상극한과 하극한 편집하기



== 정의 ==
[[유계]]인 실수열 <math>(a_n)</math>에 대해, <math>(a_n)</math>의 [[수열의 극한|수렴]]하는 [[부분수열]]이 존재한다는 사실이 알려져 있다 ([[볼차노-바이어슈트라스 정리]]). 이때 <math>(a_n)</math>의 부분수열의 극한값<ref>Cluster point라고 부른다.</ref>의 [[집합 (수학)|집합]]을 <math>S</math>라 하면, <math>S</math>의 [[상한과 하한]]을 각각 <math>(a_n)</math>의 '''상극한(limit superior, upper limit)'''과 '''하극한(limit inferior, lower limit)'''이라고 한다.<ref>{{서적 인용|저자=김종진, 박성희|제목=해석학개론|연도=2015|출판사=북스힐|isbn=9788955268751}}</ref>

부분수열이 어렵다면, 이렇게 생각해보자. 먼저, 어떤 수열 <math>\left\{a_n\right\}_{n=1}^{\infty}</math>이 위로 유계라고 하자. 그럼 상계만을 모아놓은 집합 중에서 가장 작은 원소를 생각할 수 있다. 이를 '''상극한'''이라 부르는 것이다. 반대로, 이 수열이 아래로 유계라면 하계만을 모아놓은 집합 중에서 가장 큰 원소를 생각할 수 있다. 이를 '''하극한'''이라 부른다. 기호로는 각각 <math>\limsup a_n,\,\liminf a_n</math>으로 표기한다.

만약 <math>(a_n)</math>이 위로 유계가 아니면 <math>\limsup_{n\to\infty}a_n = \infty</math>로 정의한다. <math>(a_n)</math>이 위로 유계이지만 아래로 유계가 아닌 경우, <math>S\ne\emptyset</math>이면 <math>\limsup_{n\to\infty} a_n=\sup S</math>로,  <math>S=\emptyset</math>이면 <math>\limsup_{n\to\infty}a_n=-\infty</math>로 정의한다. 만약 <math>(a_n)</math>이 아래로 유계가 아니면 <math>\liminf_{n\to\infty}a_n = -\infty</math>로 정의한다. <math>(a_n)</math>이 아래로 유계이지만 위로 유계가 아닐 경우, <math>S\ne\emptyset</math>이면 <math>\liminf_{n\to\infty} a_n=\inf S</math>로,  <math>S=\emptyset</math>이면 <math>\liminf_{n\to\infty}a_n=\infty</math>로 정의한다.

== 예시 ==
* 일반항이 <math>a_n=(-1)^n</math>인 수열 <math>(a_n)</math>에 대해, <math>\limsup_{n\to\infty} a_n = 1</math>이고 <math>\liminf_{n\to\infty}a_n=-1</math>이다.

== 성질 ==
특별한 언급이 없으면 <math>(a_n),(b_n)</math>은 유계인 실수열로 간주한다.
*상극한과 하극한은 유일하다.
**상극한이 <math>\pm\infty</math>일 경우, 즉 수열이 위로 유계가 아니거나 <math>S</math>가 공집합일 경우, 상극한은 당연히 유일하다. 만약 수열이 위로 유계이며 <math>S</math>가 공집합이 아닐경우, 상한의 유일성에 의해 상극한의 유일성이 증명된다. 상한의 유일성은 [[유계]]를 참조.
* <math>\limsup_{n\to\infty} (a_n+b_n)\le \limsup_{n\to\infty} a_n + \limsup_{n\to\infty} b_n</math>
* <math>\liminf_{n\to\infty} a_n + \liminf_{n\to\infty} b_n \le \liminf_{n\to\infty} (a_n+b_n)</math>
* <math>\limsup_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} \left(\sup\{a_k:k\ge n\}\right)</math>
* <math>\limsup_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} \left(\inf\{a_k:k\ge n\}\right)</math>
*<math>L=\limsup a_n,\,l=\liminf a_n</math>이라 하자. 그럼, 임의의 <math>\varepsilon>0</math>에 대해 <math>n> N</math>이면 <math>l-\varepsilon< a_n< L+\varepsilon</math>를 만족하게 하는 <math>N\in\mathbb{N}</math>이 존재한다.
**<math>L</math>과 <math>l</math>이 실수로서 존재하므로, 수열 <math>\left\{a_n\right\}</math>는 유계이다. 이제 주어진 <math>\varepsilon>0</math>에 대해 <math>a_n\geq L+\varepsilon</math>인 자연수 <math>n</math>이 무한히 많다고 하자. 그럼 적당한 자연수 <math>n_1< n_2< n_3<\cdots</math>에 대해 <math>a_{n_k}\geq L+\varepsilon</math>이 성립한다. <math>\left\{a_{n_k}\right\}</math>은 분명히 <math>\left\{a_n\right\}</math>의 부분수열이므로 유계이고, 곧 [[볼차노-바이어슈트라스 정리]]에 의해 cluster point <math>\alpha</math>를 갖는다. 그런데 <math>a_{n_k}\geq L+\varepsilon</math>이므로 <math>\alpha\geq L+\varepsilon</math>이고, 이는 상극한의 정의에 모순된다. 즉, <math>a_n\geq L+\varepsilon</math>을 만족하는 <math>n</math>은 유한하고, 곧 적당한 자연수 <math>N_1</math>에 대해 <math>n> N_1</math>이면 <math>a_n< L+\varepsilon</math>이다. 비슷한 방법으로 적당한 자연수 <math>N_2</math>에 대해 <math>n> N_2</math>이면 <math>a_n> l-\varepsilon</math>임을 보일 수 있다. <math>N=\max\left(N_1,N_2\right)</math>라 정의하자. 그럼, <math>n> N</math>일 때, <math>l-\varepsilon< a_n< L+\varepsilon</math>이다.
* <math>(a_n)</math>이 <math>\alpha</math>로 수렴할 필요충분조건은 <math>\limsup_{n\to\infty} a_n = \liminf_{n\to\infty}a_n = \alpha</math>인 것이다.
**바로 위 명제의 따름정리.
*<math>\limsup a_n=-\infty</math>이면 <math>\lim_{n\to\infty}a_n=-\infty</math>이다. 반대로, <math>\liminf a_n=\infty</math>이면, <math>\lim_{n\to\infty}a_n=\infty</math>이다.
**<math>\limsup a_n=-\infty</math>라 가정하자. 그럼 <math>\left\{a_n\right\}</math>은 위로 유계이지만 <math>S=\emptyset</math>이다. 만약 수열이 아래로 유계라면 <math>\left\{a_n\right\}</math>은 유계이고, [[볼차노-바이어슈트라스 정리]]에 의해 cluster point <math>\alpha</math>를 가진다. 이는 <math>S=\emptyset</math>이라는 가정에 모순이고, 곧 수열은 아래로 유계가 아니다. 즉, <math>\lim_{n\to\infty}a_n=-\infty</math>. 반대의 경우도 비슷하게 증명할 수 있다.

{{각주}}
[[분류:해석학]]