사용자:Hwangjy9/연습장4

정의

극좌표계(polar coordinate)는 좌표계의 일종으로, 거리와 방향을 이용해 지점의 위치를 나타낸다.

[math]\displaystyle{ x=r\cos\theta,\; y=r\sin\theta }[/math]

[math]\displaystyle{ r,\theta }[/math]를 [math]\displaystyle{ x,y }[/math]에 대한 식으로 나타내면,

[math]\displaystyle{ r=\sqrt{x^2+y^2} }[/math]

[math]\displaystyle{ \theta=\begin{cases} \arctan\frac{y}{x},& x\gt 0\\ \arctan\frac{y}{x}+\pi,& x\lt 0\text{ and }y\ge 0\\ \arctan\frac{y}{x}-\pi,& x\lt 0\text{ and }y\lt 0\\ \frac{\pi}{2},&x=0\text{ and }y\gt 0\\ -\frac{\pi}{2},&x=0\text{ and }y\lt 0\\ \rm{undefined},&x=0\text{ and }y=0 \end{cases} }[/math]

이다.

직교좌표계와 달리 한 점의 좌표는 유일하게 결정되지 않는다. 예를 들어 직교좌표계에서 [math]\displaystyle{ (1,1) }[/math]로 나타나는 점은 극좌표계에서 [math]\displaystyle{ \left(\sqrt{2},\frac{\pi}{4}\right) }[/math]와 [math]\displaystyle{ \left(\sqrt{2},-\frac{7\pi}{4}\right) }[/math]로 나타낼 수 있다. 일반적으로 [math]\displaystyle{ (r,\theta) }[/math]와 같은 점은 [math]\displaystyle{ (r,\theta+2n\pi),(-r,\theta+(2n+1)\pi) }[/math]로 무수히 많다.

극방정식

예시

직선의 방정식

원점을 지나고 x축의 양의 방향과 이루는 각이 c인 직선의 방정식

[math]\displaystyle{ \theta=c }[/math]

원점과의 거리가 a이고 y축에 평행한 직선의 방정식

[math]\displaystyle{ r=a\sec\theta }[/math]

원점과의 거리가 a이고 x축에 평행한 직선의 방정식

[math]\displaystyle{ r=a\csc\theta }[/math]

원의 방정식

원점을 중심으로 하고 반지름이 a인 원의 방정식은

[math]\displaystyle{ r=a }[/math]

이다. [math]\displaystyle{ (r_0,\alpha) }[/math]를 중심으로 하고 반지름이 a인 원의 방정식은 다음과 같다.

[math]\displaystyle{ r^2-2rr_0\cos(\theta-\alpha)+r_0^2=a }[/math]

아르키메데스 나선

[math]\displaystyle{ r=\theta }[/math]

카디오이드

[math]\displaystyle{ r=1+\cos\theta }[/math]

나비 곡선

나비 곡선은 Temple H. Fay가 1989년에 소개한 곡선이다. 나비 곡선의 방정식은 다음과 같이 주어진다.

[math]\displaystyle{ r=e^{\sin\theta}-2\cos 4\theta+\sin^5 \frac{2\theta-\pi}{24} }[/math]

곡선의 교점

원 [math]\displaystyle{ r=2 }[/math] (파란색)과 곡선 [math]\displaystyle{ r=4\cos 2\theta }[/math] (빨간색)의 그래프를 한번에 나타낸 것으로, 두 곡선의 교점은 총 여덟 개이다.

곡선 [math]\displaystyle{ r=4\cos 2\theta }[/math]와 원 [math]\displaystyle{ r=2 }[/math]의 교점을 구해보자. [math]\displaystyle{ r=2 }[/math]를 [math]\displaystyle{ r=4\cos 2\theta }[/math]에 대입하면

[math]\displaystyle{ 2=4\cos 2\theta }[/math]

이므로

[math]\displaystyle{ \cos 2\theta = \frac{1}{2} }[/math]

이다. 이 방정식의 해는

[math]\displaystyle{ \theta =\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6},\frac{7\pi}{6},\frac{11\pi}{6} }[/math]

이므로 [math]\displaystyle{ \left(2,\frac{\pi}{6}\right),\left(2,\frac{5\pi}{6}\right),\left(2,\frac{7\pi}{6}\right),\left(2,\frac{11\pi}{6}\right) }[/math]이 곡선의 교점임을 알 수 있다. 그러나 실제로 곡선을 그려보면 곡선의 교점은 4개가 아니라 8개임을 알 수 있다.

미적분

접선의 기울기

곡선 위의 한 점 [math]\displaystyle{ (x,y) }[/math]에서 접선의 기울기를 구할 때 다음과 같이 매개화할 수 있다.

[math]\displaystyle{ x=f(\theta)\cos\theta,\;y=f(\theta)\sin\theta }[/math]

그러면

[math]\displaystyle{ \frac{dx}{d\theta}=f'(\theta)\cos\theta-f(\theta)\sin\theta }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{dy}{d\theta}=f'(\theta)\sin\theta+f(\theta)\cos\theta }[/math]

이므로 [math]\displaystyle{ (x,y) }[/math]에서 접선의 기울기는 다음과 같다.

