시리즈:수포자도 쉽게 알 수 있는 수학/문자와 식 및 방정식과 부등식

수학이 정말 쉬워서 저 수포자 그만둡니다.

문서의 내용이 너무 쉬워서 머리속에 쏙쏙 들어옵니다.

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수포자도 쉽게 알 수 있는 수학 틀:토막글

이 문서는 함수 파트와 같이 보는 것을 권장한다.

문자와 식

우리는 수식을 작성할 때 연산자 이외에 숫자와 문자를 이용하곤 한다. 식에서 문자의 용도는 두 가지(상수 또는 변수)이다. 상수는 변하지 않는 값이라는 뜻으로, 특정 숫자를 대신하는 문자를 뜻한다. [math]\displaystyle{ \pi, e }[/math]와 같은 것들이 있고, 필요하면 임의로 지정할 수 있다. 반면에, 변수는 변하는 값이라는 뜻으로, 문자가 특정 숫자만을 가리키지 않고 (임의의 조건을 만족하는)어떤 수라도 문자를 대신할 수 있다. 변수를 미지수라고도 한다.

다항식의 연산과 인수분해

다항식의 구조

[math]\displaystyle{ 10x+5ax-4 }[/math]라는 식을 보자. 이 식에서 [math]\displaystyle{ 10x, 5ax }[/math]는 숫자와 문자가 어떤 연산기호도 없이 붙어있는 것을 볼 수 있다. 숫자와 문자의 곱셈은 생략하기 때문이다. 식에서 [math]\displaystyle{ 10x, 5ax, -4 }[/math]은 스스로 각각 하나의 식이 될 수 있는데, 이를 단항식이라고 한다. 단항식들을 덧셈과 뺄셈으로 연산한 식을 다항식이라고 하며, 이 때 각 단항식들은 다항식의 항이라고 한다. 항에서 문자를 제외한 나머지 부분을 계수라고 한다. 상수로만 이루어진 항을 상수항이라고 하고, 문자부분이 같은 항을 동류항이라고 한다.

다항식의 연산

• 한 문자에 대해 정리

  문자가 포함된 식을 편리하게 사용하기 위해서, 하나의 문자(당신이 임의로 선택한)를 제외한 나머지 문자를 미지수가 아닌 것으로 취급하는 방법이다.

  예를 들어, [math]\displaystyle{ 10a^2 x^2+9a x^2+8x^2+7a^2 x+6ax+5x+4a^2+3a+2 }[/math]라는 식이 있다고 해보자. 이 식을 문자 [math]\displaystyle{ a }[/math]에 대해 정리하면 [math]\displaystyle{ (10x^2+7x+4)a^2+(9x^2+6x+3)a+(8x^2+5x+2) }[/math]가 된다. 반면에, 문자 [math]\displaystyle{ x }[/math]에 대해 정리하면 [math]\displaystyle{ (10a^2+9a+8)x^2+(7a^2+6a+5)x+(4a^2+3a+2) }[/math]가 된다.

• 덧셈과 뺄셈

  예시를 들어 설명한다. [math]\displaystyle{ 8a+9x+5 }[/math]에서 [math]\displaystyle{ 7a-2 }[/math]를 뺀다고 하자. 이를 그대로 적으면 [math]\displaystyle{ 8a+9x+5-(7a-2) }[/math]이다. 뺄셈을 덧셈으로 바꾸면 [math]\displaystyle{ 8a+9x+5+(-7a+2) }[/math]가 되고, 괄호를 없앨 수 있으므로 [math]\displaystyle{ 8a+9x+5-7a+2 }[/math]로 적는다. 여기에서 동류항끼리 정리하면 [math]\displaystyle{ (8-7)a+9x+5+2 }[/math], 연산하면 [math]\displaystyle{ a+9x+5+2 }[/math]가 된다. 덧셈의 경우에는 뺄셈을 덧셈으로 바꾸는 과정을 생략하면 된다.

