틀:학술 선택 공리((the) Axiom of Choice, AC)는 임의의 집합족의 각 집합에서 원소를 하나씩 선택하여 모아 만든 새로운 집합을 구성할 수 있음을 주장하는 공리이다. 수학의 전 분야, 특히 집합론과 해석학에서 그 형식화에 많은 도움을 주는 공리이다.
다음 동치인 명제 중 하나를 선택 공리(AC)라고 한다:
- [math]\displaystyle{ \mathcal A }[/math]를 mutually disjoint한 공이 아닌 집합들의 족이라 하자. 그렇다면 [math]\displaystyle{ \mathcal A }[/math]의 각각의 집합으로부터 하나의 원소-씩으로 구성된 집합이 존재한다.
- [math]\displaystyle{ \mathcal A = \{A_i\}_{i\in I} }[/math]를 index를 가진 집합족이라 하자. [math]\displaystyle{ I\ne \emptyset }[/math]이면, [math]\displaystyle{ \prod_{i \in I} A_i \ne \emptyset }[/math]이다.
- [math]\displaystyle{ \mathcal A = \{A_i\}_{i\in I} }[/math]를 index를 가진 집합족이라 하자. [math]\displaystyle{ I\ne \emptyset }[/math]이면, 어떤 집합 [math]\displaystyle{ C }[/math]가 존재하여 [math]\displaystyle{ \forall i \in I [C \cap A_i \text{ is a singleton}] }[/math]이다.
- 선택함수(choice function)가 존재한다. 더욱 명시적으로, 주어진 집합 [math]\displaystyle{ A }[/math]에 대하여, 함수 [math]\displaystyle{ F:\mathcal P(A) \to A }[/math]가 존재하여 [math]\displaystyle{ \forall X \in A[X\ne \emptyset \Rightarrow F(X) \in X] }[/math]이다.