상대성 이론

특수 상대성이론

상대성 원리

갈릴레이가 말한 그것이다. 당신이 10km/h의 속도로 달리며 같은방향으로 날아가는 20km/h인 물체를 볼때 그 물체는 10km/h로 보인다는 그거다.

광속도 불변의 원리

근데 빛은 상대성 원리를 일정부분에서 쌈싸드신다. 항상 광속인 C로 날아간다. 더 빠르지도 느리지도 않고 한결같게 C로 날아간다. 당신이 10km/h로 날아가면서 바라보아도 광속의 99%로 날아가며 보아도 항상 지조있게 C를 유지한다는 거다. 이는 1+1=2처럼 현대 물리학의 가장 중요한 원리이다.

광속이 항상 같으면 이렇게 되어버리는데?

시간의 수축

광자시계를 생각해보자. 광자가 빛의 속도로 두 판을 왔다갔다하고 한번 왕복했을때가 1ls(글쓴이가 설명을 위해 만든 임의의 시간 단위이다)라고 가정해보자.
가만히 있는 광자시계와 움직이고 있는 광자시계가 있다고 떠올려보자.(머리좋은 위키러들은 떠올릴수 있다.)그리고 움직이지 않는 시계 기준으로 1ls동안의 시간이 지났고 두 시계의 광자 모두 한번 왕복했다. 이때 움직이는 광자는 사선으로 움직이게된다. 따라서 움직이고있는 광자시계의 광자가 더 많은 거리를 이동하게 된다. 시간=거리÷속력 이다. 여기서 광속도 불변의 원리에 의해 속력이 일정하다. 그런데 거리가 증가했다. 그렇다면 우리는 시간이 감소했다는, 즉 움직이는 물체의 느리게 흘렀다는 이상한 결론에 도달하게 된다. 하지만 전혀 이상하지 않고 사실이다. 우리가 광속에 터무니 없이 미치지 못하는 속도로 일상을 살아가기때문에 느끼지 못하는것 뿐이다. 그래도 이상하면 치과가라.
자 여기서 한번더 머리를 싸메보자 움직이는 시계가 움직이는 속도로 같이 움직이며 움직이는시계를 보게 되면 빛은 똑바로 나아가는것으로 보일것이다. 즉 움직이는 시계의 입장에서는 자기는 정상적으로 1ls가 지났다는거다. 또 움직이는 시계가 등속운동을 하고있었다면 움직이고 있다는 사실을 자각할수 없기에(가해진 힘이 없기때문에) 가만히 있는 시계가 움직이는것처럼 보이게 된다. 이때 움직이는 시계가 보기에 가만히 있는 시계의 시간은 자기의 시간보다 느리게 가는것처럼 보여진다. 시간은 상대적이라는 것이다.

일반 상대성 이론

중력이 빛보다 빠르다니요!!

아인슈타인의 상대성이론에 따르면 빛보다 빠른 물질은 있을수 없었다. 하지만 뉴턴역학에서는 중력의 전달속도가 빛보다 빨랐다. (아니 뉴턴은 아예 중력이 전달되는 속도란 개념을 생각도 하지 않았다.) 이러한 점과 뉴턴역학으로는 빛이 거대한 항성을 지날때 휘는 이유를 설명할수 없었기에 아인슈타인은 자신의 이론에 맞는 새로운 중력이론을 쓰기로 한다.

공간이 휘었군 크큭

간단하게 말하자면 다음과 같다. 빛은 가장 빠른 경로로 나아간다. 그런데 빛이 휘었다. 공간이 휘었으니 그 경로가 가장 빠른 경로가 되었으리라.

개요

특수상대성이론에서 등장하는 민코프스키 공간은 굽은 시공간의 국소적 모델로써 작용한다. 그렇다면 일반적 시공간은 어떻게 정의될까? 각 부분마다 민코프스키 공간과 비슷하게 생긴 공간이 바로 일반적 시공간이다. 즉 sub-Riemannian metric이 주어진 4차원 다양체이다. sub-Riemannian이라 함은 riemannian metric의 거의 모든 성질들을 만족하지만 <v,w>가 항상 0 이상일 필요는 없다는 것이다. 예를 들어서, 빛이 아닌 입자의 속도 (시공간 안에서의 속도!)를 sub-Riemannian metric으로 스스로 내적하면 항상 -1이 나온다.

시공간에서의 입자의 궤적

이 metric tensor을 사용하면 geodesic을 정의할 수 있고 (metric tensor에 의해 생기는 connection coefficient 계산이 먼저 필요하다) 이 geodesic이 힘 안받고 가만히 놔둔 입자의 궤적이다. 즉 빛 따위의 궤적이나 자유낙하하는 물체가 이에 해당한다. 이때, 중력은 아얘 힘이 아닌걸로 친다.

