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(2) 한편 <math>\psi(u)= \sum_{n=1}^{\infty} e^{-\pi n^2 u}</math>에서 (1-1)의 결과를 이용해 양변에 u<sup>(s/2)-1</math>를 곱하면 <math> = \sum_{n=1}^{\infty} \int_{0}^{\infty} u^{(s/2)-1} e^{-\pi n^2 u} du = (1-1) = \pi^{-s/2} \Gamma (s/2) \zeta(s)</math>. (3) (3)에서 <math> \pi^{-s/2} \Gamma(s/2) \zeta(s) = \int_{0}^{\infty} u^{(s/2)-1} \psi(u) du </math> <math> = \int_0^1 u^{(s/2) -1} \psi(u) du + \int_{1}^{\infty} u^{(s/2)-1} \psi(u) du</math> <math> = (\because 2) \int_0^1 u^{(s/2)-1} \left[ u^{-1/2} \psi (1/u) + 1/(2u^{1/2} ) - 1/2 \right] du + \int_1^{\infty} u^{(s/2)-1} \psi(u) du </math> 우선 <math> \int_0^1 u^{(s/2)-3/2} \psi(1/u) du =(v=1/u, du= -1/v^2 dv)= \int_1^{\infty} v^{-(s/2)-1/2} \psi(v) dv</math>, <math>\int_0^{1} u^{(s/2)-3/2} /2 - u^{(s/2)-1} /2 du = \frac{1}{s-1} - \frac{1}{s} </math>이므로 <math> = \frac{1}{s-1} - \frac{1}{s} + \int_1^{\infty} (u^{-(s/2)-1/2} + u^{(s/2)-1} ) \psi(u) du</math> (4) 이 함수는 <math> \xi(s) = \pi^{-s/2} \Gamma(s/2) \zeta(s)</math>로 정의되고, s=0,1에서 1차 극점이 생기며, ξ(s)=ξ(1-s)를 만족한다는 것을 알 수 있다. {{숨김 끝}}■<ref> 증명 과정은 Complex Analysis의 section 6.2의 참조.</ref> 따라서 <math>\zeta(s)</math>는 복소수 <math>\mathbb{C}</math>에 대해서 s=1에서만 극점을 가진 유리형 함수(meromorphic function)가 된다. 또한 제타함수의 <math>(s-1)\zeta(s)</math>가 복소수 전체에서 정칙함수(holomorphic)이고, 차수(growth order)가 1이므로 바이에스트라스의 곱정리(Weierstrass product theorem)을 이용하면 제타함수의 비자명근(nontrivial root) ρ에 대해서(참고로 제타함수는 자명근 n=-2, -4, -6, …을 가진다.)<br /> {{숨김 시작|title=바이에스테라스의 곱정리(Weierstrass product theorem)}} 복소수 <math>\mathbb{C}</math> 전체에서 정칙인 함수(entire funciton) ''f(z)''의 차수(growth order, 충분히 절대값이 큰 z에 대해서 <math>|f(z)| \le A {\rm{exp}}(B|z|^{\rho})</math>를 만족하는 최소 ρ)를 <math>\rho_0</math>라고 놓자. 이때 m을 z=0에서의 f의 영점의 차수(f(z)=0일 때만, f(z)≠0이면 m=0), <math>a_1 , a_2 , \cdot\cdot\cdot a_n, \cdot\cdot\cdot</math>를 f의 0 아닌 근(중근일 경우 차수만큼 a<sub>i</sub>를 중복해서 쓴다.)이라고 가정하자. <math>k \le rho_0 \le k+1</math>를 만족하는 k와 초등인수 <math>E_k (z)= (1-z) {\rm{exp}}(z+{z^2}/2+\cdot\cdot\cdot+{z^k}/k)</math>, 차수가 k 이하인 P(z)에 대해서 <math>f(z)=e^{P(z)}z^m \prod_{n=1}^{\infty}E_k(z/a_n) </math> {{숨김 끝}}■<ref>증명 과정은 Complex Analysis의 5.5 Hadamard Factorization Theorem 참조. </ref>γ <math>(s-1)\zeta(s)=e^{a+bs}\prod_{n=1}^{\infty}(1+s/2n)e^{-s/2n} \prod_{\rho} (1-z/\rho)e^{z/\rho}</math> 여기서 제타함수의 곱셈식 <math>\zeta(s)=\prod_{p} \frac{1}{1-p^{-s}}</math>를 이용해서 <math>\zeta'(s)/\zeta(s)=-\prod_{p} {-\ln p}p^{-ms}=b-\frac{1}{s-1}- \sum_{n=1}^{\infty}\frac{s}{2n(s+2n)} +\sum_{\rho} \frac{s}{\rho(s-\rho)}</math> 이 식에서 s=0을 대입하면 <math>b+1=\zeta'(0)/\zeta(0)</math>이므로, <math>\Re(s)>0</math>에 대해서<br /> <math>- \frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}=\sum_{p} \ln p \cdot p^{-ms} = \frac{s}{s-1} - \frac{\zeta'(0)}{\zeta(0)}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{s}{2n(s+2n)} -\sum_{\rho} \frac{s}{\rho(s-\rho)}</math>. 한편 <math>\psi(x) = {\frac{1}{2 \pi i}} \int_{c-i \cdot \infty}^{c+ i \cdot \infty} \left( - \frac{\zeta ' (z) }{\zeta (z)} \right) \frac{x^z}{z} dz</math>에서 이 식은 <math>\frac{1}{2 \pi i} \int_{c-i \cdot \infty}^{c+ i \cdot \infty} \left( \frac{s}{s-1} - \frac{\zeta'(0)}{\zeta(0)}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{s}{2n(s+2n)} -\sum_{\rho} \frac{s}{\rho(s-\rho)} \right) \frac{x^z}{z} dz</math> 여수 정리(Residue Theorem)를 활용하면 위의 식은 <math>s-\sum_{\rho} x^{\rho}/\rho - \zeta'(0)/\zeta(0) - 1/2 \sum_{n=1}^{\infty} s^{-2n}/n</math>으로 증명된다. <ref> 참조 : [http://people.reed.edu/~jerry/361/lectures/rvm.pdf 출처] </ref> 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț 이 문서는 다음의 숨은 분류 2개에 속해 있습니다: 분류:번역된 문서 분류:애드센스 제외 문서