시리즈:수포자도 쉽게 알 수 있는 수학/문자와 식 및 방정식과 부등식 편집하기

<includeonly></includeonly>{{쉽게 알 수 있다 시리즈
|수학이 정말 쉬워서 저 수포자 그만둡니다.
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==문자와 식==
==다항식의 연산과 인수분해==
===다항식의 연산===
===다항식의 곱셈정리 및 인수분해===
== 방정식과 부등식 ==
===방정식===
방정식이란 등식의 일종으로 x에 어떤 값을 대입하느냐에 따라서 식의 참과 거짓이 바뀌는 식을 의미한다. 예를 들어 

<math>2x+1=3</math>

이라는 식이 있다고 하자. 위 식에 <math>x=0</math>을 넣으면 <math>2(0)+1=1\neq3</math>여서 거짓이 되지만, <math>x=1</math>을 넣으면 <math>2(1)+1=3</math>이여서 등식이 참이 됨을 쉽게 알 수 있다. 이 때, 이렇게 '''방정식을 만족시키도록 하는 x값'''을 우리는 방정식의 '''근''' 또는 '''해'''라고 하며 이러한 근을 구하는 것이 방정식의 일반적인 목표가 된다. 
====<math>ax+b=0</math>꼴의 방정식====
이항하여 <math>ax=-b</math>의 형태로 정리한다.

# <math>a=0, b=0</math>일 때, 해가 무수히 많다.(부정=너무 많아서 정할 수 없다.)
# <math>a=0, b\neq0</math>일 때, 해가 없다.(불능=해를 찾는 것이 불가능하다.)
# <math>a\neq0</math>일 때, 아래 일차방정식 참고
==== 일차방정식 ====
최고 차수가 1인 방정식, 즉 <math>ax+b=0</math> 꼴로 만들 수 있는 방정식이다. 일차라고 했으므로 이렇게 적을 때는 <math>a \neq 0</math>이다.

이항하여 <math>ax=-b</math> 형태로 정리한 후 양변을 <math>a</math>로 나누면 해가 나온다.

<math>(x =-{ b \over a})</math>

즉, 일차방정식 문제가 나오면 기본적으로 x에 대해서, 정리해 보고 생각해 보는 것이 좋다.

이걸 어디에 어디다 쓰는가? 실생활에 엄청, 진짜 엄청 많다. 이차방정식과는 비교를 불허한다. 근데 푸는 방법 보면 알겠지만, 방정식 안 세우고 그냥 곱셈 나눗셈으로 해결해 버릴 수도 있어서……

예시 [[추가바람]]

{{인용문2|예제) <math>(a^2-1)x=a-1</math>의 해가 무수히 많도록 하는 <math>a</math>를 구하시오. 
sol) 일단 인수분해가 안 되어 있으면, 인수분해부터 하고 보자.

인수분해를 하면 식이 <math>(a-1)(a+1)x=(a-1)</math>이 된다.

일차방정식의 해가 무수히 많은 경우는 <math>0\times x=0</math>을 꼴을 만족하는 경우였으므로,

<math>(a-1)(a+1)</math>과 <math>(a-1)</math>을 모두 0으로 만드는 값인 1이 답이된다.
}}

==== 연립일차방정식 ====
여기서는 미지수가 2개인 연립일차방정식의 풀이법을 설명하며,이 문단에서는 앞의 미지수를 <math>x</math>와 <math>y</math>라 할 것이다.

연립일차방정식의 풀이법으로는 가감법과 대입법이 있다. 가감법은 두 식을 변끼리 서로 더하거나 빼는 것이고, 대입법은 어떠한 미지수에 관한 식을 다른 식에 대입하여 푸는 것이다.

