시리즈:수포자도 쉽게 알 수 있는 수학/미분과 적분 편집하기

{{쉽게 알 수 있다 시리즈|수학이 정말 쉬워서 저 수포자 그만둡니다.
|문서의 내용이 너무 쉬워서 머리속에 쏙쏙 들어옵니다.
|수포자도 쉽게 알 수 있는 수학/질문|도와주세요! 리브레 수학 선생님! 코너 바로가기}}

=== [[미분]] ===
미분이라는 것은 간단히 말하면 적분의 반대 개념이다. <del>그리고 적분은 미분의 반대 개념이다.</del> 미분이 계산하기 편하기 때문에 먼저 배우는 경우가 많은데, 사실 직관적으로 원리를 설명하기 편리한 쪽은 도형의 넓이를 구한다던지 하는 데에 쓰이는 적분이다. 

[[File:Derivative GIF.gif|thumb|미분의 원리를 보여 주는 움짤. 두 점 사이의 평균변화율을 나타내는 직선이, 두 점이 한없이 가까워지면 한 점의 순간변화율로 수렴한다.<ref>더 잘 설명된 그림이 있으면 추가바랍니다.</ref>]]

자동차가 0 m 의 출발선에서 출발해서, 1초 후에 1 m, 2초 후에 4 m, 3초 후에 9 m ... 를 간다고 해 보자. 그러면 10초 후에는 100 m 를 갔을 것이고, 속력을 계산해 보면 속력은 거리/시간 이니까 100 m / 10초 = 10 m/s 가 된다. 그런데 이건 '10초 동안의 평균 속력' 이지, '10초가 된 순간에 자동차 계기판에 찍힌 순간 속력' 은 아니다. 10초가 된 순간의 속력을 알고 싶으면 어떻게 해야 할까?

생각해 보면, 9초일 때 자동차의 위치는 81 m, 9.9초일 때는 98.01 m, 9.99초일 때는 99.8001 m...이다. 그러면 자동차의 속력은 (100 - 81 m)/(10 - 9초), (100 - 98.01 m)/(10 - 9.9초), (100 - 99.8001 m)/(10 - 9.99초)... 가 될 것이다. 앞에서 한 것과 비슷하지 않은가?

수식으로 정리해 보면, <math>\lim_{x \rightarrow 10}\frac{100 - x^2}{10 - x}</math>이다. 인수분해해서 계산하면

<math>\lim_{x \rightarrow 10}\frac{100 - x^2}{10 - x} = \lim_{x \rightarrow 10}\frac{(10 + x)(10 - x)}{10 - x} = \lim_{x \rightarrow 10}(10 + x) = 20 </math>

즉 10초가 된 순간의 자동차의 속력이 20 m/s 임을 함수의 극한을 이용해 구한 것이다. 이렇게 어떤 함수의 매 순간의 변화량을 함수의 극한을 통해 구하는 것이 미분이다.

이걸 좀더 일반화해 보자. 시간 x 초에서 자동차가 간 거리는 x<sup>2</sup>이다. 그러면 x 초에서의 속력을 알기 위해, x 보다 약간 작은 x - h 초를 생각해 보면, x - h 초일 때의 거리는 (x - h)<sup>2</sup> 가 될 것이고, 위에서 한 것처럼 순간 속력은 h 가 0 에 가까워져 x 와 x - h 가 아주 가까워질 때를 생각하면 된다.

<math>\lim_{h \rightarrow 0}\frac{x^2 - (x - h)^2}{x - (x - h)} = \lim_{h \rightarrow 0}\frac{x^2 - x^2 + 2hx - h^2}{h} = \lim_{h \rightarrow 0}(2x - h) = 2x </math>

따라서 x 초가 된 순간의 자동차의 속력은 2x m/s이다. 매번 9, 9.9, 9.99... 의 제곱을 구해서 100에서 빼고 나누고 하는 귀찮은 짓을 할 필요 없이, 이제 10초일 때의 속력은 20, 20초일 때는 40... 이렇게 바로 구할 수 있게 된 것이다! 이게 바로 '함수를 미분' 한 것이다.

미분이라는 것은 어떤 함수 <math>f(x)</math>가 있을 때 <math>(x, f(x))</math>에서 <math>f(x)</math>와 접하는 선, 즉 접선의 기울기를 구할 때에 사용된다.

