시리즈:수포자도 쉽게 알 수 있는 수학

수학이 정말 쉬워서 저 수포자 그만둡니다.

문서의 내용이 너무 쉬워서 머리속에 쏙쏙 들어옵니다.

이 문서는 쉽게 알 수 있다 시리즈이며, 집단연구 문서입니다.

이 문서에는 독자적으로 연구한 내용이 들어갑니다. 다른 사람의 의견을 존중하면서 무례하지 않도록 작성해 주시고, 의견 충돌 시 토론 문서에서 토론해 주세요.

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들어가기 전

이 항목은 너 나 우리 수포자도 이해할 수 있는 수학 개념들을 적어보는 집단연구 문서이다.

수학 고수 여러분 부탁합니다

수학에서 중요하지만서도 우리 수포자들을 좌절케 하는 개념들을 위주로 서술하면 좋을 듯하다. 엄밀한 의미의 정의는 다른 문서에서 서술한다. 엄밀하게 들어가면 끝이 없기 때문에..

수학을 공부하는 이유

교과과정에서 흔히 만날 수 있는 수학은 이유도 목적도 알려주지 않은 채 일단 문제를 풀으라는 식으로 되어있는 경우가 많다.입시 교육의 폐해 애초에 수학은 왜 공부하는걸까?

수포자들에게 굳이 수학을 가르치는 이유

사실 살면서 다시는 근의공식을 쓰거나 미적분은 손도 댈 일이 없는 사람이 대부분이다. 그런데도 굳이 수학을 왜 가르칠까? 수학이 전체 교육과정의 일부인 것은 수학적 지식을 전수하기 위해서라기보다는 논리적 사고력을 키우기 위해서이다.

...뭐 말이 그렇지만 사실 수학 안가르쳐도 될것같다. 논리적 사고력은 퍼즐게임이랑 프로그래밍으로 대부분 대체 가능하지 않을까? 안타깝게도 정말 이게 낫다고 해도 수학교사가 정말 많기 때문에 수학을 정규교육 과정에서 제하면 전국에서 교사들이 들고 일어날 것으로 보인다. 단단하게 고착화되어버린 체제는 암덩어리라 해도 쉽게 들어내기 힘든 법이다.근데 논리력 기른다고 수학대신에 프로그래밍 배우면 오히려 더 헬인 건 함정.

수학이 중요한 이유

굳이 인류 전체에게 수학을 가르쳐야 하는지는 모르겠지만 현대문명의 발달에 수학이 뗄 수 없는 존재인 것은 사실이다. 수학은 정말 쓰임새가 많은 학문이다. 수학의 쓸모를 설명하기 위해 많은 수포자들이 가장 눈꼴사납게 보는 것 중 하나가 미적분의 쓸모를 예로 들어보겠다.

미적분은 미세한 변화를 토대로 현실을 모델링하는 학문이다. 즉 방정식 몇개만 주면 현실을 상당히 정확히 시뮬레이션 할 수 있는 것이다. 덕분에 미적분은 현대 문명의 모든 곳에 다 쓰인다. 예를 들면:

• 날씨의 미세한 변화를 공부함으로써 지금의 날씨로 보아서 미래의 날씨를 예측할 수 있게 해준다.(나바에-스톡스 방정식)
• 전자기장의 미세한 변화를 공부함으로써 전자기장의 정확한 컨트롤을 할 수 있게 해준다. 이걸 열심히 한 덕분에 컴퓨터, 전구, 전자악기 등 모든 전자장비를 만들수 있게 되었다.(맥스웰 방정식)
• 화학반응의 미세한 변화를 공부함으로써 어떻게 화합물을 섞어야 최대효율로 섞을 수 있는지를 알게 되었고, 덕분에 샴푸나 칫솔, 비료 등의 제품들을 대량으로 얻을 수 있게 되었다.
• 금융경제의 미세한 변화를 공부함으로써 미래의 주식가격을 예측할 수 있게 해준다. (블랙-쇼올즈 방정식)

이 밖에도 정수론이나 상대성이론같은 자연의 신비를 연구하는 데에도 미적분이 사용된다.