다항식의 곱셈정리 및 인수분해

곱셈정리

하나만 알고 있으면 된다. [math]\displaystyle{ (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd }[/math]이다. 만약 항이 3개 이상인 다항식을 곱할 경우, [math]\displaystyle{ a+b+c+\cdots=a+A(A=b+c+\cdots) }[/math]처럼 하고, [math]\displaystyle{ (a+A)(B+C)=aB+aC+AB+AC }[/math]로 연산한 후, [math]\displaystyle{ AB }[/math]와 [math]\displaystyle{ AC }[/math]를 연산하면 된다. 예를 들어, [math]\displaystyle{ (x^2+2x+1)(x+1) }[/math]에서 [math]\displaystyle{ 2x+1=A }[/math]라고 치환한 후 [math]\displaystyle{ (x^2+A)(x+1)=x^3+x^2+Ax+A }[/math] [math]\displaystyle{ =x^3+x^2+(2x+1)x+(2x+1)=x^3+x^2+2x^2+x+2x+1=x^3+3x^2+3x+1 }[/math]라고 적용하면 된다.

많이 사용되는 경우는 다음과 같다.

• [math]\displaystyle{ (a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2 }[/math]
• [math]\displaystyle{ (a+b)(a-b)=a^2-b^2 }[/math]

인수분해

인수분해(factorization)이란, 어떤 다항식을 그 식의 인수들의 곱으로 나타내는 것을 말한다. 인수란 그 다항식을 나누는 다른 다항식이다.

예를 들어 우리는 자연수 12를 [math]\displaystyle{ 12=2^2\times 3 }[/math]으로 소인수분해할 수 있음을 알고 있다. 여기서의 인수가 바로 그 인수이다.

이는 문자가 포함되어 있는 식에도 동일하게 적용될 수 있다. 만약에 [math]\displaystyle{ (a+b)^2 }[/math]라는 식이 있다고 하자. 이를 전개하면 [math]\displaystyle{ a^2+2ab+b^2 }[/math]이 된다.

즉,

[math]\displaystyle{ a^2+2ab+b^2=(a+b)^2 }[/math]

이다. 여기서 [math]\displaystyle{ a^2+2ab+b^2 }[/math]를 [math]\displaystyle{ (a+b)\times(a+b) }[/math]의 곱하기의 형태로 표현 했으므로, 이것이 바로 인수분해이다. 즉, 인수분해와 전개는 서로 거꾸로라고 할 수 있다.

인수분해는 고등학교 1학년 때 배우는 부분이지만 그 이후 3학년까지 계속해서 사용되므로 전부 능숙하게 할 수 있어야 한다. 그리고 물론 능숙하게 하기 위해서는 많은 연습을 통해 요령을 아는 것이 중요하다.

인수분해 공식

1. [math]\displaystyle{ a^2 \pm 2ab+b^2=(a \pm b)^2 }[/math]
2. [math]\displaystyle{ a^2-b^2=(a+b)(a-b) }[/math]
3. [math]\displaystyle{ x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b) }[/math]
4. [math]\displaystyle{ acx^2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d) }[/math]

이 외에도 많이 있으나 일단 이차식에 사용되는 공식은 이 정도이다.

방정식과 부등식

해석기하 파트를 보면서 도형과 연계할 수 있다.

방정식

방정식이란 등식의 일종으로 x에 어떤 값을 대입하느냐에 따라서 식의 참과 거짓이 바뀌는 식을 의미한다. 예를 들어

[math]\displaystyle{ 2x+1=3 }[/math]

이라는 식이 있다고 하자. 위 식에 [math]\displaystyle{ x=0 }[/math]을 넣으면 [math]\displaystyle{ 2(0)+1=1\neq3 }[/math]여서 거짓이 되지만, [math]\displaystyle{ x=1 }[/math]을 넣으면 [math]\displaystyle{ 2(1)+1=3 }[/math]이여서 등식이 참이 됨을 쉽게 알 수 있다. 이 때, 이렇게 방정식을 만족시키도록 하는 x값을 우리는 방정식의 근 또는 해라고 하며 이러한 근을 구하는 것이 방정식의 일반적인 목표가 된다.

