시리즈:수포자도 쉽게 알 수 있는 수학

수학이 정말 쉬워서 저 수포자 그만둡니다.

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이 항목은 너 나 우리 수포자도 이해할 수 있는 수학 개념들을 적어보는 집단연구 문서이다.

수학 고수 여러분 부탁합니다

수학에서 중요하지만서도 우리 수포자들을 좌절케 하는 개념들을 위주로 서술하면 좋을 듯하다. 엄밀한 의미의 정의는 다른 문서에서 서술한다. 엄밀하게 들어가면 끝이 없기 때문에..

수학을 공부하는 이유

교과과정에서 흔히 만날 수 있는 수학은 이유도 목적도 알려주지 않은 채 일단 문제를 풀으라는 식으로 되어있는 경우가 많다. 그래서 수학이 참 쓸데없다는 인식을 갖기 쉬운데, 사실 수학은 정말 쓰임새가 많은 학문이다. 수학의 쓸모를 설명하기 위해 많은 수포자들이 가장 눈꼴사납게 보는 것 중 하나가 미적분의 쓸모를 예로 들어보겠다.

미적분은 미세한 변화를 토대로 현실을 모델링하는 학문이다. 즉 방정식 몇개만 주면 현실을 상당히 정확히 시뮬레이션 할 수 있는 것이다. 덕분에 미적분은 현대 문명의 모든 곳에 다 쓰인다. 예를 들면:

• 날씨의 미세한 변화를 공부함으로써 지금의 날씨로 보아서 미래의 날씨를 예측할 수 있게 해준다.
• 전자기장의 미세한 변화를 공부함으로써 전자기장의 정확한 컨트롤을 할 수 있게 해준다. 이걸 열심히 한 덕분에 컴퓨터, 전구, 전자악기 등 모든 전자장비를 만들수 있게 되었다.
• 화학반응의 미세한 변화를 공부함으로써 어떻게 화합물을 섞어야 최대효율로 섞을 수 있는지를 알게 되었고, 덕분에 샴푸나 칫솔, 비료 등의 제품들을 대량으로 얻을 수 있게 되었다.
• 금융경제의 미세한 변화를 공부함으로써 미래의 주식가격을 예측할 수 있게 해준다. (블랙-쇼올즈 방정식)

이 밖에도 정수론이나 상대성이론같은 자연의 신비를 연구하는 데에도 미적분이 사용된다.

한편 쓰임새를 다 떠나서, [math]\displaystyle{ \frac1{1^2}+\frac1{2^2}+\frac1{3^2}+\cdots = \frac{\pi^2}6$같은 식들을 보라. 제곱수의 역수들을 쭉 더했더니... 원의 둘레와 지름의 비율이 나왔다! 아무 관련 없는 두 개념이 신비롭게 연결되는 것을 목격할 수 있다. (그리고 이걸 증명하는 것도 쉽지는 않다) 수학공부를 깊게 하면 이런 경이로움을 밥먹듯이 만나기 때문에 재미로만 수학연구를 계속 하는 [[수학자]]들이 존재한다. == 정수론== === 나머지 정리 === 모든 정수는 다른 정수로 나눈 몫과 나머지를 이용해 나타낼 수 있다. 그런데 그렇게 나타내는 방법은 제수(다른 수를 나누는 수)가 정해지면 '''유일'''하다는 것이다. 몫과 나머지에 대한 설명 [[추가바람]] 예를 들어, 7을 3으로 나눈다고 하자. 그러면 몫은 2, 나머지는 1이다. 따라서, \lt math\gt 7=3\times 2+1 }[/math]이라고 쓸 수 있다. 그런데 7을 3으로 나눌 때 몫은 2 이외의 값이 안 나오고 나머지도 1 이외의 값이 안 나온다.

절댓값

절댓값의 정의는 어떤 수를 수직선에 표시했을 때 원점(0)에서부터의 거리인데, 그냥 부호만 빼면 된다. 4의 절대값은 4이고 -3의 절댓값은 3이 된다.

함수(해석학)

미분

다항함수의 미분법

다항함수의 미분법은 아주 간단하다. 빼기, 곱하기만 할 수 있으면 누구나 할 수 있다. 물론 그 증명도 중요하지만 일단 계산법만 올려보자면 아래와 같다.

함수 [math]\displaystyle{ \definecolor{asd}{RGB}{255,0, 0} \color{asd}{{x}^{n}} }[/math]의 도함수는 다음과 같다.
[math]\displaystyle{ \definecolor{asd}{RGB}{255,0, 0} \color{asd}{\frac{d}{dx}({x}^{n})=n{x}^{n-1}} }[/math].

• 이건 그냥 외워야 된다. 노답. 지수가 앞으로 튀어나오면서 1 빠진다.

