사용자:Hwangjy9/연습장4

개요

극좌표계(polar coordinate system)는 2차원 좌표계의 일종으로, 거리와 방향을 이용해 지점의 위치를 나타낸다.

역사

1691년에 베르누이

정의

극좌표계의 기본적인 구성 요소.

고정된 점 O를 원점, 반직선 [math]\displaystyle{ \overline{\rm{OX}} }[/math]를 극축이라 하고, 원점과 극축이 주어진 평면을 극평면이라고 한다. 극평면 위의 점 P에 대해 [math]\displaystyle{ \overline{\rm{OP}}=r, \angle \rm{XOP}=\theta }[/math]로 두면 순서쌍 [math]\displaystyle{ (r,\theta) }[/math]를 극좌표라고 하고 이때 r을 점 P의 동경, θ의 일반각을 P의 편각이라고 한다.

직교좌표와 극좌표의 관계

평면 위의 한 점이 직교좌표로는 [math]\displaystyle{ (x,y) }[/math], 극좌표로는 [math]\displaystyle{ (r,\theta) }[/math]로 나타난다고 하자.

[math]\displaystyle{ x=r\cos\theta,\; y=r\sin\theta }[/math]

[math]\displaystyle{ r\ge 0 }[/math]일 때 [math]\displaystyle{ r,\theta }[/math]를 [math]\displaystyle{ x,y }[/math]에 대한 식으로 나타내면,

[math]\displaystyle{ r=\sqrt{x^2+y^2} }[/math]

[math]\displaystyle{ \tan\theta = \frac{y}{x} }[/math]

이다. [math]\displaystyle{ -\pi\lt \theta \le \pi }[/math]일 때 θ는

[math]\displaystyle{ \theta=\begin{cases} \arctan\frac{y}{x},& x\gt 0\\ \arctan\frac{y}{x}+\pi,& x\lt 0\text{ and }y\ge 0\\ \arctan\frac{y}{x}-\pi,& x\lt 0\text{ and }y\lt 0\\ \frac{\pi}{2},&x=0\text{ and }y\gt 0\\ -\frac{\pi}{2},&x=0\text{ and }y\lt 0\\ \rm{undefined},&x=0\text{ and }y=0 \end{cases} }[/math]

이다.

좌표의 유일성

직교좌표계와 달리 한 점의 좌표는 유일하게 결정되지 않는다. 예를 들어 직교좌표계에서 [math]\displaystyle{ (1,1) }[/math]로 나타나는 점은 극좌표계에서 [math]\displaystyle{ \left(\sqrt{2},\frac{\pi}{4}\right) }[/math]와 [math]\displaystyle{ \left(\sqrt{2},-\frac{7\pi}{4}\right) }[/math]로 나타낼 수 있다. 일반적으로 [math]\displaystyle{ (r,\theta) }[/math]와 같은 점은 [math]\displaystyle{ ((-1)^n r,\theta+n\pi) }[/math]로 무수히 많다.

극방정식으로 나타난 곡선

예시

직선의 방정식

원점을 지나고 x축의 양의 방향과 이루는 각이 c인 직선의 방정식

[math]\displaystyle{ \theta=c }[/math]

원점과의 거리가 a이고 y축에 평행한 직선의 방정식

[math]\displaystyle{ r=a\sec\theta }[/math]

원점과의 거리가 a이고 x축에 평행한 직선의 방정식

[math]\displaystyle{ r=a\csc\theta }[/math]

일반적으로 직교좌표계에서 직선은

[math]\displaystyle{ ax+by=c }[/math] (단, [math]\displaystyle{ a,b,c }[/math]는 상수)

로 나타낼 수 있다. 이제 이 직선을 극좌표계로 나타내보자. [math]\displaystyle{ x=r\cos\theta,\; y=r\sin\theta }[/math]를 직선의 방정식에 대입하면

[math]\displaystyle{ ar\cos\theta+br\sin\theta=c }[/math]

이고 다시 쓰면

[math]\displaystyle{ r(a\cos\theta+b\sin\theta)=c }[/math]

이다. 삼각함수의 합성을 이용하면

[math]\displaystyle{ r\sqrt{a^2+b^2}\cos(\theta-\theta_0)=c\quad \left(\cos\theta_0=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}, \sin\theta_0=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\right) }[/math]

이고 따라서

[math]\displaystyle{ r=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}\sec(\theta-\theta_0) }[/math]

이다.

원의 방정식

원점을 중심으로 하고 반지름이 a인 원의 방정식은

[math]\displaystyle{ r=a }[/math]

이다. 일반적으로 [math]\displaystyle{ (r_0,\alpha) }[/math]를 중심으로 하고 반지름이 a인 원의 방정식은 다음과 같다.