이를 어떻게 구하는지 보자. <math>f(x)</math> 함수 위의 두 점, <math>(a, f(a))</math>와 <math>(b, f(b))</math>를 지나는 선의 기울기는 다음과 같을 것이다.

기울기 : <math>\frac{f(b) - f(a)}{b-a}</math>

이를 그대로 적용해서, 점 <math>(x, f(x))</math>와 그로부터 x축으로 <math>\Delta x</math>만큼 떨어진 <math>(x+\Delta x, f(x+\Delta x))</math> 의 기울기를 표현하면 다음과 같을 것이다.


기울기 : <math>\frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{ (x + \Delta x) - x} = \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{ \Delta x}</math>

이 때 <math>\Delta x</math>가 작아질수록 이 두 점을 연결하는 선은 점점 우리가 구하고자 하는 접선의 기울기에 가까워지게 된다. 따라서, 함수 <math>f(x)</math>의 접선의 기울기는 다음과 같이 표현할 수 있다.

접선의 기울기 : <math>\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{ \Delta x}</math>


이를 함수 <math>f(x)</math>의 도함수라고 하며, <math>f'(x)</math> 또는 <math>\frac {\mathrm dy}{\mathrm dx}</math>라고 표기한다. 전자는 함수 <math>f(x)</math>의 도함수라는 것을 표현한 것이며, 후자는 접선의 기울기를 나타낸다는 것을 표현한 것이다. 문제에 따라서 편리한 표현방법을 사용하게 된다.

==== 상수함수의 미분법 ====
[[File:Constant function.png|130픽셀|thumb|상수함수의 그래프]]
상수함수란 x의 값에 상관없이 항상 함숫값이 c로 일정한 함수다. 즉 <math>f(x)=c</math>인 함수가 있을 때, 도함수 <math>f'(x)=0</math>이다. 
미분계수가 그래프에서의 기울기를 뜻하므로, 직관적으로도 도함수는 항상 0임을 알 수 있다.

==== 다항함수의 미분법 ====
다항함수의 미분법은 아주 간단하다. 빼기, 곱하기만 할 수 있으면 누구나 할 수 있다. 물론 그 증명도 중요하지만 일단 계산법만 올려보자면 아래와 같다.

실수 n에 대해 함수 <math>{x}^{n}</math>의 도함수는 다음과 같다.

<math>({x}^{n})'=n{x}^{n-1}</math>.

<math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}({x}^{n})=n{x}^{n-1}</math>


<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed">
n이 자연수일 때의  증명
<div class="mw-collapsible-content">

다음과 같은 계산 과정을 통해서 자연수에 대해서 증명이 가능하고, 미분에 대한 지식 몇 가지만 추가하면 실수 n에 대해서 확장할 수 있다. 그러나 어렵다 싶으면 일단 그냥 암기해서 이용해도 문제없는 부분이다.

<math> \lim_{\Delta x\to 0} \frac{(x+\Delta x)^n - x^n}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{nx^{n-1}\Delta x+\frac{n(n-1)}{2} x^{n-2}\Delta x^2 + ... + nx\Delta x^{n-1} + \Delta x^n }{\Delta x}</math><br>
<math> = \lim_{\Delta x \to 0} \left( nx^{n-1} + \frac{n(n-1)}{2} x^{n-2}\Delta x + ... + nx\Delta x^{n-1} + \Delta x^{n-1} \right) = nx^{n-1} </math>

<math>\Delta x</math>를 약분하고 <math>\Delta x</math>의 1차항 이상은 극한이 0으로 가므로 무시할 수 있어서, 위 함수의 도함수는 <math>n{x}^{n-1}</math>이 된다. 이것을 미분에 있어서의 Power Rule, 지수법칙이라고 부른다.

</div>
</div>

==== 상수배 ====
[[파일:Diff 02.png|섬네일|상수배의 미분(differential)]]
<math>(cf(x))'=c(f(x))'</math>

<math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}(cf(x))=c\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}(f(x))</math>

그림에서 <math>\mathrm d(cf) = c\mathrm df</math>임을 알 수 있고, 양변을 <math>\mathrm dx</math>로 나눠 주면 <math>\frac{\mathrm d(cf)}{\mathrm dx} = c \frac{\mathrm df}{\mathrm dx}</math>가 되어 원하는 결과를 얻는다.


