시리즈:수포자도 쉽게 알 수 있는 수학/함수

수학이 정말 쉬워서 저 수포자 그만둡니다.

문서의 내용이 너무 쉬워서 머리속에 쏙쏙 들어옵니다.

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수포자도 쉽게 알 수 있는 수학 틀:토막글

함수

방정식을 하나 생각해 보자. 예를들어

[math]\displaystyle{ 2x+1=3 }[/math]

라는 식이 있다면, 이 식을 만족하는 x는 유일하게 1로편집 전에는 3으로 적혀 있었다는 소문이... 정해지며 이를 방정식의 근이라고 부른다.

함수는 이러한 방정식에서 확장된 것이다. 이제 다음과 같은 식을 생각해 보자.

[math]\displaystyle{ 2x+1=y }[/math](보통은 y를 왼편에 둬서 [math]\displaystyle{ y=2x+1 }[/math]의 형태로 쓴다.)

이 식은 x와 y의 두 개의 문자로 이루어져 있다. 여기서 만약에 x에 1을 대입하면 y=3 단 하나로 결정이 되고, x=2를 대입하면 역시 y=5로 유일하게 결정이 된다. 이렇게 x값에 따라서 y값이 유일하게 결정되는 관계를 우리는 함수라고 부르며 x를 독립변수, y를 종속변수라고 부른다.

방정식의 근이 하나 또는 여러 개의 x값으로 나타난다면, 함수를 만족하는 (x,y) 순서쌍은 무수히 많이 존재할 것이다. 이러한 (x,y)들을 좌표평면상에 그림으로 나타낸 것이 바로 함수의 그래프이다. 즉, 방정식->근, 함수->그래프라고 생각하면 된다. 사실 예전에는 집합 개념으로 도입했지만 이걸로 배웠으면 이제 당신도 늙은이

뭔 말인지 모르겠다면 입력을 딱 주면 출력이 딱딱 나오는 건 모두 함수라고 생각해라. 자판기를 떠올려보면 된다(정말 많이 쓰는 비유다). 심지어 프로그래밍에도 함수라는 개념이 나오는데 근본적인 건 같다. 내부 식을 모르더라도 뭔가 딱딱 튀어나오는 거.

초등학교때도 4를 집어넣었더니 7이 돼서 나오고, 5를 집어넣으면 8이 나오는 상자 문제가 나오는데, 이것도 기본적인 함수이다.

초등학교 때 네모 더하기 세모로 배우는 것도 다 방정식이다. 다만 이후 교육과정에서 네모,세모가 x,y로 바뀐 것 뿐이다.

함수의 구조

함수는 두 개의 집합사이의 관계라고 할 수 있다.

함수 [math]\displaystyle{ y = f(x) (x \in X, y \in Y) }[/math]에서 [math]\displaystyle{ X }[/math]를 정의역이라고 하고, [math]\displaystyle{ Y }[/math]를 공역이라고 한다. 함수 [math]\displaystyle{ y = f(x) }[/math]에 의해[math]\displaystyle{ X }[/math]에 속한 모든 원소 [math]\displaystyle{ x }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ Y }[/math]의 원소 [math]\displaystyle{ y }[/math]가 대응하는데, 이때 [math]\displaystyle{ y }[/math]를 함수 [math]\displaystyle{ f }[/math]에 대한 [math]\displaystyle{ x }[/math]의 함숫값이라고 한다. 함수 [math]\displaystyle{ f }[/math]의 모든 함숫값의 집합을 치역이라고 한다. 따라서, 치역은 공역의 부분집합이다.

일차함수

x의 최고차항의 차수가 1인 함수를 말한다. 일차함수의 형태는 크게 두 가지가 있다.

1. 표준형 : [math]\displaystyle{ y=mx+n }[/math]
2. 일반형 : [math]\displaystyle{ ax+by+c=0 }[/math]

사실 일반형의 식에서 by를 우변으로 이항한 후 양변을 '-b'로 나누어 정리하면 표준형의 꼴이 나오므로 사실은 같은 것이다. 다만, 두 가지가 모두 자주 언급되므로 두 가지 방식으로 설명하겠다. 만약에 너무 어려워서 "두 개는 못 외우겠다."라고 생각한다면 첫 번째인 표준형만을 암기하고, 일반형은 이항하여 표준형으로 만들어서 문제를 해결하면 될 것이다.

