정의
정사각행렬 [math]\displaystyle{ A\in M_n(\mathbb{C}) }[/math]에 대해
- [math]\displaystyle{ A^\dagger=A }[/math]
이면 [math]\displaystyle{ A }[/math]를 에르미트행렬(Hermitian matrix), 또는 자기수반행렬(self-adjoint matrix)이라고 한다. 이때 [math]\displaystyle{ A^\dagger }[/math]는 [math]\displaystyle{ A }[/math]의 켤레전치이다.
즉, 에르미트행렬은 전치행렬의 복소수 버전이라고 볼 수 있다.
예시
- [math]\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1 & 1-2i\\ 1+2i & 2 \end{bmatrix} }[/math]
성질
특별한 언급이 없으면 [math]\displaystyle{ A }[/math]는 [math]\displaystyle{ M_n(\mathbb{C}) }[/math]의 원소이다.
- [math]\displaystyle{ AA^\dagger }[/math]와 [math]\displaystyle{ A^\dagger A }[/math]는 에르미트행렬이다.
- 에르미트행렬의 대각선 성분은 항상 실수이다.
- 에르미트행렬의 고윳값은 실수이다.
- 에르미트행렬의 서로 다른 고윳값을 [math]\displaystyle{ \lambda_1,\lambda_2 }[/math]라고 하고 [math]\displaystyle{ \mathbf{x},\mathbf{y}\in\mathbb{C}^n }[/math]가 각각 [math]\displaystyle{ \lambda_1 }[/math]과 [math]\displaystyle{ \lambda_2 }[/math]에 연관된 고유벡터라고 하자. 그러면 [math]\displaystyle{ \mathbf{x} }[/math]와 [math]\displaystyle{ \mathbf{y} }[/math]는 직교한다.
- 모든 에르미트행렬은 대각화할 수 있다.
- 모든 에르미트행렬은 정규행렬이다.