- [math]\displaystyle{ f(x) }[/math]가 [math]\displaystyle{ x=a }[/math]에서 정의되어 있다.
- [math]\displaystyle{ \lim_{x\to a}f(x) }[/math]가 존재한다.
- [math]\displaystyle{ \lim_{x\to a}f(x)=f(a) }[/math]
- f가 연속이면 cf도 연속
- f, g가 연속이면 f+g도 연속
- f, g가 연속이면 fg도 연속
A를 [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math]의 부분집합, [math]\displaystyle{ f:A\to \mathbb{R} }[/math]는 A에서 [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math]로의 함수, [math]\displaystyle{ a\in A }[/math]라고 하자. 임의의 [math]\displaystyle{ \varepsilon \gt 0 }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \delta \gt 0 }[/math]이 존재하여 임의의 [math]\displaystyle{ x\in \mathbb{A} }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ |x-a|\lt \delta }[/math]이면 [math]\displaystyle{ |f(x)-f(a)|\lt \varepsilon }[/math]일 때, f는 a에서 연속이라고 한다.
[math]\displaystyle{ \varepsilon \gt 0 }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \delta \gt 0 }[/math]이 존재하여 임의의 [math]\displaystyle{ x\in \mathbb{X} }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ d(x,a)\lt \delta }[/math]이면 [math]\displaystyle{ d(f(x),f(a)\lt \varepsilon }[/math]일 때, f는 a에서 연속이라고 한다.