한편 쓰임새를 다 떠나서, [math]\displaystyle{ \frac1{1^2}+\frac1{2^2}+\frac1{3^2}+\cdots = \frac{\pi^2}6 }[/math]같은 식들을 보라. 제곱수의 역수들을 쭉 더했더니... 원의 둘레와 지름의 비율이 나왔다! 아무 관련 없는 두 개념이 신비롭게 연결되는 것을 목격할 수 있다. (그리고 이걸 증명하는 것도 쉽지는 않다) 수학공부를 깊게 하면 이런 경이로움을 밥먹듯이 만나기 때문에 재미로만 수학연구를 계속 하는 수학자들이 존재한다.

정수론

사실 많은 내용이 나오지 않는다. 이 뒤의 심화 내용들이 문제지만..

나머지 정리

모든 정수는 다른 정수로 나눈 몫과 나머지를 이용해 나타낼 수 있다. 그런데 그렇게 나타내는 방법은 제수(다른 수를 나누는 수)가 정해지면 유일하다는 것이다.

몫과 나머지에 대한 설명 추가바람

예를 들어, 7을 3으로 나눈다고 하자. 그러면 몫은 2, 나머지는 1이다. 따라서, [math]\displaystyle{ 7=3\times 2+1 }[/math]이라고 쓸 수 있다. 그런데 7을 3으로 나눌 때 몫은 2 이외의 값이 안 나오고 나머지도 1 이외의 값이 안 나온다.

이번에는 -12를 5로 나눈다고 하자. 그러면 몫은 -3, 나머지는 3이다. 따라서, [math]\displaystyle{ -12=5\times \left(-3\right)+3 }[/math]이라고 쓸 수 있다. 여기에서 중요한 것은 제수는 항상 자연수이고, 나머지는 0 이상이며 제수보다 작은 정수이다. 나머지를 이렇게 정의하면, 앞서 제시한 예와 마찬가지로 -12를 5으로 나눌 때 몫은 -3 이외의 값이 안 나오고 나머지도 3 이외의 값이 안 나온다.

절댓값

절댓값의 정의는 어떤 수를 수직선에 표시했을 때 원점(0)에서부터의 거리인데, 그냥 부호만 빼면 된다. 4의 절대값은 4이고 -3의 절댓값은 3이 된다.

함수(해석학)

함수의 극한

극한에 들어가기에 앞서 일러두고 싶은 점은 극한은 엄밀하게 따지려하기 보다는 그냥 직관적으로 받아들이라는 것이다. 무한은 유한과는 전혀 다른 세상이라 유한에서 말도 안 되는 일이 무한에서는 당연하다는 듯이 일어나는 경우가 많다. 그러다보니 얕은 지식으로 깊에 들어가려고 하면 여러 부분에서 개념의 혼선을 빚게 되는 경우가 생긴다. 그러므로 극한의 엄밀한 정의는 해석학을 연구하는 수학자들에게 맡기자.

자 여기에 1/x 가 있는데, 여기서 x 가 점점 커진다고 해 보자. x = 100, 10000, 100000000... 이 되면 1/x = 0.01, 0.0001, 0.00000001... 이 될 것이다. 이렇게 쭉 해 보면, x 가 커질수록 1/x 는 0 에 가까워진다. 유식한 말로 하면, 'x 가 무한히 커지면 1/x 는 0 에 수렴한다' 고 한다. 기호로는 이렇게 쓴다.

[math]\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0 }[/math]

x 가 무한대에 가까워질 때 그 극한 (limit) 은 0 에 가까워진다는 것이다. 0 이 되는 것은 아니지만, 0 을 목표로 가까이 간다는 소리다. 마치 아무리 공부해도 100점에 도달하지는 못하지만, 목표는 100점으로 잡는 것과 같다.

이번에는 x 가 무한대가 아니라 특정한 숫자에 가까이 가는 것을 생각해 보자. 예를 들어 [math]\displaystyle{ \frac{x^2 - 1}{x - 1} }[/math] 에서 x 가 1에 가까이 간다고 해 보자. x = 1 을 대입하면 분자도 분모도 0 이 되니까 답이 없을 것 같지만, x = 0.9, 0.999, 0.99999... 를 대입해 계산기를 두드려 보면, 저 값은 1.9, 1.999, 1.99999... 가 나온다. 생각해 보면 [math]\displaystyle{ \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \frac{(x + 1)(x - 1)}{x - 1} = x + 1 }[/math]이 되기 때문에 당연하다. 힝 속았지? 하지만 주의해야 할 것이, 여기서 x 가 1 에 가깝지만 1 은 아니기 때문에, x - 1 이 0 이 아니라서 나눌 수 있는 것이다. 만약 x 가 진짜로 1 이었으면 이렇게 약분하지 못했을 것이다. 하여튼 이걸

[math]\displaystyle{ \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = 2 }[/math]

라고 쓴다.