<!-- x=12, y=5 -->
<math>\begin{cases}x+3y=27 \\ 5x+4y=80\end{cases}</math>를 예시로 들어보겠다.
===== 가감법을 이용한 풀이 =====
#우리가 풀 식이다. <br /> <math>\begin{cases}x+3y=27 \\ 5x+4y=80\end{cases}</math>
#x,y 둘중 하나를 아무렇게나 선택한다. 여기서는 x를 선택한다.
#x의 계수가 같도록 두 식에 어떤 수를 곱한다. <br /> <math>\begin{cases}5x+15y=135 \\ 5x+4y=80\end{cases}</math>
#이제 두 식에서 x 항을 없애야 한다. 변끼리 빼보자. <br /> <math>(5x+15y)-(5x+4y)=135-80</math>
# y와 상수항으로 이루어진 식이 나왔다. <br /><math>11y=55</math><br />양변을 11로 나누면 <math>y=5</math>이다.
# 이제 y를 구했으니 x를 구해야 한다. 이건 간단하다. 그냥 아무 식에 y의 값을 대입하면 된다.
##<math>x+3y=27</math>
##<math>x+15=27</math>
##<math>x=12</math>
결과적으로 <math>x=12</math>이고 <math>y=5</math>이다.
===== 대입법을 이용한 풀이 =====
#x,y 둘 중 하나를 선택한다. 이왕이면 두 식을 <math>ax+by=c</math>꼴로 정리해서 계수가 1 또는 −1인 식이 있는 놈으로, 여기서는 x를 선택한다.
#x에 대한 식을 만든다. <math>x=27-3y</math>
#다른 식 <math>5x+4y=80</math>에 <math>x=27-3y</math>를 대입한다.
## <math>5(27-3y)+4y=80</math>
## <math>135-15y+4y=80</math>
## <math>135-11y=80</math>
## <math>-11y=-55</math>
## <math>11y=55</math>
## <math>y=5</math>
#y를 구했으니 이제 아무 식에 <math>y=5</math>를 대입해서 x를 구해보자.
## <math>x+3y=27</math> (<math>5x+4y=80</math>을 이용해도 됨.)
## <math>x+15=27</math>
## <math>x=12</math>
결과적으로 <math>x=12</math>이고 <math>y=5</math>이다.
===== 해의 개수 =====
<math>\begin{cases} ax+by=c \\ dx+ey=f\end{cases}</math> 꼴의 연립이차방정식에서 해가 없는 가 있는 가 무한한가를 아주 쉽게 알 수 있다.
*<math>{a \over d}\neq{b \over e}</math>이라면 해는 하나로 결정된다.
*<math>{a \over d}={b \over e}\neq{c \over f}</math>이라면 해가 존재하지 않는다(불능).
*<math>{a \over d}={b \over e}={c \over f}</math>이라면 해가 무한히 많이 존재한다(부정).

==== 이차방정식 ====
이차방정식이란 최고차항이 2차항인 방정식, 즉 <math>ax^2 + bx + c = 0</math> 꼴의 방정식을 말한다. 최고차항이 2차항이므로, 당연히 <math>a \neq 0</math>임을 함의한다.

이차방정식의 풀이 전략은 보통 다음과 같다.
* 인수분해를 한다.
* 근의 공식 <math>x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}</math>를 이용한다.

즉 인수분해를 할 수 없거나, (할 수 있더라도) 어떻게 해야 할지 모르겠는 경우에는 근의 공식을 써야만 한다. 그리고 근의 공식을 쓰면 언제나 풀린다.

근의 공식을 못 외우겠어요! 그 경우 근의 공식을 유도하는 아래 방법을 따라가면 된다. 괜히 유도방법을 주저리주저리 적어 놓은 게 아니다. 사실 생각해 보면 이차방정식을 풀기 위한 굉장히 당연한 방식이고, 이 유도방법을 따라가다 보면 근의 공식이 저절로 외워질 수도 있다.

사실 요즘 계산기가 잘 돼 있어서, 위 <math>ax^2 + bx + c = 0</math> 꼴에 해당하는 ''a'', ''b'', ''c''의 값만 차례로 입력하면 알아서 해를 구해 주기는 한다. 3차, 4차 방정식도 마찬가지.

===== 제곱근의 성질<del>무리수 파트로 옮기는게 나을 것 같습니다.</del> =====
* <math>\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}</math>
* <math>\sqrt{a} + \sqrt{b} \neq \sqrt{a+b}</math>이다. 예시를 들면 <math> \sqrt 9 + \sqrt 4 = \sqrt 25 \neq \sqrt 13 </math>이다.
* <math>\sqrt{a} \div \sqrt{b} = \sqrt{a \over b}</math>
* <math>\sqrt{a^2 \times b} = a\sqrt{b}</math>
* <math>a^2=b</math>일때 <math>a=\pm\sqrt{b}</math>이다.
이건 기본 상식이니 외워두자.