==== 합차 ====
[[파일:Diff 01.png|섬네일|합의 미분(differential)]]
<math>(f(x) \pm g(x))'=f'(x) \pm g'(x)</math>

<math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}(f(x) \pm g(x))=\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}(f(x)) \pm \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}(g(x))</math>

그림에서 <math>\mathrm d(f+g) = \mathrm df+\mathrm dg</math>임을 알 수 있고, 양변을 <math>\mathrm dx</math>로 나눠 주면 <math>\frac{\mathrm d(f+g)}{\mathrm dx} = \frac{\mathrm df}{\mathrm dx} + \frac{\mathrm dg}{\mathrm dx}</math>가 되어 원하는 결과를 얻는다.

==== 곱 ====
[[파일:Diff 03.png|섬네일|곱의 미분(differential)]]
<math>(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)</math>

<math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}(f(x)g(x))=\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}(f(x))g(x)+f(x)\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}(g(x))</math>

그림에서 <math>\mathrm d(fg) = (\mathrm df)g+f(\mathrm dg)</math>임을 알 수 있고, 양변을 <math>\mathrm dx</math>로 나눠 주면 <math>\frac{\mathrm d(fg)}{\mathrm dx} = \frac{\mathrm df}{\mathrm dx} g + f \frac{\mathrm dg}{\mathrm dx}</math>가 되어 원하는 결과를 얻는다.

왜 <math>\mathrm df\mathrm dg</math>를 무시해도 되는지는 좀 설명이 필요하다. 지금 <math>\mathrm df</math>랑 <math>\mathrm dg</math> 모두 <math>\mathrm dx</math>가 줄어듦에 따라 같이 줄어든다. 따라서 <math>\mathrm df\mathrm dg</math>는 <math>\mathrm df</math>가 줄어드는 속도와 <math>\mathrm dg</math>가 줄어드는 속도의 영향을 중첩적으로 받아 훨씬 빨리 줄어들게 된다. 즉 <math>\mathrm df\mathrm dg</math>가 줄어드는 속도가 <math>\mathrm dx</math>가 줄어드는 속도보다 한층 빠르고, 따라서 무시해도 되는 것이다. 즉 <math>\mathrm df\mathrm dg</math>가 작아서 무시한다는 말은 좀 그렇고, 작긴 작은데 그 정도가 <math>\mathrm dx</math>보다 한층 더하기 때문에 무시해도 된다는 것이다.

==== 합성함수 ====
y=f(u)이고,u=g(x)이고 둘 다 미분가능하면.<br>
<math>(f(g(x)))'=f'(g(x)) g'(x)</math>

<math>\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\frac{\mathrm dy}{\mathrm du}\times \frac{\mathrm du}{\mathrm dx}</math><ref>적당한 함수를 u(x)로 놓은 다음에 y를 u에 대해 미분한 함수*u를 x에 대해 미분한 함수 하면 된다.</ref>

==== 삼각함수 ====
* 삼각함수 공식 외우기는 [[수포자도 쉽게 알 수 있는 수학/삼각함수 공식을 외워보자|삼각함수 공식을 외워보자]] 참고.
===== 사인 =====
<math>color{asd} (\sin x)'=\cos x</math>.

<math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}(\sin x)=\cos x</math>.
===== 코사인 =====
<math>(\cos x)'=-\sin x</math>.

<math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}(\cos x)=-\sin x</math>.
===== 탄젠트 =====
<math>\color{asd} (\tan x)'={\sec }^{2} x</math>.

<math>{\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}(\tan x)={\sec }^{2} x}</math>.

==== 역함수 ====
임의의 함수 <math>f(x)</math>의 역함수<br>
<math>{{f}^{-1}(x)}</math> 가 존재하면.<br>
<math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}({f}^{-1}(x))=\frac{1}{f'({f}^{-1}(x))}</math>.

==== 지수함수 ====
<math>\color{#5140F2}{ (e^x)' = e^x}</math>

<math>\color{#5140F2}{ (a^x)' = a^x \ln a}</math>

<math>\color{#5140F2}{ \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}e^x = e^x}</math>

<math>\color{#5140F2}{\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}({a}^{x})={a}^{x}\ln a}</math>.<br />
<math>\color{#5140F2}{a\neq 1,a>0}</math>.

