로그인하고 있지 않습니다. 편집하면 당신의 IP 주소가 공개적으로 기록됩니다. 계정을 만들고 로그인하면 편집 시 사용자 이름만 보이며, 위키 이용에 여러 가지 편의가 주어집니다.스팸 방지 검사입니다. 이것을 입력하지 마세요!집합 <math>X</math>에 대해 <math>\mathcal{T}\subset \mathcal{P}(X)</math>를 : <math>\mathcal{T}=\{\emptyset\}\cup \{O\subset X\mid X\setminus O\text{ is countable}\}</math> 로 정의하면 <math>(X,\mathcal{T})</math>는 위상공간이다. 이때 <math>\mathcal{T}</math>를 '''여가산위상(countable complement topology, cocountable topology)'''이라고 한다. == 성질 == <math>X</math>를 여가산위상이 부여된 위상공간이라고 하자. * <math>X</math>가 가산집합이면 [[이산공간]]이다. * <math>A(\subset X)</math>의 [[유도집합]]은 <math>A'=\begin{cases}\emptyset,& A\text{ is countable}\\ X,& A\text{ is uncountable}\end{cases}</math>이다. {{숨기기|Proof| * <math>A</math>가 가산집합인 경우: 임의의 <math>x\in X</math>와 <math>x</math>를 포함하는 열린집합 <math>O_x</math>를 고르자. 그러면 <math>X\setminus O_x</math>는 가산집합이고 따라서 <math>X\setminus (O_x \setminus \{x\})</math>도 가산집합이다. <math>X\setminus (O_x \setminus \{x\})</math>가 <math>A</math>의 원소를 가지지 않는다고 가정하면 <math>(O_x \setminus \{x\})\subset X\setminus A</math>이어서 <math>A\subset X\setminus (O_x \setminus \{x\})</math>이므로 <math>A</math>가 가산집합이 되어 모순이 발생한다. 따라서 <math>O_x \setminus \{x\}</math>는 <math>A</math>의 원소를 가진다. 즉, <math>x</math>는 <math>A</math>의 [[집적점]]이다. * <math>A</math>가 비가산집합인 경우: 임의의 <math>x\in X</math>에 대해 <math>O=(X\setminus A)\cup \{x\}</math>로 정의하면 <math>O</math>가 열린집합임을 알 수 있다. 그러나 <math>(O\setminus \{x\})\cap A \subset (X\setminus A)\cap A=\emptyset</math>이므로 <math>x\not\in A'</math>이다.}} * <math>A(\subset X)</math>의 [[폐포 (수학)|폐포]]는 <math>\overline{A}=\begin{cases}A,& A\text{ is countable}\\ X,& A\text{ is uncountable}\end{cases}</math>이다. {{숨기기|Proof|<math>\overline{A}=A\cup A'</math>으로부터 원하는 결과를 얻는다.}} * <math>X</math>가 [[비가산집합]]이면 [[분리가능 공간]]이 아니다. {{숨기기|Proof|<math>X</math>의 가산부분집합 <math>A</math>를 고르면 <math>\overline{A}=A\ne X</math>이다.}} * <math>X</math>가 비가산집합이면 [[제1가산공간]]이 아니다. * <math>(a_n)</math>을 <math>X</math> 위의 점열이라고 하자. <math>(a_n)</math>이 수렴하면 자연수 <math>N</math>이 존재해 임의의 <math>n\in\mathbb{N}</math>에 대해 <math>n\ge N</math>이면 <math>a_n = a_N</math>이다. * <math>X</math> 위의 수렴하는 수열의 극한값은 유일하다. * <math>X</math>가 [[연결공간]]일 필요충분조건은 <math>X</math>가 비가산집합이거나 한원소집합인 것이다. * <math>X</math>가 [[콤팩트공간]]일 필요충분조건은 <math>X</math>가 유한집합인 것이다. * <math>X</math>가 [[가산콤팩트공간]]일 필요충분조건은 <math>X</math>가 유한집합인 것이다. * <math>X</math>는 [[린델뢰프 공간]]이다. * <math>X</math>는 [[T1 공간|T<sub>1</sub> 공간]]이다. * <math>X</math>가 [[T2 공간|T<sub>2</sub> 공간]]일 필요충분조건은 <math>X</math>가 가산집합인 것이다. == 같이 보기 == * [[여유한위상]] [[분류:위상공간]] 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț 이 문서에서 사용한 틀: 틀:글 숨김 (원본 보기) (준보호됨)틀:글 숨김 끝 (원본 보기) (준보호됨)틀:글 숨김 시작 (원본 보기) (준보호됨)틀:숨기기 (원본 보기) (준보호됨)