방정식의 성질(등식의 성질)

[math]\displaystyle{ a=b }[/math]라고 할 때

1. [math]\displaystyle{ a\pm c=b\pm c }[/math]
2. [math]\displaystyle{ ac=bc }[/math]
3. [math]\displaystyle{ \frac{a}{c}=\frac{b}{c}(c\ne 0) }[/math]
4. [math]\displaystyle{ \frac{c}{a}=\frac{c}{b} }[/math]

부등식

부등식이란, 부등호가 포함되어 있는 식을 의미한다. 우리가 지금까지 보아왔던 방정식에서 단지 등호가 부등호로 바뀌었을 뿐 큰 차이는 없다. 다만 몇 가지 중요한 내용은 확실하게 기억하자.

부등식의 성질

[math]\displaystyle{ a \lt b }[/math]이라고 할 때,

1. [math]\displaystyle{ a+c\lt b+c }[/math]
2. [math]\displaystyle{ a-c \lt b-c }[/math]
3. [math]\displaystyle{ \begin{cases} ac \lt bc, &\mbox{if }c\gt 0\\ ac \gt bc, &\mbox{if }c \lt 0 \end{cases} }[/math]
4. [math]\displaystyle{ \begin{cases} \tfrac{a}{c} \lt \tfrac{b}{c}, &\mbox{if }c \gt 0\\ \tfrac{a}{c} \gt \tfrac{b}{c}, &\mbox{if }c \lt 0 \end{cases} }[/math]

중요한 것은 곱하기와 나누기이다. 꼭! 기억하자. 부등식은 음수를 곱하거나 음수로 나누면 부등호의 방향이 바뀐다!

일차방정식

최고 차수가 1인 방정식, 즉 [math]\displaystyle{ ax+b=0 }[/math] 꼴로 만들 수 있는 방정식이다. 일차라고 했으므로 이렇게 적을 때는 [math]\displaystyle{ a \neq 0 }[/math]이다.

이항하여 [math]\displaystyle{ ax=-b }[/math] 형태로 정리한 후 양변을 [math]\displaystyle{ a }[/math]로 나누면 해가 나온다.

[math]\displaystyle{ (x =-{ b \over a}) }[/math]

1. [math]\displaystyle{ a=0, b=0 }[/math]일 때, 해가 무수히 많다.(부정=너무 많아서 정할 수 없다.)
2. [math]\displaystyle{ a=0, b\neq0 }[/math]일 때, 해가 없다.(불능=해를 찾는 것이 불가능하다.)
3. [math]\displaystyle{ a\neq0 }[/math]일 때, 아래 일차방정식 참고

즉, 일차방정식 문제가 나오면 기본적으로 x에 대해서, 정리해 보고 생각해 보는 것이 좋다.

이걸 어디에 어디다 쓰는가? 실생활에 엄청, 진짜 엄청 많다. 이차방정식과는 비교를 불허한다. 근데 푸는 방법 보면 알겠지만, 방정식 안 세우고 그냥 곱셈 나눗셈으로 해결해 버릴 수도 있어서……

예시 추가바람

예제) [math]\displaystyle{ (a^2-1)x=a-1 }[/math]의 해가 무수히 많도록 하는 [math]\displaystyle{ a }[/math]를 구하시오. sol) 일단 인수분해가 안 되어 있으면, 인수분해부터 하고 보자. 인수분해를 하면 식이 [math]\displaystyle{ (a-1)(a+1)x=(a-1) }[/math]이 된다. 일차방정식의 해가 무수히 많은 경우는 [math]\displaystyle{ 0\times x=0 }[/math]을 꼴을 만족하는 경우였으므로, [math]\displaystyle{ (a-1)(a+1) }[/math]과 [math]\displaystyle{ (a-1) }[/math]을 모두 0으로 만드는 값인 1이 답이된다.

연립일차방정식

여기서는 미지수가 2개인 연립일차방정식의 풀이법을 설명하며,이 문단에서는 앞의 미지수를 [math]\displaystyle{ x }[/math]와 [math]\displaystyle{ y }[/math]라 할 것이다. 미지수가 더 많은 경우는 가우스 소거법 참고.