==== 로그함수 ====
<math>(\ln x)' = \frac{1}{x}</math>

<math>(\log_{a} x)' = \frac{1}{x \ln a}</math>

<math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\ln x = \frac{1}{x}</math>

<math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \log_{a} x = \frac{1}{x \ln   {a}}</math>

==== 평균값 정리 ====
[[파일:구간단속.PNG|섬네일|구간단속방법을 잘 나타내는 그림으로 수정바람 ㅠㅠ]]
도로교통 이야기로 잠시 넘어가보자. 구간단속은 일정 구간에서 평균 속도가 제한 속도를 위반하면 적발하는 단속 방법이다. 이전까지 쓰이던 지점단속에는 단속 대상자가 카메라 앞에서만 속도를 잠시 줄인 뒤 카메라에서 벗어나면 다시 과속을 할 수 있다는 문제가 있었다. 그러나 구간단속에서는 이런 꼼수가 원천 차단된다.

예를 들어 어떤 운전자의 차량이 적발 속도가 80km/h이고 길이가 1km인 구간단속 시작지점에 들어설 때 시속 60km으로 달리고 있었다고 가정하고 30초 후 끝지점으로 나올 때 여전히 시속 60km로 달리고 있었다고 가정하자. 이때 이 차량의 평균 속도는 120km/h이다. 이 결과는 단속구간에 있을 때 어느 순간 차량의 순간속도가 120km/h을 찍었다는 걸 의미한다. 지점단속으로는 단속에 걸리지 않지만 구간단속으로는 얄짤없이 단속에 걸리게 된다. 이 상황을 약간 추상화하면, 어느 구간에서 (구간 양끝 함수값의 차)/(구간 양끝점의 차)의 값과 같은 미분계수를 가지는 지점이 존재한다는 결론을 얻고, 이것이 바로 [[평균값 정리]]다.
물론 아무 때나 쓰면 곤란하고 평균값 정리가 성립하기 위한 조건들이 있으니, 더 자세히 알고 싶으면 항목을 참조하길.

=== 적분 ===
==== 부정적분 ====
문과생에게도 잘 알려져 있는 "적분은 미분 거꾸로, 미분은 적분 거꾸로"
===== 상수배 =====
<math>\color{#177636}{\int cf(x) dx=c\int f(x) dx}</math>
===== 합차 =====
<math>\color{#EE497F}{\int (f(x)\pm g(x)) dx=\int f(x) dx\pm\int g(x) dx}</math>
===== <math>\color{#FF00}{{x}^{n}}</math> =====
{| class="wikitable"
! colspan="2" style="text-align: center;" | 함수
! colspan="2" style="text-align: center;" | 역도함수(부정적분)
|-
| rowspan="2" colspan="2" style="text-align: center;" | <math>\color{#FF00}{{x}^{n}}</math>
| style="text-align: center;" | <math>\color{#FF00}{n \neq -1}</math>
| style="text-align: center;" | <math>\color{#AC0FF}{\frac{{x}^{n+1}}{n+1}+C}</math>
|-
| style="text-align: center;" | <math>\color{#FF00}{n = -1}</math>
| style="text-align: center;" | <math>\color{#591759}{\ln |x|+C}</math>
|}

===== 삼각함수 =====
{| class="wikitable"
! colspan="2" style="text-align: center;" | 함수
! style="text-align: center;" | 역도함수(부정적분)
|-
| colspan="2" style="text-align: center;" | <math>\color{#0ACFF}{\sin x}</math>
| style="text-align: center;" | <math>\color{#156B94}{-\cos x +C}</math>
|-
| colspan="2" style="text-align: center;" | <math>\color{#9D99}{\cos x}</math>
| style="text-align: center;" | <math>\color{#9D9D9}{\sin x+C}</math>
|-
| colspan="2" style="text-align: center;" | <math>\color{#996D9}{{\sec}^{2} x}</math><ref><math>
\color{#996D9}{\sec x}</math>는 <math>\color{#996D9}{\frac{1}{\cos x}}</math>입니다.</ref>
| style="text-align: center;" | <math>\color{#9D99}{\tan x+C}</math>
|-
| colspan="2" style="text-align: center;" | <math>\color{#952D9}{{\csc}^{2} x}</math><ref><math>
\color{#952D9}{\csc x}</math>는 
<math>\color{#952D9}{\frac{1}{\sin x}}</math>입니다.</ref>
| style="text-align: center;" | <math>\color{#99D9}{-\cot x+C}</math><ref><math>\color{#99D9}{\cot x}</math>는 <math>\color{#99D9}{\frac{1}{\tan x}}</math>입니다.</ref>
|-
| colspan="2" style="text-align: center;" | <math>\color{#FF69AC}{\sec x \tan x}</math>
| style="text-align: center;" | <math>\color{#FF69AC}{\sec x +C}</math>
|-
| colspan="2" style="text-align: center;" | <math>\color{#059FF}{\csc x \cot x}</math>
| <math>\color{#01952}{-\csc x +C}</math>
|}