이번엔 좀 어려운 걸로, [math]\displaystyle{ \frac{sin x}{x} }[/math] 에서 x 가 0 에 가까워지는 걸 보자. 엄밀한 증명은 생략하고 계산기를 두드려 x = 0.1, 0.01, 0.001... 을 넣어 보면 저 값은 0.99833416, 0.99998333, 0.99999983... 이 된다. 점점 커지면서 1에 가까워지지만, 1이 되거나 1을 넘어가지는 않는다. 따라서

[math]\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{sin x}{x} = 1 }[/math]

이다. 이걸 다른 말로 풀면, x 가 아주 작아서 0 에 가까울 때 sin x 는 x 와 거의 같다는 말도 된다.

위와 같이 어떠한 함수에 극한을 취했을 때, 그 극한값이 특정한 값으로 가는 경우를 수렴, 그렇지 않는 경우를 발산이라고 한다. 이 때 발산은 값이 수렴하지만 않으면 되므로 극한값이 [math]\displaystyle{ \infty }[/math]인 경우와 [math]\displaystyle{ -\infty }[/math]인 경우, 그리고 진동하는 경우를 포함한다.

그래프를 예로들어 설명하면 [math]\displaystyle{ \lim_{x \to a} f(x) }[/math]이란, 어떠한 함수 f(x)의 그래르를 따라 x가 a에 도달할 때 도착하는 점의 y값이라고 볼 수 있다.(함수에서 최대값, 극대값, 극한값 처럼 값이 들어가는 것은 죄다 y값을 의미한다.) 이 때, a 지점에 도착할 수 있는 방향은 두 가지가 있는데 하나는 a의 왼쪽으로부터 다가오는 것이고, 다른 하나는 a의 오른쪽으로부터 다가오는 것이다. 이를 각각 좌극한과 우극한이라고 부르고 다음과 같이 표기한다.

좌극한 : [math]\displaystyle{ \lim_{x \to a-0} f(x) }[/math] 우극한 : [math]\displaystyle{ \lim_{x \to a+0} f(x) }[/math]

이 때 좌극한과 우극한이 서로 다르다면 과연 극한값을 무엇일까? 대답하기가 곤란한 질문이다. 그래서 이렇게 좌극한과 우극한이 다른경우 쿨하게 극한값이 존재하지 않는다고 표현한다. 즉, 극한값이 존재하기 위해서는 좌극한과 우극한이 같아야 한다.

[math]\displaystyle{ \lim_{x \to a-0} f(x)=\lim_{x \to a+0} f(x)=\alpha \to \lim_{x \to a} f(x)=\alpha }[/math]

미분

다항함수의 미분법

다항함수의 미분법은 아주 간단하다. 빼기, 곱하기만 할 수 있으면 누구나 할 수 있다. 물론 그 증명도 중요하지만 일단 계산법만 올려보자면 아래와 같다.

함수 [math]\displaystyle{ \definecolor{asd}{RGB}{255,0, 0} \color{asd}{{x}^{n}} }[/math]의 도함수는 다음과 같다.
[math]\displaystyle{ \definecolor{asd}{RGB}{255,0, 0} \color{asd}{\frac{d}{dx}({x}^{n})=n{x}^{n-1}} }[/math].

• 이건 그냥 외워야 된다. 노답. 지수가 앞으로 튀어나오면서 1 빠진다. 그나마 방법이 단순하기 때문에 외우기도 쉽고 다른 함수의 형태에 비하면 이건 정말 껌이다.

