편집토론기록

여가산위상

집합 [math]\displaystyle{ X }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \mathcal{T}\subset \mathcal{P}(X) }[/math]를

[math]\displaystyle{ \mathcal{T}=\{\emptyset\}\cup \{O\subset X\mid X\setminus O\text{ is countable}\} }[/math]

로 정의하면 [math]\displaystyle{ (X,\mathcal{T}) }[/math]는 위상공간이다. 이때 [math]\displaystyle{ \mathcal{T} }[/math]를 여가산위상(countable complement topology, cocountable topology)이라고 한다.

성질[편집 | 원본 편집]

[math]\displaystyle{ X }[/math]를 여가산위상이 부여된 위상공간이라고 하자.

  • [math]\displaystyle{ X }[/math]가 가산집합이면 이산공간이다.
  • [math]\displaystyle{ A(\subset X) }[/math]의 유도집합은 [math]\displaystyle{ A'=\begin{cases}\emptyset,& A\text{ is countable}\\ X,& A\text{ is uncountable}\end{cases} }[/math]이다.
Proof
  • [math]\displaystyle{ A }[/math]가 가산집합인 경우: 임의의 [math]\displaystyle{ x\in X }[/math]와 [math]\displaystyle{ x }[/math]를 포함하는 열린집합 [math]\displaystyle{ O_x }[/math]를 고르자. 그러면 [math]\displaystyle{ X\setminus O_x }[/math]는 가산집합이고 따라서 [math]\displaystyle{ X\setminus (O_x \setminus \{x\}) }[/math]도 가산집합이다. [math]\displaystyle{ X\setminus (O_x \setminus \{x\}) }[/math]가 [math]\displaystyle{ A }[/math]의 원소를 가지지 않는다고 가정하면 [math]\displaystyle{ (O_x \setminus \{x\})\subset X\setminus A }[/math]이어서 [math]\displaystyle{ A\subset X\setminus (O_x \setminus \{x\}) }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ A }[/math]가 가산집합이 되어 모순이 발생한다. 따라서 [math]\displaystyle{ O_x \setminus \{x\} }[/math]는 [math]\displaystyle{ A }[/math]의 원소를 가진다. 즉, [math]\displaystyle{ x }[/math]는 [math]\displaystyle{ A }[/math]의 집적점이다.
  • [math]\displaystyle{ A }[/math]가 비가산집합인 경우: 임의의 [math]\displaystyle{ x\in X }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ O=(X\setminus A)\cup \{x\} }[/math]로 정의하면 [math]\displaystyle{ O }[/math]가 열린집합임을 알 수 있다. 그러나 [math]\displaystyle{ (O\setminus \{x\})\cap A \subset (X\setminus A)\cap A=\emptyset }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ x\not\in A' }[/math]이다.
  • [math]\displaystyle{ A(\subset X) }[/math]의 폐포는 [math]\displaystyle{ \overline{A}=\begin{cases}A,& A\text{ is countable}\\ X,& A\text{ is uncountable}\end{cases} }[/math]이다.
Proof
[math]\displaystyle{ \overline{A}=A\cup A' }[/math]으로부터 원하는 결과를 얻는다.
Proof
[math]\displaystyle{ X }[/math]의 가산부분집합 [math]\displaystyle{ A }[/math]를 고르면 [math]\displaystyle{ \overline{A}=A\ne X }[/math]이다.
  • [math]\displaystyle{ X }[/math]가 비가산집합이면 제1가산공간이 아니다.
  • [math]\displaystyle{ (a_n) }[/math]을 [math]\displaystyle{ X }[/math] 위의 점열이라고 하자. [math]\displaystyle{ (a_n) }[/math]이 수렴하면 자연수 [math]\displaystyle{ N }[/math]이 존재해 임의의 [math]\displaystyle{ n\in\mathbb{N} }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ n\ge N }[/math]이면 [math]\displaystyle{ a_n = a_N }[/math]이다.
  • [math]\displaystyle{ X }[/math] 위의 수렴하는 수열의 극한값은 유일하다.
  • [math]\displaystyle{ X }[/math]가 연결공간일 필요충분조건은 [math]\displaystyle{ X }[/math]가 비가산집합이거나 한원소집합인 것이다.
  • [math]\displaystyle{ X }[/math]가 콤팩트공간일 필요충분조건은 [math]\displaystyle{ X }[/math]가 유한집합인 것이다.
  • [math]\displaystyle{ X }[/math]가 가산콤팩트공간일 필요충분조건은 [math]\displaystyle{ X }[/math]가 유한집합인 것이다.
  • [math]\displaystyle{ X }[/math]는 린델뢰프 공간이다.
  • [math]\displaystyle{ X }[/math]는 T1 공간이다.
  • [math]\displaystyle{ X }[/math]가 T2 공간일 필요충분조건은 [math]\displaystyle{ X }[/math]가 가산집합인 것이다.

같이 보기[편집 | 원본 편집]