===== <math>\color{#173876}{{a}^{x},a>0,a\neq 1}</math> =====
<math>\color{#B5107F}{\int {a}^{x} dx=\frac{{a}^{x}}{\ln a}+C}</math>
===== 치환적분법 =====
<math>\color{#177617}{\int f(x) dx=\int f(g(t))g'(t) dt}</math><ref>단 <math>\color{#520FF}{x=g(t)}</math>.</ref><br>
뭐 이렇기는 한데,미분의 합성함수의 미분법과는 달리 치환적분법은 모든 합성함수에 대해 적용할 수가 없다.<br>오히려 적용이 거의 안되는 함수가 훨씬 더 많다.<br>
음 {{ㅊ|전혀 간단하지 않게}} 말하자면 <math>\color{#177617}{t}</math>=(
<math>\color{#177617}{x}</math>에 관한 적당한 함수)로 놓고<br>
<math>\color{#177617}{x}</math>=(<math>\color{#177617}{t}</math>에 관한 함수)로 {{ㅊ|적절히}} 변형한 다음에 위 식에 대입하자.
====== 예시 1 ======
<math>\color{#0ACFF}{\int {(2x+1)}^{3} dx}</math><br>
<math>\color{#0ACFF}{2x+1=t,f(x)={(2x+1)}^{3}}</math>로 놓자.<br>양변에 1을 빼면.<br>
<math>\color{#0ACFF}{2x=t-1=g(t)}</math><br>
이제 양변을 2로 나누자.<br>
<math>\color{#0ACFF}{x=\frac{t-1}{2}=g(t)}</math><br>
<math>\color{#0ACFF}{g'(t)=\frac{1}{2}=\frac{dx}{dt}}</math><br>
이제 <math>\color{#0ACFF}{f(x)}</math> 에 대입하면.<br>
<math>\color{#0ACFF}{\int {((2\times \frac{t-1}{2} +1)}^{3}\times \frac{1}{2}) dt}</math><br>
<math>\color{#0ACFF}{\int \frac{1}{2}{t}^{3} dt}</math><br>
상수는 밖으로 빼내자.<br>
<math>\color{#0ACFF}{\frac{1}{2} \int {t}^{3} dt}</math><br>
<math>\color{#0ACFF}{\frac{1}{2}\times \frac{1}{4}{t}^{4}+C}</math><br>
<math>\color{#0ACFF}{\frac{1}{8}{t}^{4}+C}</math><br>
<math>\color{#0ACFF}{t=2x+1}</math>이므로 <math>\color{#0ACFF}{t}</math>에 대입하자.<br>
<math>\color{#0ACFF}{\frac{1}{8}{(2x+1)}^{4}+C}</math>
====== 예시 2 ======
<math>\color{#0059FF}{\int \tan x dx}</math><br>
<math>\color{#0059FF}{\int \frac{\sin x}{\cos x} dx}</math><br>
<math>\color{#0059FF}{\cos x=t,f(x)=\frac{\sin x}{\cos x}}</math>로 둡니다.<br>
<math>\color{#0059FF}{x=g(t)}</math>꼴로 만들기 위해서 양변에<br>
<math>\color{#0059FF}{\arccos x}</math><ref>