상수배

[math]\displaystyle{ \definecolor{asd}{RGB}{255,0, 0} \color{asd}{\frac{d}{dx}(cf(x))=c\frac{d}{dx}(f(x))} }[/math]

합차

[math]\displaystyle{ \definecolor{asd}{RGB}{110,41, 150} \color{asd}{\frac{d}{dx}(f(x) \pm g(x))=\frac{d}{dx}(f(x)) \pm \frac{d}{dx}(g(x))} }[/math]

곱

[math]\displaystyle{ \definecolor{asd}{RGB}{44,125, 150} \color{asd}{\frac{d}{dx}(f(x)g(x))=\frac{d}{dx}(f(x))g(x)+f(x)\frac{d}{dx}(g(x))} }[/math]

합성함수

y=f(u)이고,u=g(x)이고 둘 다 미분가능하면.
[math]\displaystyle{ \definecolor{asd}{RGB}{255,1, 150} \color{asd}{\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx}} }[/math]

삼각함수

사인

[math]\displaystyle{ \definecolor{asd}{RGB}{255,1, 197} \color{asd}{\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x} }[/math].

코사인

[math]\displaystyle{ \definecolor{asd}{RGB}{255,1, 202} \color{asd}{\frac{d}{dx}(\cos x)=-\sin x} }[/math].

탄젠트

[math]\displaystyle{ \definecolor{asd}{RGB}{255,1, 209} \color{asd}{\frac{d}{dx}(\tan x)={\sec }^{2} x} }[/math].

역함수

임의의 함수 [math]\displaystyle{ \definecolor{asd}{RGB}{255,1, 150} \color{asd}{f(x)} }[/math]의 역함수
[math]\displaystyle{ \definecolor{asd}{RGB}{255,1, 150} \color{asd}{{f}^{-1}(x)} }[/math] 가 존재하면.
[math]\displaystyle{ \definecolor{asd}{RGB}{255,1, 150} \color{asd}{\frac{d}{dx}({f}^{-1}(x))=\frac{1}{f'({f}^{-1}(x))}} }[/math].

지수함수

[math]\displaystyle{ \definecolor{asd}{RGB}{81,64, 242} \color{asd}{\frac{d}{dx}({a}^{x})={a}^{x}\ln a} }[/math].
[math]\displaystyle{ \definecolor{ers}{RGB}{81,64, 242} \color{ers}{a\neq 0,a\gt 0} }[/math].

평균값 정리

구간단속방법을 잘 나타내는 그림으로 수정바람 ㅠㅠ

도로교통 이야기로 잠시 넘어가보자. 구간단속은 일정 구간에서 평균 속도가 제한 속도를 위반하면 적발하는 단속 방법이다. 이전까지 쓰이던 지점단속에는 단속 대상자가 카메라 앞에서만 속도를 잠시 줄인 뒤 카메라에서 벗어나면 다시 과속을 할 수 있다는 문제가 있었다. 그러나 구간단속에서는 이런 꼼수가 원천 차단된다.

예를 들어 어떤 운전자의 차량이 적발 속도가 80km/h이고 길이가 1km인 구간단속 시작지점에 들어설 때 시속 60km으로 달리고 있었다고 가정하고 30초 후 끝지점으로 나올 때 여전히 시속 60km로 달리고 있었다고 가정하자. 이때 이 차량의 평균 속도는 120km/h이다. 이 결과는 단속구간에 있을 때 어느 순간 차량의 순간속도가 120km/h을 찍었다는 걸 의미한다. 지점단속으로는 단속에 걸리지 않지만 구간단속으로는 얄짤없이 단속에 걸리게 된다. 이 상황을 약간 추상화하면, 어느 구간에서 (구간 양끝 함수값의 차)/(구간 양끝점의 차)의 값과 같은 미분계수를 가지는 지점이 존재한다는 결론을 얻고, 이것이 바로 평균값 정리다. 물론 아무 때나 쓰면 곤란하고 평균값 정리가 성립하기 위한 조건들이 있으니, 더 자세히 알고 싶으면 항목을 참조하길.

경우의 수, 확률 및 통계

확률

• 확률에서 가장 큰 오해는, 확률 자체가 우리가 관측한 값으로 계산을 하는것이지, 우리가 관측한 값을 토대로 예측을 하는것이 아니다. 이 오해를 풀지 못하면 아래 통계에서도 엄청나게 고생을 한다. 이거 하나만 이해해도 확률에서 배울 내용의 50%는 배운거라고 할 수 있다.
  • 가장 대표적인 예로, 주사위에서 숫자 1이 나올 확률은 6분의 1이다. 하지만 주사위 10번을 던졌는데 그중 1이 한번도 안나왔다고 해서 다음번에 숫자 1이 나올 확률이 급상승 하는것은 절대 아니다!! 사기도박을 의심해야한다. 오함마 가져와야지
  • 그러면 왜 1이 안나왔는지에 대한 분석을 해야하는데, 그걸 분석하는것이 바로 통계다이게 정확한 통계의 정의는 아니다. 물론 확률과 통계가 수학에 기초를 둔 만큼, 이 증명과정을 역으로 써서 예측을 할 수는 있으나, 그게 꼭 맞는다는 보장을 하려면 실제 결과가 나오고 그 관측값을 토대로 증명을 해야하기 때문에 절대 쉬운일이 아니다.그게 가능하면 모두다 로또 1등이고 주식 대박이다