===== 인수분해가 무엇인가? =====
인수분해(factorization)이란, 어떤 다항식을 그 식의 인수들의 곱으로 나타내는 것을 말한다. 인수란 그 다항식을 나누는 다른 다항식이다.

예를 들어 우리는 자연수 12를 <math>12=2^2\times 3</math>으로 [[소인수분해|소'''인수'''분해]]할 수 있음을 알고 있다. 여기서의 인수가 바로 그 인수이다.

이는 문자가 포함되어 있는 식에도 동일하게 적용될 수 있다. 만약에 <math>(a+b)^2</math>라는 식이 있다고 하자. 이를 전개하면 <math>a^2+2ab+b^2</math>이 된다.

즉,

<math>a^2+2ab+b^2=(a+b)^2</math>

이다. 여기서 <math>a^2+2ab+b^2</math>를 <math>(a+b)\times(a+b)</math>의 곱하기의 형태로 표현 했으므로, 이것이 바로 인수분해이다. 즉, 인순분해와 전개는 서로 거꾸로라고 할 수 있다. 

인수분해는 고등학교 1학년 때 배우는 부분이지만 그 이후 3학년까지 계속해서 사용되므로 전부 능숙하게 할 수 있어야 한다. 그리고 물론 능숙하게 하기 위해서는 많은 연습을 통해 요령을 아는 것이 중요하다.
===== 인수분해 공식 =====
# <math>a^2 \pm 2ab+b^2=(a \pm b)^2</math>
# <math>a^2-b^2=(a+b)(a-b)</math>
# <math>x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)</math>
# <math>acx^2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)</math>
이 외에도 많이 있으나 일단 이차식에 사용되는 공식은 이 정도이다.
===== 이차방정식의 근의 공식의 유도 =====
일단 기본 아이디어는 “완전제곱식으로 만들자”는 것이다. 즉, <math>y^2 = k</math>라면 <math>y = \pm \sqrt{k}</math>임을 이용하자는 것이다. 아래에서 어떻게 완전제곱식을 만드는지 감상해 보자.

{{인용문2|
1. 무엇보다 먼저 이차방정식을 <math>ax^2+bx+c=0</math> 꼴로 정리한다(별 소리 아닌 것 같지만 중요하다).

2. <math>\Leftrightarrow x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0</math> (양변을 <math>a</math>로 나눔)

3. <math>\Leftrightarrow x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}</math> (상수항을 우변으로 이항)

4. <math>\Leftrightarrow x^2+\frac{b}{a}x+\left( \frac{b}{2a} \right)^2=\left( \frac{b}{2a} \right)^2-\frac{c}{a}</math> (★★★★★)

5. <math>\Leftrightarrow \left( x+\frac{b}{2a} \right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}</math> (좌변은 인수분해, 우변은 통분)

6. <math>\Leftrightarrow x+\frac{b}{2a}=\pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math> (완전제곱식 꼴의 이차방정식의 풀이)

7. <math>\Leftrightarrow x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math> (상수항을 우변으로 몰아서 정리하면 끝!)}}

위 별표 5개 쳐진 4단계가 제일 중요하다!! 저 단계만 제대로 할 줄 알면 근의 공식을 다 이해한 거나 마찬가지이다.

지금 좌변을 완전제곱식 꼴, 즉 <math>(x+q)^2</math>가 전개된 형태(<math>x^2+2qx+q^2</math>)로 만드는 것이 목적이다. 그러기 위해서는
:‘일차항의 계수 <math>\tfrac{b}{a}</math>의 절반의 제곱’
을 좌우변에 더해야 한다. 이렇게 하면 좌변은 완전제곱식, 우변은 상수! 가 되어 이차방정식을 풀 모든 준비가 끝난 것이다.