[math]\displaystyle{ r^2-2rr_0\cos(\theta-\alpha)+r_0^2=a }[/math]

아르키메데스 나선

아르키메데스 나선.

[math]\displaystyle{ r=\theta }[/math]

카디오이드

[math]\displaystyle{ r=1+\cos\theta }[/math]

나비 곡선

나비 곡선.

나비 곡선은 Temple H. Fay가 1989년에 소개한 곡선이다. 나비 곡선의 방정식은 다음과 같이 주어진다.

[math]\displaystyle{ r=e^{\sin\theta}-2\cos 4\theta+\sin^5 \frac{2\theta-\pi}{24} }[/math]

곡선의 교점

원 [math]\displaystyle{ r=2 }[/math] (파란색)과 곡선 [math]\displaystyle{ r=4\cos 2\theta }[/math] (빨간색)의 그래프를 한번에 나타낸 것으로, 두 곡선의 교점은 총 여덟 개이다.

곡선 [math]\displaystyle{ r=4\cos 2\theta }[/math]와 원 [math]\displaystyle{ r=2 }[/math]의 교점을 구해보자. [math]\displaystyle{ r=2 }[/math]를 [math]\displaystyle{ r=4\cos 2\theta }[/math]에 대입하면

[math]\displaystyle{ 2=4\cos 2\theta }[/math]

이므로

[math]\displaystyle{ \cos 2\theta = \frac{1}{2} }[/math]

이다. [math]\displaystyle{ -\pi \lt \theta \le \pi }[/math]의 범위에서 이 방정식의 해는

[math]\displaystyle{ \theta =\frac{\pi}{6},-\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6},-\frac{5\pi}{6} }[/math]

이므로 [math]\displaystyle{ \left(2,\frac{\pi}{6}\right),\left(2,\frac{-\pi}{6}\right),\left(2,\frac{5\pi}{6}\right),\left(2,-\frac{5\pi}{6}\right) }[/math]이 곡선의 교점임을 알 수 있다. 그러나 실제로 곡선을 그려보면 곡선의 교점은 4개가 아니라 8개이다. 이런 결과가 나타난 이유는 극좌표계에서 점의 좌표가 유일하게 결정되지 않기 때문이다. [math]\displaystyle{ (r,\theta) }[/math]로 표현되는 점은 [math]\displaystyle{ ((-1)^n r,\theta+n\pi) }[/math]로도 표현된다. 따라서 [math]\displaystyle{ f(r,\theta)=0 }[/math]이 어떤 곡선을 나타내는 방정식이라면 [math]\displaystyle{ f((-1)^n r, \theta+ n\pi)=0 }[/math] 또한 같은 곡선을 나타내는 방정식이다. 즉 원 [math]\displaystyle{ r=2 }[/math]는 [math]\displaystyle{ r=-2 }[/math]로도 나타낼 수 있다. 이 식을 다시 대입하면

[math]\displaystyle{ -2=4\cos 2\theta }[/math]

이므로

[math]\displaystyle{ \cos 2\theta=-\frac{1}{2} }[/math]

이고, 이 방정식의 해는

[math]\displaystyle{ \theta=\frac{1}{3}\pi, -\frac{1}{3}\pi, \frac{2}{3}\pi, -\frac{2}{3}\pi }[/math]

이므로 [math]\displaystyle{ \left(-2,\frac{\pi}{3}\right),\left(-2,\frac{-\pi}{3}\right),\left(-2,\frac{2\pi}{3}\right),\left(-2,-\frac{2\pi}{3}\right) }[/math]은 곡선의 교점임을 알 수 있다. 따라서 두 곡선의 교점은 [math]\displaystyle{ \left(2,\frac{\pi}{6}\right),\left(2,\frac{-\pi}{6}\right),\left(2,\frac{5\pi}{6}\right),\left(2,-\frac{5\pi}{6}\right),\left(2,\frac{\pi}{3}\right),\left(2,\frac{-\pi}{3}\right),\left(2,\frac{2\pi}{3}\right),\left(2,-\frac{2\pi}{3}\right) }[/math]으로 총 8개이다.

일반적으로 두 곡선 [math]\displaystyle{ f(r,\theta)=0, g(r,\theta)=0 }[/math]를 각각 다음과 같은 방법으로 다르게 나타낼 수 있다고 하자.