상수배

[math]\displaystyle{ \definecolor{asd}{RGB}{255,0, 0} \color{asd}{\frac{d}{dx}(cf(x))=c\frac{d}{dx}(f(x))} }[/math]

합

[math]\displaystyle{ \definecolor{asd}{RGB}{110,41, 150} \color{asd}{\frac{d}{dx}(f(x) \pm g(x))=\frac{d}{dx}(f(x)) \pm \frac{d}{dx}(g(x))} }[/math]

곱

[math]\displaystyle{ \definecolor{asd}{RGB}{44,125, 150} \color{asd}{\frac{d}{dx}(f(x)g(x))=\frac{d}{dx}(f(x))g(x)+f(x)\frac{d}{dx}(g(x))} }[/math]

합성함수

y=f(u)이고,u=g(x)이고 둘 다 미분가능하면.
[math]\displaystyle{ \definecolor{asd}{RGB}{255,1, 150} \color{asd}{\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx}} }[/math]

경우의 수, 확률 및 통계

확률

• 확률에서 가장 큰 오해는, 확률 자체가 우리가 관측한 값으로 계산을 하는것이지, 우리가 관측한 값을 토대로 예측을 하는것이 아니다. 이 오해를 풀지 못하면 아래 통계에서도 엄청나게 고생을 한다. 이거 하나만 이해해도 확률에서 배울 내용의 50%는 배운거라고 할 수 있다.
  • 가장 대표적인 예로, 주사위에서 숫자 1이 나올 확률은 6분의 1이다. 하지만 주사위 10번을 던졌는데 그중 1이 한번도 안나왔다고 해서 다음번에 숫자 1이 나올 확률이 급상승 하는것은 절대 아니다!! 사기도박을 의심해야한다. 오함마 가져와야지
  • 그러면 왜 1이 안나왔는지에 대한 분석을 해야하는데, 그걸 분석하는것이 바로 통계다이게 정확한 통계의 정의는 아니다. 물론 확률과 통계가 수학에 기초를 둔 만큼, 이 증명과정을 역으로 써서 예측을 할 수는 있으나, 그게 꼭 맞는다는 보장을 하려면 실제 결과가 나오고 그 관측값을 토대로 증명을 해야하기 때문에 절대 쉬운일이 아니다.그게 가능하면 모두다 로또 1등이고 주식 대박이다

통계

• 대학생 과정의 통계에서 가장 중요한 건 내가 어떤 학문의 통계를 하느냐이다. 통계식을 최종적으로 정리하는 과정에서 사용되는 상수들은 각 학문의 영역마다 다른데, 당장 생물학만 하더라도 생물 개체를 실험하는 경우는 생물실험통계를, 생화학적인 부분을 입증할때에는 화학실험통계를, 생태계를 조사할때에는 사회통계를 끌어다쓴다.그래서 생물학 관련과들은 수학공부는 좀 덜해도 통계공부하기 지옥이다.
• 바꿔 말하자면, 고등학생과정에서 배우는 통계는 좀 잡소리가 많지만 이런 통계의 공통분모만을 간단하게 배우는것이다. 실제 계산을 하는것보다는 외우는게 많으며, PK/SKY급 학교가 아닌이상 대부분 통계 첫 시간에 이런 내용을 다시 가르치는것이 일반적이기 때문에, 고등학교 통계를 모른다고 해서 학사 스케줄이 꼬일정도의 문제가 되진 않는다.물론 그걸 하루 수업으로 압축했다는 사실은 꼭 기억해야한다. 일주일안에 따라잡아야한다.
• 이공계열 대학생 과정에서의 통계만 이야기를 하자면, 실제의 통계 계산은 대부분 프로그램에 맏긴다. 하지만 처음에는 대부분 통계 용어의 정의를 하는데, 이 정의는 따로 답이 없다. 그냥 이런게 있다고 외우는 수 밖에 없다. 사실 이걸 증명하는것까지 하면 좋지만, 대부분의 통계프로그램은 그 통계증명이 된 상황이다. 우리가 그걸 실제로 할 필요는 없다. 하지만 그 용어의 정의를 인식하지 못하면 통계프로그램을 쓸 수조차 없다.
• 고등학교 다닌지 오래되서 정확한지는 모르겠지만고등학교 통계에서 결국 가르치는건 이런 통계학에서 써먹는 기초적인 정의를 가르치는 것이다. 실제로 계산은 큰 의미가 없으니 일단 단어의 정의정도는 꼭 외워두자. 여유가 되면 그 평균이나 표준편차의 계산정도는 외워두는것이 매우 큰 도움이 된다.

이 항목을 쓴 사람은 이과에서 수능 7등급받고 생물학 전공으로 튀다가 통계로 엿먹어본 사람이다.