소수 (기수법) 편집하기

{{학술}}

Decimal, 小數
== 정의 ==
[[실수]]의 일종으로, 소수점(.)이 포함되어 있는 수를 말한다. 초등학교에서 [[분수 (수학)|분수]]와 함께 배우며, 초등학생들을 숱하게 괴롭히는 개념이지만 학년이 올라갈 수록 쓰이지 않는 개념 중 하나이다.

== 역사 ==
알려진 바에 의하면 최초의 소수 표기는 기원전 1세기 쯤 고대 중국에서 만들어 졌다고 한다. 이후 중동을 거쳐 유럽에 전파된 것으로 추정된다.<ref>Lam Lay Yong, "The Development of Hindu-Arabic and Traditional Chinese Arithmetic", Chinese Science, 1996 p38, Kurt Vogel notation</ref><ref>Joseph Needham (1959). "Decimal System". Science and Civilisation in China, Volume III, Mathematics and the Sciences of the Heavens and the Earth. Cambridge University Press.</ref> 물론 시대가 시대인 만큼 현대인들은 알아볼 수 없는 표기를 사용하였다. 현대적 표기와 그나마 가장 가까운 형식의 소수점 표기는 16세기에 나타났다. 1530년에는 바(bar)를 사용해서 소수점 표기를 나타내었다.<ref><math>1^{\underline{234}}</math>같이</ref> 1585년의 사이몬 스테빈(Simon Stevin)은 다른 표기를 사용하였는데, 이건 현대적 표기와는 많이 떨어져 있다.<ref>1.234를 1⓪2①3②4로 표기하였다.</ref> 그러다 시대가 흐르면서 , 또는 .로 소수점을 나타내게 되었다. 한국이나 미국에서는 .를 사용하지만, 독일과 같은 몇몇 유럽 국가에서는 ,를 사용하니 알아두자.

== 종류 ==
=== 유한 소수 ===
소수점 아래의 숫자가 유한한 수. 유한 소수는 반드시 [[유리수]]이며, [[기약분수]] 형식으로 나타냈을 때 분모의 약수는 2또는 5밖에 존재하지 않는다.

=== 순환하는 무한 소수 ===
소수점 아래의 숫자가 무한하긴 한데, 일정 단위로 반복되는 소수를 말한다. 1.2323232323... 같은 것이 그 예. 수를 표기할 때 마다 소수점 아래의 숫자를 쭉 늘어놓을 수는 없으므로 반복되는 부분위에 .이나 -를 그어 나타낸다. <math>1.\dot{2}\dot{3},\,1.\overline{23}</math>과 같이. 점이나 바가 없는 부분은 반복되는 부분이 아니므로 주의.

순환하는 무한 소수는 유리수이며, 기약분수 형식으로 나타냈을 때 분모의 약수에 2나 5가 아닌 다른 숫자가 들어간다. 순환하는 무한 소수를 분수로 바꾸는 방법은 [[급수 (수학)|무한급수]]를 사용한다. 즉, <math>1.\overline{23}</math>은 <math>1+\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{23}{100}\right)^{-2n}</math>가 되며, 계산하면, <math>1+\frac{23/100}{1-1/100}=1+\frac{23}{99}=\frac{122}{99}</math>가 된다.

초등학교에서는 약간 편법을 쓰기도 하는데, 방법은 다음과 같다.
:<math>\begin{align*}x&=1.2323\cdots \\100x &=123.2323\cdots\end{align*}</math>.<br/>두 식을 빼면, <math>99x=122,\,x=\frac{122}{99}</math>
아예 이런 계산 자체가 들어가지 않는 편법도 존재한다.
#정수 부분을 제외하고, 순환하는 숫자 개수 만큼 9를, 순환하지 않는 숫자 개수 만큼 0을 분모에 넣는다.
#소수점을 무시하고, "전체수 - 순환하지 않는 부분"을 분자에 넣는다.
<math>1.2\overline{34}</math>를 예시로 들면, 순환하는 숫자 개수가 2개, 순환하지 않는 숫자가 1개 이므로 분모에 990를, 분자에는 1234-12=1222를 넣어 <math>\frac{1222}{990}</math>가 답이 된다.

=== 순환하지 않는 무한 소수 ===
소수점 아래의 숫자가 무한하며, 순환하는 부분도 없는 수. 참고로 이게 규칙성이 없다는 뜻은 아니다. 1.12345678910111213... 같은 경우는 규칙성이 눈에 띄지만 순환하지 않는다. 이러한 수는 전부 [[무리수]]이며, 가장 대표적인 예는 [[원주율]]이나 [[자연상수]]가 있다.

== 다른 진법 ==
일반적으로 소수라 하면 10진법에서의 소수만을 생각하지만, 다른 진법에서도 소수는 존재한다. 10진법 소수를 무한 급수를 사용하여 정의하면,
:<math>a_0+\sum_{i=1}^{\infty}\frac{a_i}{10^i},\quad a_0\in\mathbb{Z},\,a_i\in\left\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\right\}\left(i\in\mathbb{N}\right)</math>
이므로, 이를 활용하여 n진법 소수를 정의하면,
:<math>a_0+\sum_{i=1}^{\infty}\frac{a_i}{n^i},\quad a_0</math>은 n진법 정수, <math>a_i\in\left\{0,1,2,\cdots,n-1\right\}\left(i\in\mathbb{N}\right)</math>
이다.

예시로, 2진법 수 1.011을 10진법으로 바꾼다 생각하자. 그럼, <math>1.011_{\left(2\right)}=1+\frac{0}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}=1+0.25+0.125=1.375</math>가 된다.

== 0.999...=1 ==
수학계의 영원한 떡밥(?) 결론부터 말하면, '''수학적으로 0.999...=1은 참이다'''. 이걸 잘 이해 못하는 이유는 [[무한]]이라는 개념을 직관적으로 이해하기 어렵기 때문. 이에 대한 병림픽을 보고 싶으면 [[디시위키]]의 해당 항목을 참조하자.

{{각주}}
[[분류:산술]]