연립일차방정식의 풀이법으로는 가감법과 대입법이 있다. 가감법은 두 식을 변끼리 서로 더하거나 빼는 것이고, 대입법은 어떠한 미지수에 관한 식을 다른 식에 대입하여 푸는 것이다.

[math]\displaystyle{ \begin{cases}x+3y=27 \\ 5x+4y=80\end{cases} }[/math]를 예시로 들어보겠다.

가감법을 이용한 풀이

1. 우리가 풀 식이다.
   [math]\displaystyle{ \begin{cases}x+3y=27 \\ 5x+4y=80\end{cases} }[/math]
2. x,y 둘중 하나를 아무렇게나 선택한다. 여기서는 x를 선택한다.
3. x의 계수가 같도록 두 식에 어떤 수를 곱한다.
   [math]\displaystyle{ \begin{cases}5x+15y=135 \\ 5x+4y=80\end{cases} }[/math]
4. 이제 두 식에서 x 항을 없애야 한다. 변끼리 빼보자.
   [math]\displaystyle{ (5x+15y)-(5x+4y)=135-80 }[/math]
5. y와 상수항으로 이루어진 식이 나왔다.
   [math]\displaystyle{ 11y=55 }[/math]
   양변을 11로 나누면 [math]\displaystyle{ y=5 }[/math]이다.
6. 이제 y를 구했으니 x를 구해야 한다. 이건 간단하다. 그냥 아무 식에 y의 값을 대입하면 된다.
   1. [math]\displaystyle{ x+3y=27 }[/math]
   2. [math]\displaystyle{ x+15=27 }[/math]
   3. [math]\displaystyle{ x=12 }[/math]

결과적으로 [math]\displaystyle{ x=12 }[/math]이고 [math]\displaystyle{ y=5 }[/math]이다.

대입법을 이용한 풀이

1. x,y 둘 중 하나를 선택한다. 이왕이면 두 식을 [math]\displaystyle{ ax+by=c }[/math]꼴로 정리해서 계수가 1 또는 −1인 식이 있는 놈으로, 여기서는 x를 선택한다.
2. x에 대한 식을 만든다. [math]\displaystyle{ x=27-3y }[/math]
3. 다른 식 [math]\displaystyle{ 5x+4y=80 }[/math]에 [math]\displaystyle{ x=27-3y }[/math]를 대입한다.
   1. [math]\displaystyle{ 5(27-3y)+4y=80 }[/math]
   2. [math]\displaystyle{ 135-15y+4y=80 }[/math]
   3. [math]\displaystyle{ 135-11y=80 }[/math]
   4. [math]\displaystyle{ -11y=-55 }[/math]
   5. [math]\displaystyle{ 11y=55 }[/math]
   6. [math]\displaystyle{ y=5 }[/math]
4. y를 구했으니 이제 아무 식에 [math]\displaystyle{ y=5 }[/math]를 대입해서 x를 구해보자.
   1. [math]\displaystyle{ x+3y=27 }[/math] ([math]\displaystyle{ 5x+4y=80 }[/math]을 이용해도 됨.)
   2. [math]\displaystyle{ x+15=27 }[/math]
   3. [math]\displaystyle{ x=12 }[/math]

결과적으로 [math]\displaystyle{ x=12 }[/math]이고 [math]\displaystyle{ y=5 }[/math]이다.

해의 개수

[math]\displaystyle{ \begin{cases} ax+by=c \\ dx+ey=f\end{cases} }[/math] 꼴의 연립이차방정식에서 해가 없는 가 있는 가 무한한가를 아주 쉽게 알 수 있다.

• [math]\displaystyle{ {a \over d}\neq{b \over e} }[/math]이라면 해는 하나로 결정된다.
• [math]\displaystyle{ {a \over d}={b \over e}\neq{c \over f} }[/math]이라면 해가 존재하지 않는다(불능).
• [math]\displaystyle{ {a \over d}={b \over e}={c \over f} }[/math]이라면 해가 무한히 많이 존재한다(부정).