• 표준형 : [math]\displaystyle{ y=mx+n }[/math]에서 [math]\displaystyle{ m }[/math]은 함수의 기울기, [math]\displaystyle{ n }[/math]은 y절편을 의미한다.
  • 기울기 : 기울기는 함수가 좌표평면 상에서 얼마나 기울어져 있느냐를 알려주는 것으로, m=(y 증가량)/(x 증가량)이다. 만약에 기울기가 m=0이면, 일차함수의 그래프는 x축에 평행하고 m>0이면 위로 올라가는 그래프, m<0이면 아래로 내려가는 그래프를 그린다.
  • y절편 : 그래프가 y축과 만나는 점을 의미한다. 즉, x=0을 대입하였을 때의 y 값이다.
    • 일단 y절편을 먼저 찾은 후 해당하는 기울기에 해당하는 직선을 그리면 된다.

• 일반형 : [math]\displaystyle{ ax+by+c=0 }[/math]
  • 기울기 = [math]\displaystyle{ -\frac{a}{b} }[/math]
  • y절편 = [math]\displaystyle{ -\frac{c}{b} }[/math]
  • x절편 = [math]\displaystyle{ -\frac{c}{a} }[/math]
    • x절편과 y절편을 먼저 찾은 후 두 점을 이어 직선을 그린다.

예제) [math]\displaystyle{ y=x+2 }[/math]의 그래프를 그리시오 sol) y절편을 먼저 찾고 기울기에 맞는 직선을 그린다. 위의 식에서 y절편은 2이고, 기울기는 1이다 그러므로 (0,2)를 기준으로 x축과 45도를 이루는 직선을 그리면 된다.

직선과 직선의 위치관계

좌표평면에서의 직선과 직선의 위치관계는 크게 세 가지가 있다.

1. 만난다. (교차)
   1. 수직으로 만난다.
2. 만나지 않는다. (평행)
3. 일치한다. (일치)

	표준형	일반형
	[math]\displaystyle{ \begin{cases}y=mx+n \\ y=m'x+n'\end{cases} }[/math]	[math]\displaystyle{ \begin{cases}ax+by+c=0 \\ a'x+b'y+c'=0 \end{cases} }[/math]
평행	[math]\displaystyle{ m=m', n\neq n' }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{a'}{a}=\frac{b'}{b}\neq \frac{c'}{c} }[/math]
일치	[math]\displaystyle{ m=m', n= n' }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{a'}{a}=\frac{b'}{b}=\frac{c'}{c} }[/math]
수직	[math]\displaystyle{ mm'=-1 }[/math]	[math]\displaystyle{ aa'+bb'=0 }[/math]

지수와 지수함수

n,m이 실수이고 a>0,b>0일 때 다음이 성립한다.
[math]\displaystyle{ {a}^{n+m}={a}^{n}\times {a}^{m} }[/math]
[math]\displaystyle{ {a}^{n-m}=\frac{{a}^{n}}{{a}^{m}} }[/math]
[math]\displaystyle{ {a}^{nm}={({a}^{m})}^{n} }[/math]
[math]\displaystyle{ {(ab)}^{n}={a}^{n}\times {b}^{n} }[/math]

극한

극한에 들어가기에 앞서 일러두고 싶은 점이 몇 가지 있다.

우선, 극한은 엄밀하게 따지려 하기보다는 직관적으로 받아들이라.

극한에는 무한의 개념이 녹아 있는데, 무한은 유한과는 전혀 다른 세상이라 유한에서 말도 안 되는 일이 무한에서는 당연하다는 듯이 일어나는 경우가 많다. 이에 얕은 지식으로 깊이 들어가려고 하면 여러 부분에서 혼선을 빚게 된다. 이런 문제는 극한의 정의를 배우고 나면 다 해소되는 것들이나, 고등학교에서 극한의 정의를 가르치지 않기 때문에 일어난다. 우리가 고등학교에서 극한의 정의를 배운 적이 전혀 없다는 사실을 상기하기 바란다.

