테스트 1
<random> Text 1 @@@ Text 2 @@@ Text 3 </random>
푸리에 급수
어떤 주기함수 [math]\displaystyle{ f(t) = f(t+nT) }[/math] (n은 정수, T는 함수의 주기) 가 있다고 하자, 푸리에 정리에 의해서 모든 주기함수는 사인과 코사인 함수의 합으로 표현가능하다.
이걸 수식으로 쓰면 [math]\displaystyle{ f(t) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty}(a_n cos (n{\omega_o}t) + b_n sin (n{\omega_o}t)) }[/math]
이다. (단, [math]\displaystyle{ \omega_o }[/math]는 각주파수 [math]\displaystyle{ 2\pi f }[/math])
단, 푸리에 급수로 표현하기 위해서는 모든 시간 t에 대해서 [math]\displaystyle{ \int_{t}^{t+T} |f(t)|dt \lt \infty }[/math] 이어야 한다.
- a0 구하기
[math]\displaystyle{ a_0 = \frac{1}{T}\int_{0}^{T} f(t)dt }[/math]이다. 한 주기의 평균값이다.
- an 구하기
[math]\displaystyle{ f(t) }[/math]에 [math]\displaystyle{ cos (n{\omega_o}t) }[/math]를 곱한 다음 1주기 적분을 한다. 사인/코사인 함수에는 뭘 붙이던지 1주기 적분을 하면 그 값은 0이 된다.
[math]\displaystyle{ \int_{0}^{T} f(t)cos (n{\omega_o}t)dt =\require{cancel}\cancelto{0}{\int_{0}^{T} a_0cos (n{\omega_o}t)dt} + \sum_{n=1}^{\infty}\int_{0}^{T}(a_n cos^2 (n{\omega_o}t)dt + \require{cancel}\cancelto{0}{\sum_{n=1}^{\infty}\int_{0}^{T}b_n sin (n{\omega_o}t)cos (n{\omega_o}t)dt)} }[/math]
[math]\displaystyle{ = \sum_{n=1}^{\infty}\int_{0}^{T}a_n cos^2 (n{\omega_o}t)dt }[/math]
그리고,
[math]\displaystyle{ \int_{0}^{T}a_n cos^2 (n{\omega_o}t)dt =\int_{0}^{T}a_n\frac{1+cos(2n\omega_0t)}{2} = a_n\frac{T}{2} }[/math]
이므로,
[math]\displaystyle{ a_n=\frac{2}{T}\int_{0}^{T}f(t)cos(n{\omega_o}t)dt }[/math] 이다.
- bn 구하기
[math]\displaystyle{ f(t) }[/math]에 [math]\displaystyle{ sin (n{\omega_o}t) }[/math]를 곱한 다음 1주기 적분을 한다.
[math]\displaystyle{ \int_{0}^{T} f(t)sin(n{\omega_o}t)dt =\require{cancel}\cancelto{0}{\int_{0}^{T} a_0 sin(n{\omega_o}t)dt} + \require{cancel}\cancelto{0}{\sum_{n=1}^{\infty}\int_{0}^{T}a_n sin(n{\omega_o}t)cos(n{\omega_o}t)dt }+ \sum_{n=1}^{\infty}\int_{0}^{T}b_n sin^2 (n{\omega_o}t) }[/math]
[math]\displaystyle{ = \sum_{n=1}^{\infty}\int_{0}^{T}b_n sin^2 (n{\omega_o}t) }[/math]
그리고 [math]\displaystyle{ \int_{0}^{T}b_n sin^2 (n{\omega_o}t)dt = \int_{0}^{T}b_n \frac{1-cos(2n{\omega_o}t)}{2}dt = b_n\frac{T}{2} }[/math]이므로,
[math]\displaystyle{ b_n=\frac{2}{T}\int_{0}^{T}f(t)sin(n{\omega_o}t)dt }[/math] 이다.