일차부등식

어디다 쓰는가? 실생활에 진짜 어어어어어어엄청 많다. 일차방정식보다 훨씬 더 많다!

• 감자를 사러 3천 원을 갖고 나왔는데 100g에 150원이다(참고로 엄청 싼 거다). 몇 그램 살 수 있을까?
• 학생들 484명을 강당에 앉혀야 하는데 한 줄에 20명씩 앉도록 의자를 배치하려고 한다. 최소 몇 줄 깔아야 할까?
• “어 지금 열심히 밟고 있어 2시까지 도착하면 되는 거지? 유성 톨게이트에서 들어가는 데 지금 길 안 막히니까 15분이면 넉넉하지 않나? 나 이제 막 (서울) 톨게이트 지났는데 한번 시간 안에 가 볼게. 뭐? 지금이 1시 5분 전인데 평균 시속 몇 킬로미터로 밟아야 하냐구?”

일차부등식은 식을 정리했을 때 일차방정식과 거의 차이가 없지만, 부등식이 있을 뿐이다. 즉

• [math]\displaystyle{ ax+b \gt 0 }[/math]
• [math]\displaystyle{ ax+b \ge 0 }[/math]
• [math]\displaystyle{ ax+b \lt 0 }[/math]
• [math]\displaystyle{ ax+b \le 0 }[/math]

네 개중 한 가지의 형태로 나오게 된다.

연립일차부등식

연립일차방정식을 푸는 과정보다는 간단하다.

미지수가 하나인 경우

먼저, 각각의 부등식을 풀어둔다. 그 다음에는 수직선 위의 그래프를 이용해 범위를 표현한다.

• [math]\displaystyle{ x\ge a }[/math]의 경우에는

• [math]\displaystyle{ x\le b }[/math]의 경우에는

• [math]\displaystyle{ x \gt c }[/math]의 경우에는

• [math]\displaystyle{ x \lt d }[/math]의 경우에는

주의할 점은 다음 그림과 같이 두 개 이상의 식의 범위를 표현할 때에는 각각의 높이를 다르게 표현해야 한다는 것이다. 마지막으로, 연립된 모든 식의 그래프가 겹치는 범위를 칠한다. 이렇게 칠해진 범위가 이 부등식의 답이다.

이차방정식

이차방정식이란 최고차항이 2차항인 방정식, 즉 [math]\displaystyle{ ax^2 + bx + c = 0 }[/math] 꼴의 방정식을 말한다. 최고차항이 2차항이므로, 당연히 [math]\displaystyle{ a \neq 0 }[/math]임을 함의한다.

이차방정식의 풀이 전략은 보통 다음과 같다.

• 인수분해를 한다.
• 근의 공식 [math]\displaystyle{ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} }[/math]를 이용한다.

즉 인수분해를 할 수 없거나, (할 수 있더라도) 어떻게 해야 할지 모르겠는 경우에는 근의 공식을 써야만 한다. 그리고 근의 공식을 쓰면 언제나 풀린다.

근의 공식을 못 외우겠어요! 그 경우 근의 공식을 유도하는 아래 방법을 따라가면 된다. 괜히 유도방법을 주저리주저리 적어 놓은 게 아니다. 사실 생각해 보면 이차방정식을 풀기 위한 굉장히 당연한 방식이고, 이 유도방법을 따라가다 보면 근의 공식이 저절로 외워질 수도 있다.

사실 요즘 계산기가 잘 돼 있어서, 위 [math]\displaystyle{ ax^2 + bx + c = 0 }[/math] 꼴에 해당하는 a, b, c의 값만 차례로 입력하면 알아서 해를 구해 주기는 한다. 3차, 4차 방정식도 마찬가지.

이차방정식의 근의 공식의 유도

일단 기본 아이디어는 “완전제곱식으로 만들자”는 것이다. 즉, [math]\displaystyle{ y^2 = k }[/math]라면 [math]\displaystyle{ y = \pm \sqrt{k} }[/math]임을 이용하자는 것이다. 아래에서 어떻게 완전제곱식을 만드는지 감상해 보자.