<math>\color{#0059FF}{\arccos x}</math>은 <math>\color{#037FF}{\cos x}</math>의 역함수입니다.</ref>를 취합니다.<br>
<math>\color{#0059FF}{\arccos t=x=g(t)}</math><br>
이제 <math>\color{#0059FF}{g'(t)=\frac{dx}{dt}}</math>를 구해봅시다.<br>
[[수포자도 쉽게 알 수 있는 수학#역함수]]에서 <math>\color{#037FF}{f(x)=\cos x,f'(x)=-\sin x}</math>가 가 된다.<br>
그러면 <math>\color{#0059FF}{\frac{d}{dx}(\arccos x)=\frac{1}{-\sin (\arccos x)}}</math>이 됩니다.<br>
<math>\color{#0059FF}{\frac{d}{dx}(\arccos x)=\frac{1}{-\sin (\arccos x)}}</math><br>
<math>\color{#0059FF}{{\sin}^{2} (\arccos x)+{\cos}^{2} (\arccos x)=1}</math><br>
<math>\color{#0059FF}{{\sin}^{2} (\arccos x)+{x}^{2}=1}</math><br>
<math>\color{#0059FF}{{\sin}^{2} (\arccos x)=1-{x}^{2}}</math><br>
<math>\color{#0059FF}{{\sin} (\arccos x)=\pm \sqrt{1-{x}^{2}}}</math><br>
그런데 <math>\color{#0059FF}{0\leq \arccos x\leq \pi }</math><br><ref><math>\color{#0059FF}{\cos x}</math>의 정의역을 <math>\color{#0059FF}{0\leq x \leq \pi }</math>
로 제한하면 <math>\color{#0059FF}{\cos x}</math>도 역함수를 갖게 된다.이때 역함수의 경우에는 정의역이 원함수의 치역이고 치역이 원함수의 정의역이다.</ref><br>
이고 <math>\color{#0059FF}{0\leq \ x \leq \pi }</math>에서<br>
<math>\color{#0059FF}{\sin x\geq 0}</math>이다.<br>
따라서 <math>\color{#0059FF}{\sin (\arccos x)=\sqrt{1-{x}^{2}}}</math>이다.<br>
따라서 <math>\color{#0059FF}{g'(t)=\frac{1}{-\sqrt{1-{t}^{2}}}}</math>입니다.
대입하면.<br>
<math>\color{#0059FF}{\int \frac{-\sin (\arccos t)}{\cos (\arccos t)\times \sqrt{1-{t}^{2}}} dt}</math><br>
<math>\color{#0059FF}{\int \frac{-\sqrt{1-{t}^{2}}}{t\times \sqrt{1-{t}^{2}}} dt}</math><br>
<math>\color{#0059FF}{\int \frac{-1}{t} dt}</math><br>
<math>\color{#0059FF}{-\int \frac{1}{t} dt}</math><br>
<math>\color{#0059FF}{-\ln |t| +C}</math><br>
<math>\color{#0059FF}{t=\cos x}</math>이므로 대입합니다.<br>
<math>\color{#0059FF}{-\ln |\cos x| +C}</math>

