소수 (수론)

정의

소수는 1보다 큰 자연수 중에서 약수가 1과 자기 자신뿐인 수를 말한다.

어떤 자연수를 소수인 약수들의 곱으로 나타내는 것을 소인수분해 라 하며, 자연수의 소인수분해는 유일하다.

정수에서는 0이나 ±1이 아닌 정수 중에서 양의 약수가 1과 자기 자신뿐인 수로 정의한다.

찾는 방법

소수를 찾는 방법으로는 중학교 교과서에서 소개되는 ‘에라토스테네스의 체’가 유명하다

소수의 일반화

소수의 일반화로 기약수가 있다.

앞서 자연수 영역에서의 소수를 ‘1보다 큰 자연수 중에서 약수가 1과 자신뿐인 수’로 정의하였으나, 사실은 다음 두 정의가 혼용되고 있었다.

• [math]\displaystyle{ p\gt 1 }[/math]이고 [math]\displaystyle{ ab=p }[/math]이면 [math]\displaystyle{ a=1 }[/math] 또는 [math]\displaystyle{ b=1 }[/math].
• [math]\displaystyle{ p\gt 1 }[/math]이고 [math]\displaystyle{ p|ab }[/math]이면 [math]\displaystyle{ p|a }[/math] 또는 [math]\displaystyle{ p|b }[/math].

([math]\displaystyle{ a|b }[/math]는 [math]\displaystyle{ a }[/math]가 [math]\displaystyle{ b }[/math]로 나누어 떨어진다는 뜻.)

이 두 정의는 자연수의 소인수분해를 생각하면 동치임이 명백하다. 그러나 다항식에서 비슷한 역할을 하는 기약다항식 등을 연구하면서, 수학자들은 두 정의가 일반적으로는 동치가 아님을 알게 되었다. 따라서 다음과 같이 구분하게 되었다.

[math]\displaystyle{ R }[/math]이 1을 갖는 가환환일 때, [math]\displaystyle{ p∈R }[/math]에 대하여

• [math]\displaystyle{ p }[/math]가 non-zero, non-unit이고 [math]\displaystyle{ a }[/math], [math]\displaystyle{ b∈R }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ ab=p }[/math]이면 [math]\displaystyle{ a∈R^* }[/math] 또는 [math]\displaystyle{ b∈R^* }[/math]이면 [math]\displaystyle{ p }[/math]는 기약수(irreducible element).
• [math]\displaystyle{ p }[/math]가 non-zero, non-unit이고 [[math]\displaystyle{ a }[/math], [math]\displaystyle{ b∈R }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ p|ab }[/math]이면 [math]\displaystyle{ p|a }[/math] 또는 [math]\displaystyle{ p|b }[/math]]이면 [math]\displaystyle{ p }[/math]는 소수(prime element).

정역(Integral domain)에서는 모든 소수는 기약수이다. 그러나 그 역은 일반적으로는 참이 아니며, 유일 인수분해 정역(Unique factorization domain)에서는 모든 기약수는 소수임을 증명할 수 있다.

소수의 또 다른 일반화로 소아이디얼이 있다.

[math]\displaystyle{ R }[/math]이 1을 갖는 가환환일 때, [math]\displaystyle{ R }[/math]의 아이디얼(ideal) [math]\displaystyle{ I }[/math]에 대하여 [math]\displaystyle{ I≠R }[/math]이고 [[math]\displaystyle{ a }[/math], [math]\displaystyle{ b∈R }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ ab∈I }[/math]이면 [math]\displaystyle{ a∈I }[/math] 또는 [math]\displaystyle{ b∈I }[/math]]이면 [math]\displaystyle{ I }[/math]는 소아이디얼(prime ideal)이라 한다. 약수와 배수 관계가 아이디얼의 포함관계에 대응된다는 점을 생각하면 위 정의가 소수에 관한 앞서의 정의와 상통함을 알 수 있다. 따라서 [math]\displaystyle{ p ≠ 0 }[/math]일 때 [math]\displaystyle{ p }[/math]가 소수인 것과 [math]\displaystyle{ p }[/math]가 생성하는 아이디얼 [math]\displaystyle{ (p) }[/math]이 소 아이디얼인 것이 동치임은 자명하다.

주의할 점은 [math]\displaystyle{ R }[/math] 자신은 소아이디얼이라고 부르지 않는다는 것이다. 이는 1이 소수가 아닌 것과 마찬가지이다. 즉, 소 아이디얼의 정의에서 [math]\displaystyle{ I≠R }[/math]이라는 조건은 [math]\displaystyle{ p }[/math]가 non-unit이라는 조건에 대응된다. 그러나 또 주의할 점은 [math]\displaystyle{ I }[/math]가 non-zero일 것은 요하지 않으므로, 영 아이디얼 0도 소아이디얼일 수 있다는 것이다. 따라서 앞서의 명제에서 [math]\displaystyle{ p≠0 }[/math]이라는 조건을 빼먹으면 곤란하다.

어떤 환에서 소인수분해가 유일하게 되지 않는다 하더라도, 즉 그 환이 UFD가 아니라 하더라도 그 환이 데데킨트 환이라면 모든 아이디얼은 소아이디얼들로 유일하게 소인수분해가 된다.

유명한 소수

• 2
• 691: 베르누이 수와 관련되어 있다는 지표가 된다.
• 65537 = 2¹⁶+1 = 2²⁴+1: 현재까지 알려진 가장 큰 페르마 소수로서, 컴퓨터에서 65537제곱을 하기가 쉽다는 특성 때문에 암호론 등에서 자주 등장한다.

---