아인슈타인 방정식

그렇다면 이 metric은 어떻게 결정될까? Einstein Field Equation에 의해 결정된다. 곡률의 직관을 일반화한 curvature tensor를 사용하여 einstein tensor를 정의할 수 있는데, 아인슈타인 방정식이 말하는 것은 이 tensor가 stress-energy tensor의 상수배라는 것이다. 직관적으로 말해서 각 점에서의 물질과 에너지의 움직임이 그 점에서의 metric tensor의 값을 결정한다는 뜻이다. 말은 쉽지만, Einstein Field Equation을 metric에 대해 완전히 풀어서 쓰면 10개의 편미분방정식이 나타나므로 이걸 explicit하게 푸는건 사실상 불가능이다. 아주 특수한 경우에만 풀렸으며, 이중 하나가 유명한 슈바르츠쉴트 블랙홀 이다.

공간이 휘어지면 이렇게 되어버리는데요?

시간이 느려집니다.

(그림 첨부 요망) 각 입자마다 다르게 흐르는 proper time이 일반상대성 이론에서의 시간의 개념이다. 절대적인 시간따위는 존재하지 않지만, 국소적 민코프스키공간 모델에 의하여 "국소적 시간"이 정의될 수 있으며, 이것은 사실상 그 점을 지나는 입자의 순간적 시간개념과 같다. 그렇다면 A라는 관찰자가 B라는 관찰자보다 시간이 느리게 흐른다는 것은 무엇을 뜻할까? 사실 정확히 정의할 수 있는 개념은 아니지만, 멀리 중력이 강한 곳으로 날아간 관찰자 B가 중력이 약한 곳의 A와 빛 등으로 교신을 할 때의 시간차 정도로 이야기할 수는 있다. 예를 들어, B가 1초마다 빛을 A에게 쏘면 A는 그 신호를 1년 간격으로 받을 수도 있는 것이다. B가 5초 늙었다는 편지를 A에게 보내면 그동안 A는 5년이 늙어있는 것이다.
왜 느려지는 걸까 직접 실험해보자 너님이 빛의 겉보기속도를 측정할정도의 동체시력을 가졌다면 말이지 레이저를 두개 준비하고 발사해보자. 하나는 다른 하나보다 태양에 가까이 붙어서 이동한다. 자 여기서부터 머리를 굴려보자. 두 빛이 휜 경로를 보면 태양에 가까운쪽의 경로가 더 짧아지는것을 알수있다. 자 광속은 일정함으로 C=거리/시간이다. 그런데 거리가 줄어들었다. 따라서 시간도 줄었다는 결과를 얻을수 있다. 이는 중력이 강한곳일수록 시간이 느려짐을 증명해준다.

빛이 빨개집니다.

빛이 스스로 진동하는 시간이 느려지고 해서 강한 중력장에서 쏘는 빛은 밖으로 나갈 때 빨개지기도 한다.

블랙홀이 생깁니다.

중력이 항성의 내부적 지탱력을 이겨내서 완전히 항성을 박살내버리는 경우가 있다. 오펜하이머와 스나이더가 아주 이상적인 상황에서 이 상황을 스케치해본 것이 블랙홀 이론의 시작이다. 그들이 내건 가정은 항성의 표면이 내부의 압력이 하나도 없는 상태에서 자유낙하하는 (위 항목에서의 geodesic equation이 표현하는 궤적) 것으로 가정했을 때, 표면이 언젠가는 완전히 점으로 수축해버리며, 슈바르츠쉴트 시공간에서의 2M/G 안으로는 아무것도 볼 수 없다는 것을 알아냈다. 아무것도 볼 수 없다는 것... 블랙홀이다. 그니까 일정 부피에 일정 질량(임계밀도)을 넘어서게되면 중력이 겁나게 쎄지고 아인슈타인 공간이 휘어지고 휘어지다 구멍이 뚤려버린다는 계산결과가 나왔고 이러한 현상을 만드는 천체에 블랙홀이라는 이름을 붙였다.

블랙홀의 "표면"이 존재해서 이 안밖으로 모든 정보가 차단된다는 것은 아주 매력적이나, 붕괴하는 행성 표면의 입자는 유한한 시간 (그 입자의 proper time) 내에 완전히 하나의 점으로 치닫아버린다는 것과 그 한 점에서는 더이상 아인슈타인 방정식이 성립하지 않는다는 사실을 알게되자, 물리학자들은 혼란에 빠졌다. 일반상대성이론의 아름다움과 실험적 정확성에 반하는 이 결과를 대체 어떻게 목도한다는 것인가? 그래서 그들은 애써 무시했다. 그런 블랙홀 따위는 생기지 않을 거라고. 하지만 스티븐 호킹과 로저 펜로즈가 증명한 결과에 따르면, 어떤 상황에서도 결국에 시공간의 특이점 (singularity)는 생길 수 밖에 없다. 블랙홀은 어쨌든 생긴다