상자 속 입자 편집하기

'''상자 속 입자'''(Particle in a box), 혹은 '''무한 퍼텐셜 우물'''(infinite potential well)은 [[양자역학]]에서 [[입자]]의 운동을 설명하기 위한 기초적인 모형이다. 상자 속 입자 모형에서 입자는 직육면체 안에 갇혀 있고 바깥의 [[퍼텐셜에너지]]는 무한대이므로 입자는 밖으로 나갈 수 없다.

== 1차원 상자 속 입자 ==
1차원 공간에서 퍼텐셜에너지가 다음과 같이 주어진다고 하자.
: <math>V=\begin{cases}
0,&0\le x\le a \\
\infty,&\text{otherwise}\\
\end{cases}</math>
그러면 [[슈뢰딩거 방정식]]은 다음과 같다.
: <math>-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2}=E\psi</math>
이 [[미분방정식]]의 해를 구하는 것은 쉽다. 해를 쉽게 구할 수 있게 한 상자 속 입자 모형에게 감사함을 표한 다음, <math>k=\sqrt{\frac{\hbar^2}{2mE}}</math>라고 하자. 그러면 <math>0\le x \le a</math>에서
: <math>\psi(x)=A\sin kx + B\cos kx</math>
이다. <math>\psi</math>의 [[연속함수|연속성]]에 의해
: <math>\psi(0)=\psi(a)=0</math>
이고
: <math>\psi(0)=B</math>
이므로 <math>B=0</math>이다. 한편
: <math>\psi(a)=A\sin ka =0</math>
이므로
: <math>ka=n\pi,\; n\in \mathbb{Z}</math>
이다. 이때 <math>n=0</math>이면 <math>k=0</math>이므로 [[영 좋지 않은 곳|영 좋지 않다]]. 따라서
: <math>k_n=\frac{n\pi}{a},\; n=1,2,\cdots</math>
가 방정식의 해임을 안다.<ref>''n''이 음의 정수라도 해가 되긴 하는데, 별 의미는 없다.</ref> 따라서
: <math>E_n=\frac{\hbar^2k_n^2}{2m}=\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2ma^2}</math>
이다. ''n''번째 정상상태(stationary state)를 나타내는 파동함수는
: <math>\psi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin\left(\frac{n\pi}{a}x\right)</math>
이다. 일반해는 다음과 같다.
: <math>\Psi_n(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}c_n\sqrt{\frac{2}{a}}\sin \left(\frac{n\pi}{a}x\right)\exp\left(-i\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2ma^2}t\right)</math>
: <math>c_n=\sqrt{\frac{2}{a}}\int_0^a \sin\left(\frac{n\pi}{a}x\right)\Psi(x,0)dx</math>

== 고차원 상자 속 입자 ==
퍼텐셜에너지가
: <math>V(x,y,z)=\begin{cases}
0,& 0\le x,y,z\le a\\
\infty,& \text{otherwise}
\end{cases}</math>
로 주어졌다고 하자. 그러면 정상상태의 파동함수는
: <math>\psi_{n_x,n_y,n_z}(x,y,z)=\sqrt{\frac{8}{a^3}}\sin\left(\frac{n_x\pi}{a}x\right)\sin\left(\frac{n_y\pi}{a}y\right)\sin\left(\frac{n_z\pi}{a}z\right)</math>
로 주어진다.

== 같이 보기 ==
* [[유한 퍼텐셜 우물]]
* [[양자 조화진동자]]

{{각주}}
[[분류:양자역학]]
[[분류:입자]]