[math]\displaystyle{ f_1(r,\theta)=0, f_2(r,\theta)=0, \cdots, f_m(r,\theta)=0 }[/math]

[math]\displaystyle{ g_1(r,\theta)=0, g_2(r,\theta)=0,\cdots, g_n(r,\theta)=0 }[/math]

이때 연립방정식

[math]\displaystyle{ \begin{cases} f_i(r,\theta)=0,& 1\le i \le m\\ g_j(r,\theta)=0,& 1\le j \le n \end{cases} }[/math]

을 만족하는 [math]\displaystyle{ (r,\theta) }[/math]가 있으면 그 점이 교점이 된다.

미적분

접선의 기울기

곡선 위의 한 점 [math]\displaystyle{ (x,y) }[/math]에서 접선의 기울기를 구할 때 다음과 같이 매개화할 수 있다.

[math]\displaystyle{ x=f(\theta)\cos\theta,\;y=f(\theta)\sin\theta }[/math]

그러면

[math]\displaystyle{ \frac{dx}{d\theta}=f'(\theta)\cos\theta-f(\theta)\sin\theta }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{dy}{d\theta}=f'(\theta)\sin\theta+f(\theta)\cos\theta }[/math]

이므로 [math]\displaystyle{ (x,y) }[/math]에서 접선의 기울기는 다음과 같다.

[math]\displaystyle{ \frac{dy}{dx}=\frac{f'(\theta)\sin\theta+f(\theta)\cos\theta}{f'(\theta)\cos\theta-f (\theta)\sin\theta} }[/math]

넓이

곡선 [math]\displaystyle{ r=f(\theta) }[/math]과 직선 [math]\displaystyle{ \theta=a,\theta=b }[/math]로 둘러싸인 영역의 넓이는

[math]\displaystyle{ A=\frac{1}{2}\int_a^b (f(\theta))^2 d\theta }[/math]

곡선의 길이

[math]\displaystyle{ r=f(\theta) }[/math]을 매개변수방정식으로 나타내면

[math]\displaystyle{ x=f(\theta)\cos\theta,\; y=f(\theta)\sin\theta }[/math]

이고

[math]\displaystyle{ \frac{dx}{d\theta}=f'(\theta)\cos\theta-f(\theta)\sin\theta }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{dy}{d\theta}=f'(\theta)\sin\theta+f(\theta)\cos\theta }[/math]

이므로

[math]\displaystyle{ \left(\frac{dx}{d\theta}\right)^2+\left(\frac{dy}{d\theta}\right)^2=(f(\theta))^2+(f'(\theta))^2 }[/math]

이다. 따라서 곡선 [math]\displaystyle{ r=f(\theta)\; (a \le \theta \le b) }[/math]의 길이는

[math]\displaystyle{ L=\int_a^b \sqrt{r^2+\left(\frac{df}{d\theta}\right)^2}d\theta }[/math]

이다.

연쇄법칙

[math]\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial r}=\cos\theta \frac{\partial f}{\partial x}+\sin\theta \frac{\partial f}{\partial y} }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial \theta}=-r\sin\theta \frac{\partial f}{\partial x}+r\cos\theta \frac{\partial f}{\partial y} }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial x}=\cos\theta \frac{\partial f}{\partial r}-\frac{\sin\theta}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta} }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial y}=\sin\theta \frac{\partial f}{\partial r}+\frac{\cos\theta}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta} }[/math]

[math]\displaystyle{ |\nabla f|^2=\left(\frac{\partial f}{\partial r}\right)^2+\frac{1}{r^2}\left(\frac{\partial f}{\partial \theta} \right)^2 }[/math]

이변수 치환적분

이와 관련한 내용은 치환적분법에서 볼 수 있습니다.

극좌표계를 치환적분법에 이용할 수 있다. 이변수함수 [math]\displaystyle{ F:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 }[/math]를 다음과 같이 정의할 수 있다.

[math]\displaystyle{ F(r,\theta)=(r\cos\theta,r\sin\theta) }[/math]

직교좌표 [math]\displaystyle{ (x,y) }[/math]와 [math]\displaystyle{ (r,\theta) }[/math]의 관계식이

[math]\displaystyle{ x=r\cos\theta,\; y=r\sin\theta }[/math]

이므로

[math]\displaystyle{ F(r,\theta)=(x,y) }[/math]

로 표현하자. 그러면 F의 야코비 행렬은

[math]\displaystyle{ \frac{\partial (x,y)}{\partial (r,\theta)}=\begin{bmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta\\ \sin\theta & r\cos\theta \end{bmatrix} }[/math]

이므로 야코비 행렬식은 다음과 같다.