통계

• 대학생 과정의 통계에서 가장 중요한 건 내가 어떤 학문의 통계를 하느냐이다. 통계식을 최종적으로 정리하는 과정에서 사용되는 상수들은 각 학문의 영역마다 다른데, 당장 생물학만 하더라도 생물 개체를 실험하는 경우는 생물실험통계를, 생화학적인 부분을 입증할때에는 화학실험통계를, 생태계를 조사할때에는 사회통계를 끌어다쓴다.그래서 생물학 관련과들은 수학공부는 좀 덜해도 통계공부하기 지옥이다.
• 바꿔 말하자면, 고등학생과정에서 배우는 통계는 좀 잡소리가 많지만 이런 통계의 공통분모만을 간단하게 배우는것이다. 실제 계산을 하는것보다는 외우는게 많으며, PK/SKY급 학교가 아닌이상 대부분 통계 첫 시간에 이런 내용을 다시 가르치는것이 일반적이기 때문에, 고등학교 통계를 모른다고 해서 학사 스케줄이 꼬일정도의 문제가 되진 않는다.물론 그걸 하루 수업으로 압축했다는 사실은 꼭 기억해야한다. 일주일안에 따라잡아야한다.
• 이공계열 대학생 과정에서의 통계만 이야기를 하자면, 실제의 통계 계산은 대부분 프로그램에 맏긴다. 하지만 처음에는 대부분 통계 용어의 정의를 하는데, 이 정의는 따로 답이 없다. 그냥 이런게 있다고 외우는 수 밖에 없다. 사실 이걸 증명하는것까지 하면 좋지만, 대부분의 통계프로그램은 그 통계증명이 된 상황이다. 우리가 그걸 실제로 할 필요는 없다. 하지만 그 용어의 정의를 인식하지 못하면 통계프로그램을 쓸 수조차 없다.
• 고등학교 다닌지 오래돼서 정확한지는 모르겠지만고등학교 통계에서 결국 가르치는건 이런 통계학에서 써먹는 기초적인 정의를 가르치는 것이다. 실제로 계산은 큰 의미가 없으니 일단 단어의 정의정도는 꼭 외워두자. 여유가 되면 그 평균이나 표준편차의 계산정도는 외워두는것이 매우 큰 도움이 된다.
• 가장 중요한 내용. 통계는 주관적인 학문이다. 보통 수학의 범주안에 넣지만, 실제로는 어떤 공식을 적용하여도 결과가 나오고, 그게 맞는지 틀리는지는 또 통계로 증명을 해야하는데 그게 또 완성되기 매우 쉽다. 공식을 잘못 넣으면 계산 자체가 안되고, 증명도 완성 안되는 다른 수학과는 다르게 통계는 뭘 넣어도 결과가 나오고 증명이 되기 때문에 어떤식으로 접근하여 분석의 신뢰도를 적당하게 올리느냐(이건 통계에서 일반적으로 쓰이는 신뢰범위와는 다르다)가 가장 중요하다. 실제로 가장 많이 일어나는것이, 임의로 분석의 신뢰도를 내려서 논문을 쓰는 경우가 많고, 이 경우 아무리 좋은 실험을 했다 한들 믿을수 없는 실험이 된다. 이상적인 통계환경에서는 이 분석의 신뢰도가 정해져 있지만, 현실은 그렇지 않기 때문에 어느정도까지 신뢰도를 잡을것이냐가 통계의 핵심이 된다. 이걸 이해한다면 통계가 들어가는 논문을 쓸 자격이 있다는 말이 된다.(...)

이 항목을 쓴 사람은 이과에서 수능 7등급받고 생물학 전공으로 튀다가 통계로 엿먹어본 사람이다.