아니, 인수분해 공식에 <math>(px+q)^2</math>도 있는데 <math>p^2x^2+2pqx+q^2</math> 꼴로 만들면 안 되냐고? 물론 된다. 그때는 ‘일차항의 계수와 이차항의 계수의 비 <math>\tfrac{b}{a}</math>의 절반의 제곱의 <math>a</math>배’(헥헥)를 더하면 된다. 근데…… 헷갈린다. 무엇보다 귀찮다. 그래서 처음에 양변을 <math>a</math>로 나누고 시작한 것이다. 즉 어렵게 만들려고 유도과정을 이렇게저렇게 꼬아 놓은 게 아니고, 제일 생각하기 편한 방식으로 하고 있는 것이다.

실제로 이차방정식을 하나 풀어 보면 훨씬 감이 잘 올 것이다.

{{인용문2|
문제) 다음 이차방정식의 해를 구하시오. <math>x^2 - x - 1 = 0</math>

풀이)</p>

일단 인수분해가 안 된다! 완전제곱식 꼴로 만들 생각을 해 본다.

우선 상수항이 걸리적거리니까 우변으로 옮긴다. <math>\Leftrightarrow x^2 - x = 1</math><br />
좌변에 뭘 더해 줘야 완전제곱식 꼴이 될지 고민한다. 답은 일차항의 계수의 절반의 제곱. 즉, 1/4이다.<br />
즉 <math>\Leftrightarrow x^2 - x + \tfrac{1}{4} = \tfrac{5}{4} \Leftrightarrow (x-\tfrac{1}{2})^2 = \tfrac{5}{4}</math>.

이런 꼴의 이차방정식은 풀 수 있다!<br />
즉, <math>\Leftrightarrow x - \tfrac{1}{2} = \pm \tfrac{\sqrt{5}}{2} \Leftrightarrow x = \tfrac{1 \pm \sqrt{5}}{2}</math>. 끝!}}

위 과정을 일반적인 경우에 대하여 문자로 나타낸 것이 근의 공식일 뿐이다. 즉 어려울 것이 하나도 없다.

참고로 지금 황금비(golden ratio)를 구한 것이다(정확히는 <math>\tfrac{1 + \sqrt{5}}{2} = 1.618 \cdots</math>가 황금비).

===부등식===
부등식이란, 부등호가 포함되어 있는 식을 의미한다. 우리가 지금까지 보아왔던 방정식에서 단지 등호가 부등호로 바뀌었을 뿐 큰 차이는 없다. 다만 몇 가지 중요한 내용은 확실하게 기억하자.
====부등식의 성질====
<math>a < b</math>이라고 할 때,
# <math>a+c\lt b+c</math>
# <math>a-c \lt b-c</math>
# <math>\begin{cases}
ac \lt bc, &\mbox{if }c>0\\
ac \gt bc, &\mbox{if }c \lt 0
\end{cases}</math>
# <math>\begin{cases}
\tfrac{a}{c} \lt \tfrac{b}{c}, &\mbox{if }c \gt 0\\
\tfrac{a}{c} \gt \tfrac{b}{c}, &\mbox{if }c \lt 0
\end{cases}</math>

중요한 것은 곱하기와 나누기이다. 꼭! 기억하자. 부등식은 음수를 곱하거나 음수로 나누면 부등호의 방향이 바뀐다!

==== 일차부등식 ====
어디다 쓰는가? 실생활에 진짜 어어어어어어엄청 많다. 일차방정식보다 훨씬 더 많다!

* 감자를 사러 3천 원을 갖고 나왔는데 100g에 150원이다(참고로 엄청 싼 거다). 몇 그램 살 수 있을까?
* 학생들 484명을 강당에 앉혀야 하는데 한 줄에 20명씩 앉도록 의자를 배치하려고 한다. 최소 몇 줄 깔아야 할까?
* “어 지금 열심히 밟고 있어 2시까지 도착하면 되는 거지? 유성 톨게이트에서 들어가는 데 지금 길 안 막히니까 15분이면 넉넉하지 않나? 나 이제 막 (서울) 톨게이트 지났는데 한번 시간 안에 가 볼게. 뭐? 지금이 1시 5분 전인데 평균 시속 몇 킬로미터로 밟아야 하냐구?”

==== 이차부등식 ====


{{주석}}
{{리브레 시리즈}}
[[분류:수학]]