}</math>가 <math>y_0</math>에서 연속임을 보이면 충분하다. <math>\left\{y_n\right\}\subseteq\left[m,M\right]</math>가 <math>y_0</math>로 수렴하는 임의의 수열이라 가정하자. 그럼, <math>f^{-1}\left(y_n\right)\to f^{-1}\left(y_0\right)</math>임을 증명해도 된다. <math>x_0=f^{-1}\left(y_0\right),\,x_n=f^{-1}\left(y_n\right)</math>이라 정의하고, <math>x_n\not\to x_0</math>라 가정하자. 그럼, 적당한 <math>\varepsilon>0</math>에 대해, <math>\left|x_n-x_0\right|\geq\varepsilon</math>을 만족하는 [[자연수]] <math>n</math>이 무수히 많이 존재한다. 여기서, <math>\left\{x^*_n\right\}</math>을 모든 자연수 <math>n</math>에 대해 <math>\left|x^*_n-x_0\right|\geq\varepsilon</math>을 만족하는 <math>\left\{x_n\right\}</math>의 [[부분수열]]이라 가정하자. 그럼, 이 부분수열은 [[유계]]이므로, [[볼차노-바이어슈트라스 정리]]에 의해 수렴하는 부분수열이 존재한다. 이 부분수열을 <math>\left\{\hat{x_n}\right\}</math>라 가정하고, 수렴값을 <math>c</math>라 하자. 그럼, 모든 자연수 <math>n</math>에 대해 <math>\left|\hat{x_n}-x_0\right|\geq\varepsilon</math>이고, <math>\hat{x_n}\to c\in\left[a,b\right]</math>이다. 분명히, <math>c\neq x_0</math>이다. <math>f</math>는 <math>c</math>에서 연속이므로, <math>f\left(\hat{x_n}\right)\to f\left(c\right)</math>이 성립한다. 그런데, <math>\left\{f\left(\hat{x_n}\right)\right\}</math>은 <math>\left\{f\left(x_n\right)\right\}=\left\{y_n\right\}</math>의 부분수열이고, <math>y_n\to y_0=f\left(x_0\right)</math>이므로, <math>f\left(c\right)=f\left(x_0\right)</math>이다. 그런데 이는 <math>f</math>가 단사함수라는 조건에 모순이므로, <math>x_n\to x_0</math>이어야만 한다. 따라서, <math>f^{-1}\left(y_n\right)\to f^{-1}\left(y_0\right)</math>. 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 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