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<math>X</math>를 여가산위상이 부여된 위상공간이라고 하자. | <math>X</math>를 여가산위상이 부여된 위상공간이라고 하자. | ||
* <math>X</math>가 가산집합이면 [[이산공간]]이다. | |||
* <math>A(\subset X)</math>의 [[유도집합]]은 <math>A'=\begin{cases}\emptyset,& A\text{ is countable}\\ X,& A\text{ is uncountable}\end{cases}</math>이다. | * <math>A(\subset X)</math>의 [[유도집합]]은 <math>A'=\begin{cases}\emptyset,& A\text{ is countable}\\ X,& A\text{ is uncountable}\end{cases}</math>이다. | ||
{{숨기기|Proof| | |||
* <math>A</math>가 가산집합인 경우: 임의의 <math>x\in X</math>와 <math>x</math>를 포함하는 열린집합 <math>O_x</math>를 고르자. 그러면 <math>X\setminus O_x</math>는 가산집합이고 따라서 <math>X\setminus (O_x \setminus \{x\})</math>도 가산집합이다. <math>X\setminus (O_x \setminus \{x\})</math>가 <math>A</math>의 원소를 가지지 않는다고 가정하면 <math>(O_x \setminus \{x\})\subset X\setminus A</math>이어서 <math>A\subset X\setminus (O_x \setminus \{x\})</math>이므로 <math>A</math>가 가산집합이 되어 모순이 발생한다. 따라서 <math>O_x \setminus \{x\}</math>는 <math>A</math>의 원소를 가진다. 즉, <math>x</math>는 <math>A</math>의 [[집적점]]이다. | |||
* <math>A</math>가 비가산집합인 경우: 임의의 <math>x\in X</math>에 대해 <math>O=(X\setminus A)\cup \{x\}</math>로 정의하면 <math>O</math>가 열린집합임을 알 수 있다. 그러나 <math>(O\setminus \{x\})\cap A \subset (X\setminus A)\cap A=\emptyset</math>이므로 <math>x\not\in A'</math>이다.}} | |||
* <math>A(\subset X)</math>의 [[폐포 (수학)|폐포]]는 <math>\overline{A}=\begin{cases}A,& A\text{ is countable}\\ X,& A\text{ is uncountable}\end{cases}</math>이다. | * <math>A(\subset X)</math>의 [[폐포 (수학)|폐포]]는 <math>\overline{A}=\begin{cases}A,& A\text{ is countable}\\ X,& A\text{ is uncountable}\end{cases}</math>이다. | ||
{{숨기기|Proof|<math>\overline{A}=A\cup A'</math>으로부터 원하는 결과를 얻는다.}} | |||
* <math>X</math>가 [[비가산집합]]이면 [[분리가능 공간]]이 아니다. | * <math>X</math>가 [[비가산집합]]이면 [[분리가능 공간]]이 아니다. | ||
{{숨기기|Proof|<math>X</math>의 가산부분집합 <math>A</math>를 고르면 <math>\overline{A}=A\ne X</math>이다.}} | |||
* <math>X</math>가 비가산집합이면 [[제1가산공간]]이 아니다. | * <math>X</math>가 비가산집합이면 [[제1가산공간]]이 아니다. | ||
* <math>(a_n)</math>을 <math>X</math> 위의 점열이라고 하자. <math>(a_n)</math>이 수렴하면 자연수 <math>N</math>이 존재해 임의의 <math>n\in\mathbb{N}</math>에 대해 <math>n\ge N</math>이면 <math>a_n = a_N</math>이다. | * <math>(a_n)</math>을 <math>X</math> 위의 점열이라고 하자. <math>(a_n)</math>이 수렴하면 자연수 <math>N</math>이 존재해 임의의 <math>n\in\mathbb{N}</math>에 대해 <math>n\ge N</math>이면 <math>a_n = a_N</math>이다. |
2019년 2월 24일 (일) 08:56 기준 최신판
집합 [math]\displaystyle{ X }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \mathcal{T}\subset \mathcal{P}(X) }[/math]를
- [math]\displaystyle{ \mathcal{T}=\{\emptyset\}\cup \{O\subset X\mid X\setminus O\text{ is countable}\} }[/math]
로 정의하면 [math]\displaystyle{ (X,\mathcal{T}) }[/math]는 위상공간이다. 이때 [math]\displaystyle{ \mathcal{T} }[/math]를 여가산위상(countable complement topology, cocountable topology)이라고 한다.
성질[편집 | 원본 편집]
[math]\displaystyle{ X }[/math]를 여가산위상이 부여된 위상공간이라고 하자.
- [math]\displaystyle{ X }[/math]가 가산집합이면 이산공간이다.
- [math]\displaystyle{ A(\subset X) }[/math]의 유도집합은 [math]\displaystyle{ A'=\begin{cases}\emptyset,& A\text{ is countable}\\ X,& A\text{ is uncountable}\end{cases} }[/math]이다.
Proof
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- [math]\displaystyle{ A(\subset X) }[/math]의 폐포는 [math]\displaystyle{ \overline{A}=\begin{cases}A,& A\text{ is countable}\\ X,& A\text{ is uncountable}\end{cases} }[/math]이다.
Proof [math]\displaystyle{ \overline{A}=A\cup A' }[/math]으로부터 원하는 결과를 얻는다. |
Proof [math]\displaystyle{ X }[/math]의 가산부분집합 [math]\displaystyle{ A }[/math]를 고르면 [math]\displaystyle{ \overline{A}=A\ne X }[/math]이다. |
- [math]\displaystyle{ X }[/math]가 비가산집합이면 제1가산공간이 아니다.
- [math]\displaystyle{ (a_n) }[/math]을 [math]\displaystyle{ X }[/math] 위의 점열이라고 하자. [math]\displaystyle{ (a_n) }[/math]이 수렴하면 자연수 [math]\displaystyle{ N }[/math]이 존재해 임의의 [math]\displaystyle{ n\in\mathbb{N} }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ n\ge N }[/math]이면 [math]\displaystyle{ a_n = a_N }[/math]이다.
- [math]\displaystyle{ X }[/math] 위의 수렴하는 수열의 극한값은 유일하다.
- [math]\displaystyle{ X }[/math]가 연결공간일 필요충분조건은 [math]\displaystyle{ X }[/math]가 비가산집합이거나 한원소집합인 것이다.
- [math]\displaystyle{ X }[/math]가 콤팩트공간일 필요충분조건은 [math]\displaystyle{ X }[/math]가 유한집합인 것이다.
- [math]\displaystyle{ X }[/math]가 가산콤팩트공간일 필요충분조건은 [math]\displaystyle{ X }[/math]가 유한집합인 것이다.
- [math]\displaystyle{ X }[/math]는 린델뢰프 공간이다.
- [math]\displaystyle{ X }[/math]는 T1 공간이다.
- [math]\displaystyle{ X }[/math]가 T2 공간일 필요충분조건은 [math]\displaystyle{ X }[/math]가 가산집합인 것이다.