로그인하고 있지 않습니다. 편집하면 당신의 IP 주소가 공개적으로 기록됩니다. 계정을 만들고 로그인하면 편집 시 사용자 이름만 보이며, 위키 이용에 여러 가지 편의가 주어집니다.스팸 방지 검사입니다. 이것을 입력하지 마세요!== 개요 == [[파일:dominostanding.jpg|섬네일|[[도미노]]를 일렬로 늘어세운 후 처음 세운 도미노를 넘어뜨린다고 가정하자. 만약 앞에 있는 도미노가 쓰러지면서 다음 도미노를 무조건 넘어뜨린다면, 첫번째 도미노를 넘어뜨리면 세워진 모든 도미노가 넘어지지 않을까?]] '''수학적 귀납법(Mathematical induction)'''은 일반화된 명제의 증명 방법으로, [[귀납법]]이란 이름을 달고 있지만 사실은 [[연역법]]이다. [[고등학교]] 교육과정에선 수학적 귀납법의 원리를 이해할 수 있을 정도로 간단히 다루지만 대학교에서 수학 관련 전공에 진입하면 증명까지 다루게 된다. 이 문서에 한해서 자연수의 집합 <math>\mathbb{N}</math>이 0을 포함한다고 본다. == 진술 == [[자연수]]의 집합이 정의역인 조건을 <math>P(n)</math>이라고 하자. 만약 * <math>P(0)</math>이 참이다. * 임의의 <math>n\in \mathbb{N}</math>에 대해, <math>P(n)</math>이 참이면 <math>P(n+1)</math>도 참이다. 이면 임의의 <math>n\in \mathbb{N}</math>에 대해 <math>P(n)</math>은 참이다. 명제를 형식적으로 나타내면 다음과 같다. : <math>P(0) \land \forall (k\in \mathbb{N})[P(k)\Rightarrow P(k+1)]\Rightarrow \forall (n\in \mathbb{N})P(n)</math> == 증명 == === 정렬순서원리를 공리로 둔 경우 === <math>n'\in \mathbb{N}</math>이 존재하여 <math>P(n')</math>이 거짓이라고 가정하자. 그리고 [[집합]] ''S''를 다음과 같이 정의하자. : <math>S=\{n\in \mathbb{N}\vert \neg P(n)\}</math> 그러면 <math>\neg P(n')</math>이 참이므로 <math>n'\in S</math>이다. 따라서 ''S''는 [[공집합]]이 아니고 <math>\mathbb{N}</math>의 부분집합이므로, [[정렬순서원리]](well-ordering principle)에 의해 ''S''의 최소원소가 존재한다. 이 원소를 <math>n_0</math>라고 하자. 이때 <math>P(0)</math>은 참이므로, <math>n_0\ne 0</math>이고 따라서 <math>n_0 \ge 1</math>이다. 그러면 <math> n_0 -1 \ge 0</math>인데, <math>n_0-1</math>은 ''S''의 최소원소가 아니므로 <math>n_0 -1\not\in S</math>이다. 따라서 <math>P(n_0 -1)</math>는 참이다. 그러면 가정에 의해 <math>P(n_0)</math>는 참이므로 <math>n_0\not\in S</math>이다. 그러면 <math>n_0\in S</math>이고 <math>n_0\not\in S</math>이므로 <math>n'\in \mathbb{N}</math>이 존재하여 <math>P(n')</math>이 거짓이라는 가정에 모순이다. 따라서 원하는 결론을 얻게 된다. === 귀납적 집합을 정의한 경우 === 귀납적 집합은 무한공리(axiom of infinity)로 인해 그 존재성이 보장된다. 집합 ''A''를 다음과 같이 정의하자. : <math>A=\{n\in \mathbb{N}\vert P(n)\text{ holds}\}</math> 그러면 ''A''는 귀납적 집합이고 따라서 <math>\mathbb{N}\subseteq A</math>이다. 따라서 원하는 결론을 얻는다. == 수학적 귀납법의 변형 == === 완전귀납법<ref>강한 수학적 귀납법이라고도 부른다.</ref> === [[자연수]]의 집합이 정의역인 조건을 <math>P(n)</math>이라고 하자. 만약 * <math>P(0)</math>이 참이다. * 임의의 <math>n\in \mathbb{N}</math>에 대해, <math>P(0),P(1),\cdots,P(n)</math>이 참이면 <math>P(n+1)</math>도 참이다. 이면 임의의 <math>n\in \mathbb{N}</math>에 대해 <math>P(n)</math>은 참이다. 완전귀납법의 증명은 간단하다. 조건 <math>Q(n)</math>를 "<math>P(0),P(1),\cdots,P(n)</math>는 참이다."