정의
극좌표계(polar coordinate)
- [math]\displaystyle{ x=r\cos\theta,\; y=r\sin\theta }[/math]
[math]\displaystyle{ r,\theta }[/math]를 [math]\displaystyle{ x,y }[/math]에 대한 식으로 나타내면,
- [math]\displaystyle{ r=\sqrt{x^2+y^2} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \theta=\begin{cases} \arctan\frac{y}{x},& x\gt 0\\ \arctan\frac{y}{x}+\pi,& x\lt 0\text{ and }y\ge 0\\ \arctan\frac{y}{x}-\pi,& x\lt 0\text{ and }y\lt 0\\ \frac{\pi}{2},&x=0\text{ and }y\gt 0\\ -\frac{\pi}{2},&x=0\text{ and }y\lt 0\\ \rm{undefined},&x=0\text{ and }y=0 \end{cases} }[/math]
이다.
직교좌표계와 달리 한 점의 좌표는 유일하게 결정되지 않는다. 예를 들어 직교좌표계에서 [math]\displaystyle{ (1,1) }[/math]로 나타나는 점은 극좌표계에서 [math]\displaystyle{ \left(\sqrt{2},\frac{\pi}{4}\right) }[/math]와
[math]\displaystyle{ \left(\sqrt{2},-\frac{7\pi}{4}\right) }[/math]로 나타낼 수 있다. 일반적으로 [math]\displaystyle{ (r, \theta) }[/math]와 같은 점은 [math]\displaystyle{ (r,\theta+2n\pi),(-r,\theta+(2n+1)\pi) }[/math]로 무수히 많다.
만약 한 점의 좌표를 유일하게 결정하려면 [math]\displaystyle{ r\ge 0, -\frac{\pi}{2}\lt \theta\lt \frac{\pi}{2} }[/math]로 제한할 수 있다.
역사
극방정식
직선의 방정식
원점을 지나고 x축의 양의 방향과 이루는 각이 c인 직선의 방정식
- [math]\displaystyle{ \theta=c }[/math]
원점과의 거리가 a이고 y축에 평행한 직선의 방정식
- [math]\displaystyle{ r=a\sec\theta }[/math]
원점과의 거리가 a이고 x축에 평행한 직선의 방정식
- [math]\displaystyle{ r=a\csc\theta }[/math]
원의 방정식
원점을 중심으로 하고 반지름이 a인 원의 방정식은
- [math]\displaystyle{ r=a }[/math]
이다. [math]\displaystyle{ (r_0,\alpha) }[/math]를 중심으로 하고 반지름이 a인 원의 방정식은 다음과 같다.
- [math]\displaystyle{ r^2-2rr_0\cos(\theta-\alpha)+r_0^2=a }[/math]
아르키메데스 나선
- [math]\displaystyle{ r=\theta }[/math]
카디오이드
- [math]\displaystyle{ r=1+\cos\theta }[/math]
나비 곡선
- [math]\displaystyle{ r=e^{\sin\theta}-2\cos 4\theta+\sin^5 \frac{2\theta-\pi}{24} }[/math]
미적분
접선의 기울기
곡선 위의 한 점 [math]\displaystyle{ (x,y) }[/math]에서 접선의 기울기를 구할 때 다음과 같이 매개화할 수 있다.
- [math]\displaystyle{ x=f(\theta)\cos\theta,\;y=f(\theta)\sin\theta }[/math]
그러면
- [math]\displaystyle{ \frac{dx}{d\theta}=f'(\theta)\cos\theta-f(\theta)\sin\theta }[/math]
- [math]\displaystyle{ \frac{dy}{d\theta}=f'(\theta)\sin\theta+f(\theta)\cos\theta }[/math]
이므로 [math]\displaystyle{ (x,y) }[/math]에서 접선의 기울기는 다음과 같다.
- [math]\displaystyle{ \frac{dy}{dx}=\frac{f'(\theta)\sin\theta+f(\theta)\cos\theta}{f'(\theta)\cos\theta-f (\theta)\sin\theta} }[/math]
넓이
곡선 [math]\displaystyle{ r=f(\theta) }[/math]과 직선 [math]\displaystyle{ \theta=a,\theta=b }[/math]로 둘러싸인 영역의 넓이는
- [math]\displaystyle{ A=\frac{1}{2}\int_a^b (f(\theta))^2 d\theta }[/math]
곡선의 길이
[math]\displaystyle{ r=f(\theta) }[/math]
- [math]\displaystyle{ L=\int_a^b \sqrt{r^2+\left(\frac{df}{d\theta}\right)^2}d\theta }[/math]
이변수 치환적분
- [math]\displaystyle{ \iint_R f(x,y)dA \int_{\alpha}^{\beta}\int f(r,\theta)rdrd\theta }[/math]
111
- [math]\displaystyle{ \hat{\mathbf{r}}=(\cos\theta,\sin\theta) }[/math]
- [math]\displaystyle{ \hat{\boldsymbol{\theta}}=(-\sin\theta,\cos\theta) }[/math]
- [math]\displaystyle{ \mathbf{r}=r\hat{\mathbf{r}} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \mathbf{\dot{r}}=\dot{r}\mathbf{\hat{r}}+r\dot{\theta}\boldsymbol{\hat{\theta}} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \mathbf{\ddot{r}}=(\ddot{r}-r\dot{\theta}^2)\mathbf{\hat{r}}+(2\dot{r}\dot{\theta}+r \ddot{\theta})\boldsymbol{\hat{\theta}} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \mathbf{\dot{\hat{r}}}=\dot{\theta}\boldsymbol{\hat{\theta}} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \boldsymbol{\dot{\hat{\theta}}}=-\dot{\theta}\mathbf{\hat{r}} }[/math]
중등 교육과정
'고급 수학 기본'이라는 인정 교과서에서 극좌표계를 다루었다. 고급수학Ⅱ에서 극좌표계를 다룬다.
- 극좌표와 극방정식
- 극좌표와 극좌표계의 뜻을 안다.
- 직교좌표와 극좌표의 관계를 이해한다.
- 극방정식으로 주어진 곡선의 그래프를 그릴 수 있다.
<교수·학습상의 유의점>
- 극방정식으로 주어진 곡선의 그래프는 대칭성을 이용하는 간단한 경우만 다룬다.
- 극방정식으로 주어진 곡선의 그래프를 그릴 때 공학적 도구를 활용할 수 있다.