상수함수 편집하기

== 정의 ==
[[함수]] <math>f:X\to Y</math>가 주어졌을 때, <math>X</math>의 임의의 원소 <math>x_1,x_2</math>에 대해 <math>f(x_1)=f(x_2)</math>이면 <math>f</math>를 '''상수함수(constant function)'''라고 한다.

== 예시 ==
* <math>X=\{1,2,3\}</math>, <math>Y=\{a,b,c\}</math>일 때, <math>X</math>의 원소를 각각 <math>1 \mapsto a</math>, <math>2\mapsto a</math>, <math>3\mapsto a</math>로 대응시키는 함수 <math>f:X\to Y</math>를 정의하면, <math>f</math>는 상수함수이다.
* <math>X=\{-1,1\}\subset\mathbb{R}</math>, <math>Y=\mathbb{R}</math>일 때, 함수 <math>f:X\to Y</math>를 <math>f(x)=|x|</math>로 정의하면, <math>f</math>는 상수함수이다.
* 함수 <math>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math>를 <math>f(x)=\cos^2 x + \sin^2 x</math>로 정의하면 <math>f</math>는 상수함수이다. ([[삼각함수]])
* 함수 <math>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math>을 <math>f(x)=\int_0^x 0 dx</math>로 정의하면 <math>f</math>는 상수함수이다.
* [[소수]] <math>p</math>에 대해 함수 <math>f:\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}_p</math>를 <math>f(x)=x^p-x</math>로 정의하면 <math>f</math>는 상수함수이다. ([[페르마의 소정리]])

== 성질 ==
=== 실수계에서 ===
* 상수함수 <math>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math>은 [[균등연속]]이다.
* 상수함수 <math>f:[a,b]\to\mathbb{R}</math>은 미분가능하고 도함수는 <math>f'(x)=0</math>이다.
{{글 숨김 시작|제목=Proof}}
도함수의 정의에 의해,
: <math>\begin{align}f'(x)&=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\
&= \lim_{h\to 0}\frac{f(x)-f(x)}{h}\\
&=\lim_{h\to 0}\frac{0}{h}\\
&=0\end{align}</math>
이므로 원하는 결론을 얻는다.
{{글 숨김 끝}}
* <math>[a,b]</math>에서 연속이고 <math>(a,b)</math>에서 미분가능한 함수 <math>f:[a,b]\to\mathbb{R}</math>의 도함수가 <math>f'(x)=0</math>이면 <math>f</math>는 상수함수이다.
{{글 숨김 시작|제목=Proof}}
[[평균값 정리]]에 의해, 임의의 <math>x_1,x_2\in [a,b]</math>에 대해
: <math>\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2 - x_1}=f'(c)=0</math>
인 <math>c\in (a,b)</math>가 존재한다. 따라서 <math>f(x_1)=f(x_2)</math>이므로 원하는 결론을 얻는다.
{{글 숨김 끝}}
=== 복소공간에서 ===
* 복소함수 <math>f:D\to \mathbb{C}</math>가 열린 연결집합 <math>D</math>에서 해석적이고 임의의 <math>z\in D</math>에 대해 <math>f'(z)=0</math>이면 <math>f(z)</math>는 상수함수이다.
* 열린 연결집합 <math>D</math>에서 해석적인 함수 <math>f(z)</math>는 다음 조건 중 하나를 만족할 때 상수함수이다. 많기도 하지...
** <math>\operatorname{Re} f(z)</math>가 상수함수이다.
** <math>\operatorname{Im} f(z)</math>가 상수함수이다.
** <math>|f(z)|</math>가 상수함수이다.
** <math>f(z)</math>가 <math>D</math>에서 실수이다.
** <math>\overline{f(z)}</math>가 해석적이다.
** <math>|f(z)|</math>가 해석적이다.
** <math>w=f(z)</math>의 치역은 직선의 일부이다.
{{글 숨김 시작|제목=Proof}}
* <math>\operatorname{Re}f(z)</math>가 상수함수라면, <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math>로 표현할 때 <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial y}=0</math>이다. 그러면 [[코시-리만 방정식]]에 의해 <math>\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}=0</math>을 얻으므로 <math>f'(z)=0</math>이고, 따라서 <math>f(z)</math>는 <math>D</math>에서 상수함수이다.
* <math>|f(z)|</math>가 상수함수라고 가정하자. 그러면 <math>|f(z)|^2=u^2+v^2</math>도 상수함수이므로 다음 식이 성립한다.<br />&nbsp;&nbsp;<math>\begin{align}u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial x}&=0\\u\frac{\partial u}{\partial y}+v\frac{\partial v}{\partial y}&=0\end{align}</math><br />이때, 코시-리만 방정식에 의해<br />&nbsp;&nbsp;<math>\begin{align}u\frac{\partial u}{\partial x}-v\frac{\partial u}{\partial y}&=0\\u\frac{\partial u}{\partial y}+v\frac{\partial u}{\partial x}&=0\end{align}</math><br />이다. 이때 <math>u^2+v^2=0</math>이면 <math>u=v=0</math>이고, <math>u^2+v^2\ne 0</math>이면 아까 유도한 <math>\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y}</math>에 대한 연립일차방정식의 해는 <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial y}=0</math>으로 유일하다. 그러면 <math>\operatorname{Re} f(z)</math>가 상수함수이므로 원하는 결론을 얻는다.
* <math>f(z)</math>가 <math>D</math>에서 실수라면, <math>v=0</math>이고 따라서 <math>\operatorname{Im}f(z)</math>가 상수함수이므로 원하는 결론을 얻는다.
* <math>\overline{f(z)}</math>가 해석적이면 코시-리만 방정식에 의해<br />&nbsp;&nbsp;<math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial (-v)}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial v}{\partial y}</math><br />이고<br />&nbsp;&nbsp;<math>\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial (-v)}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial v}{\partial x}</math><br />이므로 <math>f'(z)=0</math>이고, 따라서 원하는 결론을 얻는다.
* <math>|f(z)|</math>가 해석적이면, <math>|f(z)|</math>는 <math>D</math>에서 실수이므로 <math>|f(z)|</math>는 상수함수이다. 따라서 <math>f(z)</math>도 상수함수이다.
* <math>w=f(z)</math>의 치역이 직선의 일부라면 임의의 <math>z\in D</math>에 대해 <math>au(z)+bv(z)=c</math>인 상수 <math>a,b,c\in \mathbb{C}</math>가 존재하며, <math>a,b</math> 중 하나는 영이 아니어야 한다. 그러면<br />&nbsp;&nbsp;<math>\begin{align}\operatorname{Im}(f(z)(b+ia))&=\operatorname{Im}((u+iv)(b+ia))\\&=\operatorname{Im}(-au+bv+i(au+bv))\\&=au+bv=c\end{align}</math><br />이므로 <math>\operatorname{Im}f(z)</math>는 상수함수이다. 따라서 <math>f(z)</math>는 상수함수이다.
{{글 숨김 끝}}
* 유계인 전해석함수 <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math>는 상수함수이다. ([[리우빌의 정리 (복소해석학)|리우빌의 정리]])
* 복소함수 <math>f(z)</math>가 열린 연결집합 <math>D</math>에서 해석적이고 <math>|f(z)|</math>가 <math>z=z_0\in D</math>에서 최댓값을 가지면, <math>f(z)</math>는 상수함수이다. ([[최대절댓값정리]])

== 같이 보기 ==
* [[상수]]

{{각주}}

[[분류:함수]]