===== 부분적분법 =====
<math>\color{#C06AE9}{\int f(x)g'(x) dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx}</math><br>
로그함수,역삼각함수,다항함수,삼각함수,지수함수 중에서 가장 먼저의 것을<br>
<math>\color{#C06AE9}{f(x)}</math>에 대입하고 나머지를<br>
<math>\color{#C06AE9}{g'(x)}</math>에 대입하는 것이 좋다.<br>
곱의 미분법 적분판이라고 볼 수 있...지만 만능은 전혀 아니다.
====== 예시 1 ======
<math>\color{#C06AE9}{\int x{e}^{x} dx}</math><br>
일단 다항함수인 <math>\color{#C06AE9}{x}</math>를<br>
<math>\color{#C06AE9}{f(x)}</math>에 대입하고 지수함수인<br>
<math>\color{#C06AE9}{{e}^{x}}</math>를 <math>\color{#C06AE9}{g'(x)}</math>에 대입한다.<br>
<math>\color{#C06AE9}{g'(x)={e}^{x},g(x)={e}^{x}+C}</math><br>
<math>\color{#C06AE9}{f(x)=x,f'(x)=1}</math><br>
이제 대입하면.<br>
<math>\color{#C06AE9}{x({e}^{x}+C)-\int ((1\times ({e}^{x}+C)) dx}</math><br>
<math>\color{#C06AE9}{x{e}^{x}+Cx-\int {e}^{x} dx-\int C dx}</math><br>
<math>\color{#C06AE9}{x{e}^{x}+Cx-{e}^{x}+D-Cx}</math><br>
<math>\color{#C06AE9}{Cx}</math>끼리 소거됩니다.<br>
<math>\color{#C06AE9}{x{e}^{x}-{e}^{x}+D}</math><br>
적당히 인수분해합니다.D는 C는 둘다 적분상수이므로 D를 C로 바꾸어도 됩니다.<br>
====== 예시 2 ======
<math>\color{#C06AE9}{\int \log_{a} x dx(a>0)}</math><br>
먼저 로그함수인<br>
<math>\color{#C06AE9}{\log_{a} x dx(a>0)}</math><br>
를 <math>\color{#C06AE9}{f(x)}</math>에 대입한다.<br>
그 다음에 다항함수인 1<ref>상수도 엄연히 다항함수입니다.</ref>을<br>
<math>\color{#C06AE9}{g'(x)}</math>에 대입합니다.<br>
자,이제 <math>\color{#C06AE9}{g(x)=x+C}</math>입니다.<br>
<math>\color{#C06AE9}{\frac{1}{x \ln a}=f'(x)}</math>입니다.<br>
이제 대입합니다.<br>
<math>\color{#C06AE9}{\int {\log }_{a} x dx=(x+C)\log _{a}x-\int (\frac{1}{x \ln a}(x+C))dx}</math><br>
<math>\color{#C06AE9}{\int \log _{a}x dx=(x+C)\log _{a}x-\int (\frac{1}{\ln a}+\frac{C}{x\ln a})dx}</math><br>
<math>\color{#C06AE9}{\int \log _{a}x dx=(x+C)\log _{a}x-\int \frac{1}{\ln a} dx-\int \frac{C}{x\ln a}dx}</math><br>
<math>\color{#C06AE9}{\int \log _{a}x dx=(x+C)\log _{a}x-\int \frac{1}{\ln a} dx-\frac{C}{\ln a}\int \frac{1}{x}dx}</math><br>
<math>\color{#C06AE9}{\int \log _{a}x dx=(x+C)\log _{a}x-\frac{x}{\ln a} -\frac{C}{\ln a}
\ln |x|+D}</math><br>
<math>\color{#C06AE9}{\int {\log}_{a} x dx=x {\log}_{a} x +C{\log}_{a} x-\frac{x}{\ln a}-\frac{C\ln |x|}{\ln a}+D}</math><br>
<math>\color{#C06AE9}{x>0,|x|=x,{\log}_{a} x = \frac{{\ln}{x}}{\ln a} }</math><br>
<math>\color{#C06AE9}{\int {\log}_{a} x dx=x {\log}_{a} x +C\frac{\ln x}{\ln a}-\frac{x}{\ln a}-\frac{C\ln x}{\ln a}+D }</math><br>
<math>\color{#C06AE9}{\int {\log}_{a} x dx=x {\log}_{a} x +\frac{C\ln x}{\ln a}-\frac{x}{\ln a}-\frac{C\ln x}{\ln a}+D }</math><br>
<math>\color{#C06AE9}{\int {\log}_{a} x dx=x {\log}_{a} x -\frac{x}{\ln a}+D }</math><br>
<math>\color{#C06AE9}{D}</math>는 적분상수입니다.<br>
끝입니다.