1. 무엇보다 먼저 이차방정식을 [math]\displaystyle{ ax^2+bx+c=0 }[/math] 꼴로 정리한다(별 소리 아닌 것 같지만 중요하다). 2. [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0 }[/math] (양변을 [math]\displaystyle{ a }[/math]로 나눔) 3. [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a} }[/math] (상수항을 우변으로 이항) 4. [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow x^2+\frac{b}{a}x+\left( \frac{b}{2a} \right)^2=\left( \frac{b}{2a} \right)^2-\frac{c}{a} }[/math] (★★★★★) 5. [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow \left( x+\frac{b}{2a} \right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2} }[/math] (좌변은 인수분해, 우변은 통분) 6. [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow x+\frac{b}{2a}=\pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a} }[/math] (완전제곱식 꼴의 이차방정식의 풀이) 7. [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} }[/math] (상수항을 우변으로 몰아서 정리하면 끝!)

위 별표 5개 쳐진 4단계가 제일 중요하다!! 저 단계만 제대로 할 줄 알면 근의 공식을 다 이해한 거나 마찬가지이다.

지금 좌변을 완전제곱식 꼴, 즉 [math]\displaystyle{ (x+q)^2 }[/math]가 전개된 형태([math]\displaystyle{ x^2+2qx+q^2 }[/math])로 만드는 것이 목적이다. 그러기 위해서는

‘일차항의 계수 [math]\displaystyle{ \tfrac{b}{a} }[/math]의 절반의 제곱’

을 좌우변에 더해야 한다. 이렇게 하면 좌변은 완전제곱식, 우변은 상수! 가 되어 이차방정식을 풀 모든 준비가 끝난 것이다.

아니, 인수분해 공식에 [math]\displaystyle{ (px+q)^2 }[/math]도 있는데 [math]\displaystyle{ p^2x^2+2pqx+q^2 }[/math] 꼴로 만들면 안 되냐고? 물론 된다. 그때는 ‘일차항의 계수와 이차항의 계수의 비 [math]\displaystyle{ \tfrac{b}{a} }[/math]의 절반의 제곱의 [math]\displaystyle{ a }[/math]배’(헥헥)를 더하면 된다. 근데…… 헷갈린다. 무엇보다 귀찮다. 그래서 처음에 양변을 [math]\displaystyle{ a }[/math]로 나누고 시작한 것이다. 즉 어렵게 만들려고 유도과정을 이렇게저렇게 꼬아 놓은 게 아니고, 제일 생각하기 편한 방식으로 하고 있는 것이다.

실제로 이차방정식을 하나 풀어 보면 훨씬 감이 잘 올 것이다.

문제) 다음 이차방정식의 해를 구하시오. [math]\displaystyle{ x^2 - x - 1 = 0 }[/math] 풀이) 일단 인수분해가 안 된다! 완전제곱식 꼴로 만들 생각을 해 본다. 우선 상수항이 걸리적거리니까 우변으로 옮긴다. [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow x^2 - x = 1 }[/math] 좌변에 뭘 더해 줘야 완전제곱식 꼴이 될지 고민한다. 답은 일차항의 계수의 절반의 제곱. 즉, 1/4이다. 즉 [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow x^2 - x + \tfrac{1}{4} = \tfrac{5}{4} \Leftrightarrow (x-\tfrac{1}{2})^2 = \tfrac{5}{4} }[/math]. 이런 꼴의 이차방정식은 풀 수 있다! 즉, [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow x - \tfrac{1}{2} = \pm \tfrac{\sqrt{5}}{2} \Leftrightarrow x = \tfrac{1 \pm \sqrt{5}}{2} }[/math]. 끝!

위 과정을 일반적인 경우에 대하여 문자로 나타낸 것이 근의 공식일 뿐이다. 즉 어려울 것이 하나도 없다.

참고로 지금 황금비(golden ratio)를 구한 것이다(정확히는 [math]\displaystyle{ \tfrac{1 + \sqrt{5}}{2} = 1.618 \cdots }[/math]가 황금비)

지수-로그 방정식

먼저, 지수함수와 로그함수를 먼저 보고 오자.