참고로 극한의 정의를 가르치지 않기 때문에 발생하는 대표적인 문제가 바로 0.99…=1이다. 명백히 해 두겠는데, 순순환소수 0.99…는 1과 정확히 같다. 여기에는 이론의 여지가 없다. 그리고 이는 매우 자연스럽다. 뭐 정확히 증명하는 게 어렵다는 둥 온갖 헛소리가 난무하는데, 극한의 정의를 배우고 나서 그 헛소리들을 보면 헛웃음밖에 안 날 것이다. 이것도 순환소수의 개념이 극한과, 즉 무한과 연관되어 있는데 이 사실을 중학교에서는 숨겼기 때문으로, 극한의 정의를 모르는 결과 개념의 혼선이 일어나서 자꾸 헷갈리는 것이지, 극한의 정의부터 엄밀하게 하고 나면 너무나도 자연스럽고 아무 것도 불편한 점이 없음을 금방 알게 된다.

그러나, 극한은 대입이 아니다.

물론 극한의 정의를 모르는 수준에서 극한의 계산은 대입에 의할 수밖에 없다. 예를 들어 [math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} 1/n }[/math]를 구하기 위해서 고등학생은 (무의식 중에) ‘n에 무한대를 대입’하고, ‘무한대 분의 1은 0’이므로 0이라는 식으로 계산할 것이다. 분명히 말해 두는데 여기서 따옴표로 나타낸 개념 둘 다 오류이다.

극한이란 ‘(한없이) 가까이 간다’는 개념에 지나지 않는다. 즉 [math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} 1/n = 0 }[/math]이라고 적는다고 해서, ‘무한대 분의 1은 0’이라고 주장하는 것도 아니고,‘n에 무한대를 대입’하는 것을 허용한 것도 아니다. 다만 ‘n이 무한대를 향해 한없이 가까이 가면’ ‘1/n은 0을 향해 한없이 간다’는 것, 즉 [math]\displaystyle{ 1/n \to 0 \mbox{ as } n \to \infty }[/math]라는 것이다. 이 표기와 [math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} 1/n = 0 }[/math]라는 표기가 다 같은 표현이다. 뒤쪽 표기의 등호가 맘에 안 들면, 앞쪽 표기로 감을 잡기 바란다.

함수의 극한에서는 더욱 분명하다. 예를 들어 [math]\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \tfrac{\sin x}{x} = 1 }[/math]이라고 적는다고 해서 ‘[math]\displaystyle{ \tfrac{\sin 0}{0} = 1 }[/math]’이라고 주장하는 것도 아니고, ‘0으로 나누기’를 허용한 것도 아니다. 다만 ‘x가 0을 향해 한없이 가까이 가면’ ‘[math]\displaystyle{ \tfrac{\sin x}{x} }[/math]는 1을 향해 한없이 간다’는 것, 즉 [math]\displaystyle{ \tfrac{\sin x}{x} \to 1 \mbox{ as } x \to 0 }[/math]라는 것이다.

정리하면 이렇다. 극한은 x가 x₀이 아닐 때의 f(x)의 값으로부터 x가 x₀이었더라면 f(x)가 가졌어야 할 제일 자연스러운 값을 찾는 것이다.

극한의 정의

그렇다면 극한의 정의를 왜 안 가르치고 넘어가는가? 하는 의문이 들 것이다. 궁금한 위키러를 위해 궁금할 마음이 싹 사라지도록 아래에 극한의 정의를 적어접어 두었다. 궁금하면 감상해 보자.

(스포일러 주의) 극한의 정의 히익

수열의 극한(ε‐N 정의라고 한다)

수열 [math]\displaystyle{ \{ a_n \} : \mathbb{N} \to \mathbb{R} }[/math]에 대해,

[math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}{a_n} = L \mbox{ iff } \forall \epsilon \gt 0, \exists N = N(\epsilon) \in \mathbb{N} \mbox{ such that } n \gt N \Rightarrow |a_n - L| \lt \epsilon }[/math].

함수의 극한(ε‐δ 정의라고 한다)

함수 [math]\displaystyle{ f : A \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} }[/math] 및 [math]\displaystyle{ A }[/math]의 극한점(limit point) [math]\displaystyle{ p \in \mathbb{R} }[/math]에 대해,

[math]\displaystyle{ \lim_{x \to p}{f(x)} = L \mbox{ iff } \forall \epsilon \gt 0, \exists \delta = \delta(\epsilon) \gt 0 \mbox{ such that } x \in A \, \wedge \, 0\lt |x - p| \lt \delta \Rightarrow |f(x) - L| \lt \epsilon }[/math].

참고로 지금 초점은 [math]\displaystyle{ p \notin A }[/math]여도 상관없다는 것이다. 또, [math]\displaystyle{ L \notin f(A) }[/math]여도 상관없다.