==== 정적분 ====
정적분이란 함수 y=f(x)와 닫힌 구간[a, b]로 둘러 싸인 도형의 넓이를 구하는 방법입니다.<ref>a, b를 포함하는 구간을 닫힌 구간이라고 합니다. 이상과 이하의 개념으로 이해하시면 될 것 같습니다. a이상 b이하</ref>
===== 구분구적법 =====
도형의 넓이나 입체의 부피를 다음과 같이 구할 수 있습니다.
#주어진 도형을 충분히 작은 여러 개의 기본 도형<ref>기본 도형은 직사격형, 이등변삼각형, 원기둥, 직육면체등과 같이 넓이 또는 부피를 쉽게 구할 수 있는 도형으로 정해야 합니다.</ref>으로 나누고,
# 그 기본 도형의 넓이 또는 부피의 합을 구할 수 있는 식을 만들고<ref>보통 여기서 Σ(시그마)와 k, k^2, k^3의 공식이 사용됩니다.</ref>
#2에서 구한 식에서 n->∞일 때의 극한값을 구하면 됩니다.

이것이 바로 구분구적법 입니다.

다음은 구분 구적법을 적용해서 도형의 넓이를 구한 것 입니다.

[[파일:IMG 20150604 002835.jpg|섬네일|왼쪽|구분구적법을 활용한 삼각형의 넓이 구하기]]

화면 확대가 필요합니다.<del>도저히 작성자의 실력으로는 도형과 식들을 표현 할 수 없었다고 합니다.</del>

여기까지가 구분구적법의 설명입니다.
하지만, 작성자가 구분구적법을 공부하실 위키러에게 드리고 싶은 말씀은, '''수능에 않나온다고, 중요하지 않다고 막 넘기시지 마시고, 어떻게 해서 구분구적법이 나오게 되었는가? 즉, 구분구적법의 원리와 발상을 공부해 보시라는 것입니다.'''
===== 정의 =====
<math>\lim_{n\rightarrow \infty }\sum_{k=1}^{n}f(x_{k})\Delta x(\Delta x=\frac{b-a}{n},x_{k}=a+k\Delta x)=\int_{a}^{b}f(x)dx</math>
===== 예제 1=====
<math>\int_{1}^{2} {x}^{2} dx</math><br>
<math>f(x)={x}^{2}</math><br>
<math>a=1,b=2,b-a=1</math><br>
<math>\Delta x=\frac{1}{n},{x}_{k}=1+k\Delta x=1+\frac{k}{n}</math><br>
<math>\lim_{n\rightarrow \infty } \sum_{k=1}^{n}(1+\frac{k}{n})^2\frac{1}{n}</math><br>
<math>\lim_{n\rightarrow \infty } \sum_{k=1}^{n}(1+\frac{2k}{n}+\frac{k^{2}}{n^2})\frac{1}{n}</math><br>
<math>\lim_{n\rightarrow \infty } \sum_{k=1}^{n}(\frac{1}{n}+\frac{2k}{n^2}+\frac{k^{2}}{n^3})</math><br>
<math>\lim_{n\rightarrow \infty }(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n}+\sum_{k=1}^{n}\frac{2k}{n^2}+\sum_{k=1}^{n}\frac{{k}^{2}}{{n}^{3}})</math><br>
<math>\lim_{n\rightarrow \infty }(\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}1+\frac{2}{n^2}\sum_{k=1}^{n}k+\frac{1}{n^3}\sum_{k=1}^{n}{k}^{2})</math><br>
그리고<br>
<math>\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2},\sum_{k=1}^{n}{k}^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}</math><br>
입니다.<br>
<math>\lim_{n\rightarrow \infty }(1+\frac{2}{n^2}\frac{n(n+1)}{2}+\frac{1}{n^3}\frac{n(n+1)(2n+1)}{6})</math><br>
<math>\lim_{n\rightarrow \infty }(1+\frac{n(n+1)}{n^2}+\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3})</math><br>
극한의 성질에 따라 세 식 모두 수렴하므로 각각 분리합니다.<br>
<math>\lim_{n\rightarrow \infty }1+\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{n(n+1)}{n^2}+\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}</math><br>
<math>1+1+\frac{1}{3}=\frac{7}{3}</math>
===== 미적분의 기본정리 =====
<math>f(x)</math>가 닫힌구간 <math>[a,b]</math>에서 연속일 때, <math>\frac{d}{dx} \int_{a}^{b} f(t)\, dt=f(x)</math>이다.
<br />
닫힌구간 <math>[a,b]</math>에서 연속인 함수 <math>f(x)</math>의 한 부정적분을 <math>F(x)</math>라고 할 때,
<math>\int_{a}^{b} f(x) dx=F(b)-F(a)</math>

이 미적분의 기본정리를 통하여 이제 정적분의 계산을 쉽게 할 수 있다. 정적분 계산할 때 부정적분이 사용되므로 이제까지 부정적분 구하는 연습을 한 것이다. 이 정리가 없었으면 정적분값을 구할 때, 항상 구분구적법 처음 할 때처럼, 구간을 나누고 도형의 합을 계산하고 극한으로 보내는 작업을 해야 한다.

{{주석}}
{{리브레 시리즈}}
[[분류:수학]]