[math]\displaystyle{ \det \frac{\partial (x,y)}{\partial (r,\theta)}=r }[/math]

F에 대한 집합 U의 상(image)을 V라고 하면, 치환적분법에 의해 다음 식이 성립한다.

[math]\displaystyle{ \iint_V f(x,y)dxdy \iint_U f(r,\theta)rdrd\theta }[/math]

치환적분법을 이용해

[math]\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2} dx }[/math]

의 값을 구해보자. 원판 [math]\displaystyle{ x^2+y^2 \le a^2\;(a\gt 0) }[/math]를 [math]\displaystyle{ D(a) }[/math]라 하면,

[math]\displaystyle{ \begin{align} \iint_{D(a)} e^{-x^2-y^2}dV&=\int_0^{2\pi}\int_0^a re^{-r^2}drd\theta\\ &=\int_0^{2\pi} \int_0^{a^2} \frac{1}{2}e^{-t} dtd\theta\\ &=\pi\left(1-e^{-a^2}\right) \end{align} }[/math]

이다. 한편 [math]\displaystyle{ e^{-x^2-y^2} \ge 0 }[/math]이므로

[math]\displaystyle{ \iint_{D(a)} e^{-x^2-y^2}dxdy \le \int_{-a}^a\int_{-a}^a e^{-x^2-y^2} dxdy \le \iint_{D(\sqrt{2}a)} e^{-x^2-y^2}dxdy }[/math]

이고

[math]\displaystyle{ \int_{-a}^a\int_{-a}^a e^{-x^2-y^2} dxdy=\left(\int_{-a}^a e^{-x^2} dx \right)^2 }[/math]

이므로

[math]\displaystyle{ \pi\left(1-e^{-a^2}\right) \le \left(\int_{-a}^a e^{-x^2} dx \right)^2 \le \pi\left(1-e^{-2a^2}\right) }[/math]

이다. [math]\displaystyle{ a\to \infty }[/math]일 때 [math]\displaystyle{ e^{-a^2}, e^{-2a^2}\to 0 }[/math]이므로

[math]\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2} dx=\sqrt{\pi} }[/math]

이다.

벡터 미적분학

극좌표에서 사용되는 직교 단위벡터 [math]\displaystyle{ \hat{\mathbf{r}},\hat{\boldsymbol{\theta}} }[/math]를 시각적으로 나타내었다.

극좌표계에서 직교하는 단위벡터를 다음과 같이 설정할 수 있다.

[math]\displaystyle{ \hat{\mathbf{r}}=\begin{bmatrix} \cos\theta\\ \sin\theta \end{bmatrix} }[/math]

[math]\displaystyle{ \hat{\boldsymbol{\theta}}=\begin{bmatrix} -\sin\theta\\ \cos\theta \end{bmatrix} }[/math]

이들을 시간 t에 대해 미분하면

[math]\displaystyle{ \mathbf{\dot{\hat{r}}}=\begin{bmatrix} -\dot{\theta}\sin\theta\\ \dot{\theta}\cos\theta \end{bmatrix}=\dot{\theta}\boldsymbol{\hat{\theta}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{\dot{\hat{\theta}}}=\begin{bmatrix} -\dot{\theta}\cos\theta\\ -\dot{\theta}\sin\theta \end{bmatrix}=-\dot{\theta}\mathbf{\hat{r}} }[/math]

임을 안다. 따라서 위치벡터

[math]\displaystyle{ \mathbf{r}=r\hat{\mathbf{r}} }[/math]

의 도함수, 이계도함수는 다음과 같다.

[math]\displaystyle{ \mathbf{\dot{r}}=\dot{r}\mathbf{\hat{r}}+r\dot{\theta}\boldsymbol{\hat{\theta}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathbf{\ddot{r}}=(\ddot{r}-r\dot{\theta}^2)\mathbf{\hat{r}}+(2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta})\boldsymbol{\hat{\theta}} }[/math]

중등 교육과정

'고급 수학 기본'이라는 인정 교과서에서 극좌표계를 다루었다. 2009년 개정 교육과정에선 고급수학Ⅱ에서 극좌표계를 다룬다.

극좌표와 극방정식 극좌표와 극좌표계의 뜻을 안다. 직교좌표와 극좌표의 관계를 이해한다. 극방정식으로 주어진 곡선의 그래프를 그릴 수 있다. 교수·학습상의 유의점> 극방정식으로 주어진 곡선의 그래프는 대칭성을 이용하는 간단한 경우만 다룬다. 극방정식으로 주어진 곡선의 그래프를 그릴 때 공학적 도구를 활용할 수 있다.