로 설정하면 <math>Q(0)=P(0)</math>은 참이고 <math>P(0),P(1),\cdots,P(n)</math>이 참이면 가정에 의해 <math>P(n+1)</math>가 참이므로 결국 <math>P(0),P(1),\cdots,P(n+1)</math>가 참이다. 즉 <math>Q(n)</math>이 참이면 <math>Q(n+1)</math>이 참이다. 따라서 <math>Q(n)</math>은 귀납법 가정을 만족하므로 임의의 <math>n\in \mathbb{N}</math>에 대해 <math>Q(n)</math>은 참인데 <math>Q(n)</math>의 정의에 의해 <math>P(n)</math>은 참이다. 한편 완전귀납법으로 정렬순서공리를 증명할 수 있다. 이 말은 수학적 귀납법과 정렬순서공리가 동치라는 것을 의미한다. 수학적 귀납법을 가정하자. 그리고 <math>\mathbb{N}</math>의 부분집합이고 공집합이 아니며, 최소원소가 없는 집합 ''S''가 존재한다고 가정하자. 만약 <math>0\in S</math>이면, 임의의 <math>x\in S</math>에 대해 <math>0\le x</math>이므로 ''n''이 ''S''의 최소원소가 된다. 따라서 <math>0\not\in S</math>이다. <math>0\not \in S, 1\not\in S, \cdots, n\not\in S</math>라고 하자. 만약 <math>n+1\in S</math>라면, 임의의 <math>x\in S</math>에 대해 <math>n+1\le x</math>이므로 <math>n+1</math>이 최소원소가 되어 모순이다. 따라서 <math>n+1\in S</math>이다. 따라서 완전귀납법에 의해 임의의 <math>n\in \mathbb{N}</math>에 대해 <math>n\not\in S</math>이고 따라서 ''S''는 공집합이다. 이것은 ''S''가 공집합이 아니라는 가정과 모순이다. 따라서 <math>\mathbb{N}</math>의 부분집합이고 공집합이 아닌 집합 ''S''는 반드시 최소원소를 가진다. === 초한귀납법 === <math>P(x)</math>를 순서수를 정의역으로 하는 조건이라 하자. 임의의 [[순서수]] α에 대해, : 임의의 <math>\beta <\alpha</math>에 대해 <math>P(\beta)</math>가 참이면, <math>P(\alpha)</math>는 참이다. 이면 임의의 순서수 α에 대해 <math>P(\alpha)</math>는 참이다. == 예시 == === 다항함수의 도함수 === 다항함수 <math>f(x)=x^n\;(n\ge 1)</math>의 도함수는 <math>f'(x)=nx^{n-1}</math>임을 수학적 귀납법을 이용해 증명하자. <math>f(x)=x</math>의 도함수는 : <math>f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h)-f(0)}{h}=1</math> 이다. 이제 <math>f(x)=x^n</math>의 도함수가 <math>f'(x)=nx^{n-1}</math>이라고 가정하자. <math>f(x)=x^{n+1}</math>의 도함수는 : <math>f'(x)=(x \cdot x^n)'=(x)' x^n + x(x^n)' = x^n + x(nx^{n-1})=(n+1)x^n</math> 이다. 따라서 수학적 귀납법에 의해 원하는 결론을 얻는다. === 귀납적으로 정의된 수열 === 수열 <math>(a_n)</math>이 다음 식을 만족한다고 하자. : <math>a_{n+1}=\frac{a_n}{1+a_n}\; (n\ge 0)</math> 이때 임의의 ''n''에 대해 다음 식이 성립한다고 가정하자. : <math>a_n=\frac{a_0}{1+na_0}</math> 그러면 : <math>\begin{align} a_{n+1}&=\frac{a_n}{1+a_n}\\ &=\frac{\frac{a_0}{1+na_0}}{1+\frac{a_0}{1+na_0}}\\ &=\frac{\frac{a_0}{1+na_0}}{\frac{1+(n+1)a_0}{1+na_0}}\\ &=\frac{a_0}{1+(n+1)a_0} \end{align}</math> 이므로 수학적 귀납법에 의해 모든 자연수 ''n''에 대해 <math>a_n=\frac{a_0}{1+na_0}</math>임을 안다. === 그래프 === {{각주}} [[분류:수리논리학]] 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț 이 문서에서 사용한 틀: 틀:각주 (원본 보기) (준보호됨)