물론 무한대로 간다거나 하는 경우에는 약간씩 수정된 정의가 필요하긴 한데, 대동소이하다.

위에서 보듯 극한의 정의는 상당히 어렵다. 극한의 정의를 아는 사람들은 오히려 이제 와서는 왜 저게 어려운 개념인지 이해할 수 없을 수도 있는데, 임의의 ε을 잡을 때마다 N 혹은 δ를 하나씩 잡는다는 개념은 대단히 새롭고 생소한 것이다. 이 부분이 대학교 1학년 미적분학 수강생들에게도 상당한 장벽이 되는데, 고등학생에게는 더더욱 어려울 것이다.

함수의 극한

1/x 가 있는데, 여기서 x가 점점 커진다고 해 보자. x = 100, 10,000, 100,000,000... 이 되면 1/x = 0.01, 0.000,1, 0.000,000,01…이 될 것이다. 이렇게 쭉 해 보면, x가 커지면 커질수록 1/x 는 0에 한없이 가까워진다(적당히 가까워지면 안 된다. 한없이 가까워져야 한다). 유식한 말로 하면, ‘x 가 무한히 커지면 1/x 는 0에 수렴한다(converges)’고 한다. 기호로는 이렇게 쓴다.

[math]\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0 }[/math]

x 가 무한대에 가까워질 때 그 극한(limit) 은 0에 가까워진다는 것이다. 0이 되는 것은 아니지만, 0을 목표로 가까이 간다는 소리다. 마치 아무리 공부해도 100점에 도달하지는 못하지만, 목표는 100점으로 잡는 것과 같다.

이번에는 x가 무한대가 아니라 유한한 값에 가까이 가는 것을 생각해 보자. 예를 들어 [math]\displaystyle{ \frac{x^2 - 1}{x - 1} }[/math]에서 x 가 1에 가까이 간다고 해 보자. x = 1 을 대입하면 분자도 분모도 0 이 되니까 답이 없을 것 같지만, 1이 아닌 x = 0.9, 0.999, 0.999,99... 를 대입해 계산기를 두드려 보면, 저 값은 1.9, 1.999, 1.999,99…가 나온다. 생각해 보면 [math]\displaystyle{ \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \frac{(x + 1)(x - 1)}{x - 1} = x + 1 }[/math]이 되기 때문에 당연하다. 힝 속았지? 하지만 주의해야 할 것은 우리가 1이 아닌 x의 값만을 생각하고 있기 때문에 x−1이 0이 아니게 되므로 약분을 할 수 있다는 것이다. 만약 x가 진짜로 1이었으면 이렇게 약분하지 못했을 것이다. 하여튼 이걸

[math]\displaystyle{ \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = 2 }[/math]

라고 쓴다. 이처럼 극한은 x가 1이 아닌 값을 가질 때의 함수값을 토대로 x가 1에 한없이 가까워지면 함수값은 대체 어떤 값에 한없이 가까워질까?를 탐구하는 것이다.

이번엔 좀 어려운 걸로, [math]\displaystyle{ \frac{\sin x}{x} }[/math] 에서 x 가 0에 가까워지는 경우를 생각해 보자. 엄밀한 증명(삼각함수의 합차공식이 필요하다)은 생략하고 계산기를 두드려 x = 0.1, 0.01, 0.001... 을 넣어 보면 저 값은 0.998,334,16…, 0.999,983,33…, 0.999,999,83…, …이 된다. 점점 커지면서 1에 한없이 가까워지지만, 1이 되거나 1을 넘어가지는 않는다. 따라서

[math]\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 }[/math]

이다. 이걸 다른 말로 풀면, x 가 아주 작아서 0 에 가까울 때 sin x 는 x와 거의 같다는 말도 된다.

위와 같이 어떠한 함수에 극한을 취했을 때, 그 극한값이 특정한 값으로 가는 경우를 수렴, 그렇지 않는 경우를 발산이라고 한다. 이 때 발산은 값이 수렴하지만 않으면 되므로 극한값이 [math]\displaystyle{ \infty }[/math]인 경우와 [math]\displaystyle{ -\infty }[/math]인 경우, 그리고 진동하는 경우를 포함한다.