[math]\displaystyle{ \frac{dy}{dx}=\frac{f'(\theta)\sin\theta+f(\theta)\cos\theta}{f'(\theta)\cos\theta-f (\theta)\sin\theta} }[/math]

넓이

곡선 [math]\displaystyle{ r=f(\theta) }[/math]과 직선 [math]\displaystyle{ \theta=a,\theta=b }[/math]로 둘러싸인 영역의 넓이는

[math]\displaystyle{ A=\frac{1}{2}\int_a^b (f(\theta))^2 d\theta }[/math]

곡선의 길이

[math]\displaystyle{ r=f(\theta) }[/math]을 매개변수방정식으로 나타내면

[math]\displaystyle{ x=f(\theta)\cos\theta,\; y=f(\theta)\sin\theta }[/math]

이고

[math]\displaystyle{ \frac{dx}{d\theta}=f'(\theta)\cos\theta-f(\theta)\sin\theta }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{dy}{d\theta}=f'(\theta)\sin\theta+f(\theta)\cos\theta }[/math]

이므로

[math]\displaystyle{ \left(\frac{dx}{d\theta}\right)^2+\left(\frac{dy}{d\theta}\right)^2=(f(\theta))^2+(f'(\theta))^2 }[/math]

이다. 따라서 곡선 [math]\displaystyle{ r=f(\theta)\; (a \le \theta \le b) }[/math]의 길이는

[math]\displaystyle{ L=\int_a^b \sqrt{r^2+\left(\frac{df}{d\theta}\right)^2}d\theta }[/math]

이다.

이변수 치환적분

[math]\displaystyle{ \iint_R f(x,y)dA \int_{\alpha}^{\beta}\int f(r,\theta)rdrd\theta }[/math]

[math]\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2} dx }[/math]

를 구해보자. 원판 [math]\displaystyle{ x^2+y^2 \le a^2\;(a\gt 0) }[/math]를 [math]\displaystyle{ D(a) }[/math]라 하면,

[math]\displaystyle{ \begin{align} \iint_{D(a)} e^{-x^2-y^2}dV&=\int_0^{2\pi}\int_0^a re^{-r^2}drd\theta\\ &=\int_0^{2\pi} \int_0^{a^2} \frac{1}{2}e^{-t} dtd\theta\\ &=\pi\left(1-e^{-a^2}\right) \end{align} }[/math]

이다. 한편 [math]\displaystyle{ e^{-x^2-y^2} \ge 0 }[/math]이므로

[math]\displaystyle{ \iint_{D(a)} e^{-x^2-y^2}dxdy \le \int_{-a}^a\int_{-a}^a e^{-x^2-y^2} dxdy \le \iint_{D(\sqrt{2}a)} e^{-x^2-y^2}dxdy }[/math]

이고

[math]\displaystyle{ \int_{-a}^a\int_{-a}^a e^{-x^2-y^2} dxdy=\left(\int_{-a}^a e^{-x^2} dx \right)^2 }[/math]

이므로

[math]\displaystyle{ \pi\left(1-e^{-a^2}\right) \le \left(\int_{-a}^a e^{-x^2} dx \right)^2 \le \pi\left(1-e^{-2a^2}\right) }[/math]

이다. [math]\displaystyle{ a\to \infty }[/math]일 때 [math]\displaystyle{ e^{-a^2}, e^{-2a^2}\to 0 }[/math]이므로

[math]\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2} dx=\sqrt{\pi} }[/math]

이다.

벡터 미적분학

[math]\displaystyle{ \hat{\mathbf{r}}=(\cos\theta,\sin\theta) }[/math]

[math]\displaystyle{ \hat{\boldsymbol{\theta}}=(-\sin\theta,\cos\theta) }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathbf{\dot{\hat{r}}}=\dot{\theta}\boldsymbol{\hat{\theta}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \boldsymbol{\dot{\hat{\theta}}}=-\dot{\theta}\mathbf{\hat{r}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathbf{r}=r\hat{\mathbf{r}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathbf{\dot{r}}=\dot{r}\mathbf{\hat{r}}+r\dot{\theta}\boldsymbol{\hat{\theta}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathbf{\ddot{r}}=(\ddot{r}-r\dot{\theta}^2)\mathbf{\hat{r}}+(2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta})\boldsymbol{\hat{\theta}} }[/math]

중등 교육과정

'고급 수학 기본'이라는 인정 교과서에서 극좌표계를 다루었다. 2009년 개정 교육과정에선 고급수학Ⅱ에서 극좌표계를 다룬다.

극좌표와 극방정식 극좌표와 극좌표계의 뜻을 안다. 직교좌표와 극좌표의 관계를 이해한다. 극방정식으로 주어진 곡선의 그래프를 그릴 수 있다. 교수·학습상의 유의점> 극방정식으로 주어진 곡선의 그래프는 대칭성을 이용하는 간단한 경우만 다룬다. 극방정식으로 주어진 곡선의 그래프를 그릴 때 공학적 도구를 활용할 수 있다.