그래프를 예로 들어 설명하면 [math]\displaystyle{ \lim_{x \to a} f(x) }[/math]이란, 어떠한 함수 f(x)의 그래프를 따라 x가 a에 도달할 때 도착하는 점의 y값이라고 볼 수 있다.(함수에서 최대값, 극대값, 극한값처럼 값이 들어가는 것은 죄다 y값을 의미한다.) 이 때, a 지점에 도착할 수 있는 방향은 두 가지가 있는데 하나는 a의 왼쪽으로부터 다가오는 것이고, 다른 하나는 a의 오른쪽으로부터 다가오는 것이다. 이를 각각 좌극한과 우극한이라고 부르고 다음과 같이 표기한다.

좌극한 : [math]\displaystyle{ \lim_{x \to a-} f(x) }[/math]

우극한 : [math]\displaystyle{ \lim_{x \to a+} f(x) }[/math]

이 때 좌극한과 우극한이 서로 다르다면 과연 극한값은 무엇일까? 대답하기가 곤란한 질문이다. 그래서 이렇게 좌극한과 우극한이 다른경우 쿨하게 극한값이 존재하지 않는다고 표현한다. 즉, 극한값이 존재하기 위해서는 좌극한과 우극한이 같아야 한다.

[math]\displaystyle{ \lim_{x \to a-} f(x)=\lim_{x \to a+} f(x)=\alpha \Rightarrow \lim_{x \to a} f(x)=\alpha }[/math]

그리고 혹시나 하여 첨언하자면 예를 들어 x가 무한대로 갈 때의 극한이 0이라고 할 때, 무한대가 아닌 x의 값에 대해서 함수값이 0이 아니어야만 될 필요는 전혀 없다. 예를 들어 [math]\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} 0 = 0 }[/math]이다. 무한대가 아닐 때 계속 0이니까 x가 무한대로 갈 때의 극한도 0인 것이다. x가 유한한 값으로 갈 때도 마찬가지이다.

함수의 극한의 성질

극한의 성질은 극한값이 수렴하는 함수를 전제로 한다. [math]\displaystyle{ \lim_{x \to a} f(x)=\alpha }[/math], [math]\displaystyle{ \lim_{x \to a} g(x)=\beta }[/math]라면, 다음의 수식들이 성립된다.

1. [math]\displaystyle{ \lim_{x \to a} cf(x)=c\lim_{x \to a} f(x)=c\alpha }[/math]
2. [math]\displaystyle{ \lim_{x \to a} f(x) \pm g(x)=\lim_{x \to a} f(x) \pm \lim_{x \to a} g(x)=\alpha\pm\beta }[/math]
3. [math]\displaystyle{ \lim_{x \to a} f(x) \times g(x)=(\lim_{x \to a} f(x))\times(\lim_{x \to a} g(x))=\alpha\times\beta }[/math]
4. [math]\displaystyle{ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x \to a} g(x)}=\frac{\alpha }{\beta } }[/math] (단, [math]\displaystyle{ \beta\neq 0 }[/math])
   1. 단! 분모 [math]\displaystyle{ \beta }[/math]가 '0'이 아닐때만! 이것이 중요하다. 분모가 0일수는 없지 않은가. 그러므로 4번 성질은 분모가 0이 아닐때만 성립한다. 중요하니까 두번 말했다.
5. [math]\displaystyle{ f(x) \lt g(x) }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \alpha \leq \beta }[/math]
   1. 처음에 두 함수의 크기관계가 [math]\displaystyle{ f(x) \lt g(x) }[/math]였더라도 극한을 보내면 그 극한값이 같을 수도 있다. 예를 들어 [math]\displaystyle{ \frac{1}{x}\lt \frac{2}{x} }[/math]이지만 극한값은 0으로 동일하다.

즉, 극한이 수렴한다면 실수배, 더하기, 빼기, 곱하기, 나누기가 모두 허용되나 나눌 때는 분모가 0이 아니어야 한다.

위의 성질 중 4번, 5번이 확답형에 자주 나오는 문항이다.

예제) [math]\displaystyle{ \lim_{x \to a} f(x)g(x)=\alpha,\lim_{x \to a} f(x)=\beta }[/math]이면, [math]\displaystyle{ (\lim_{x \to a} g(x)) }[/math]는 수렴하는가? sol) 이는 [math]\displaystyle{ \lim_{x \to a} f(x)g(x) }[/math]를 [math]\displaystyle{ \lim_{x \to a} f(x) }[/math]로 나누어도 되는지를 묻는 문제이며, [math]\displaystyle{ \beta }[/math]가 0이 아니라는 보장이 없으므로 틀린 명제이다.